【正文】 4 , | | 8? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???y y c y y c y y cy y c y y c y y c第七章 方差分析 16 February 2022 第 58頁(yè) 167。 方差齊性檢驗(yàn) 在進(jìn)行方差分析時(shí) 要求 r個(gè)方差相等 ，這稱(chēng)為 方差齊性 。理論研究表明，當(dāng)正態(tài)性假定不滿(mǎn)足時(shí)對(duì) F檢驗(yàn)影響較小 ,即 F檢驗(yàn)對(duì)正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性 ，而 F檢驗(yàn)對(duì)方差齊性的偏離較為敏感 。所以 r個(gè)方差的齊性檢驗(yàn)就顯得十分必要。 所謂 方差齊性檢驗(yàn) 是對(duì)如下一對(duì)假設(shè)作出檢驗(yàn)： （ ） 2 2 2 20 1 2 1： ： 諸 不 全 相 等? ? ? ?? ? ?riHH第七章 方差分析 16 February 2022 第 59頁(yè) 很多統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了一些很好的檢驗(yàn)方法，這里介紹幾個(gè)最常用的檢驗(yàn)，它們是： ? Hartley檢驗(yàn)，僅適用于 樣本量相等 的場(chǎng)合； ? Bartlett檢驗(yàn)，可用于 樣本量相等或不等 的場(chǎng)合，但是 每個(gè)樣本量不得低于 5； ? 修正 的 Bartlett檢驗(yàn)， 在樣本量較小或較 大、相等或不等 場(chǎng)合均可使用。 第七章 方差分析 16 February 2022 第 60頁(yè) Hartley檢驗(yàn) 當(dāng)各水平下試驗(yàn) 重復(fù)次數(shù)相等時(shí) ，即m1=m2=? =mr=m,Hartley提出檢驗(yàn)方差相等的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： （ ） 其中， si為修正的樣本方差。這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的 分布無(wú)明顯的表達(dá)式 ，但在諸方差相等條件下，可通過(guò) 隨機(jī)模擬方法獲得 H分布的分位數(shù)， 該分布 依賴(lài)于水平數(shù) r 和樣本方差的自由度 f=m?1，因此該分布可記為 H (r， f)， 其分位數(shù)表列于附表 10上。 ? ?? ?2 2 2122 2 212m a x , , ,m in , , ,rrs s sHs s s?第七章 方差分析 16 February 2022 第 61頁(yè) 直觀 上看， 當(dāng) H0成立 ，即 諸方差相等 （ ?12 =?22=? =?r2）時(shí)， H的值應(yīng)接近于 1， 當(dāng) H的值較大時(shí) ，諸 方差間的差異就大 ， H愈大 ， 諸方差間的差異就愈大 ，這時(shí) 應(yīng)拒絕 ()中的 H0。由此可知，對(duì)給定的顯著性水平 ? ，檢驗(yàn) H0的拒絕域 為 D={H H?(r, f )} （ ） 其中 H?(r, f )為 H分布的上 ? 分位數(shù)。 第七章 方差分析 16 February 2022 第 62頁(yè) 例 有四種不同牌號(hào)的鐵銹防護(hù)劑（簡(jiǎn)稱(chēng)防銹劑），現(xiàn)要比較其防銹能力。數(shù)據(jù)見(jiàn)表。 這是一個(gè) 重復(fù)次數(shù)相等 的 單因子試驗(yàn) 。我們考慮用方差分析方法對(duì)之進(jìn)行比較分析，為此，首先要進(jìn)行 方差齊性檢驗(yàn)。 第七章 方差分析 16 February 2022 第 63頁(yè) 本例中，四個(gè)樣本方差可由表 Qi求出，即 由此可得 統(tǒng)計(jì)量 H的值 在 ? =，由附表 10查得 (4,9) =，由于 H，所以應(yīng)該 保留原假設(shè) H0，即認(rèn)為 四個(gè)總體方差間無(wú)顯著差異 。 進(jìn)一步，可在正態(tài)性檢驗(yàn)通過(guò)后進(jìn)行單因子方差分析（略）。 221222348 1 .0 0 4 4 .2 89 .0 0 4 .9 2994 2 .3 3 5 3 .4 24 .7 0 5 .9 499ssss? ? ? ?? ? ? ?， ，9 .0 0 1 .9 1 4 94 .7 0H ??第七章 方差分析 16 February 2022 第 64頁(yè) Bartlett檢驗(yàn) 在單因子方差分析中有 r個(gè)樣本 ，設(shè) 第 i個(gè)樣本方差 為： 由于 幾何平均數(shù)總不會(huì)超過(guò)算術(shù)平均數(shù) ，故有 GMSe≤MSe , 其中 等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng) 諸 si2彼此相等 ，若 諸 si2間的差異愈大，則此兩個(gè)平均值相差也愈大。 2211 ( ) 1 , 2 , ,1imii i j ijiiQs y y i rmf?? ? ? ?? ? ，? ? ? ? ? ?12 1/2 2 2 212111 , errr ff f fie i i e riieefM S Q s G M S s s sff????? ? ? ??????第七章 方差分析 16 February 2022 第 65頁(yè) 由此可見(jiàn)，在 比值 MSe/GMSe較大時(shí) ，就意味著諸 樣本方差差異較大 ，從而檢驗(yàn)（ ）表示的一對(duì)假設(shè)的拒絕域 應(yīng)是 W={ln （ MSe/GMSe） d} （ ） Bartlett證明了，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)? W={B ? ?2 (r1) } （ ） 其中 B的表達(dá)式較為復(fù)雜！ 考慮到這里 ?2分布是 近似分布 ，在諸樣本量 mi均不小于 5時(shí)使用上述檢驗(yàn)是適當(dāng)?shù)摹? 1( l n l n )1 1 11 [ ]3 ( 1 )1而 ，通 常 大 于???? ? ???eeeri iefB M S G M SCCr f fC第七章 方差分析 16 February 2022 第 66頁(yè) 修正的 Bartlett檢驗(yàn) 針對(duì) 樣本量低于 5時(shí)不能使用 Bartlett檢驗(yàn)的缺點(diǎn)， Box提出 修正 的 Bartlett檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 （ ） 其中 B與 C同 Bartlett檢驗(yàn) ，且 21 ()f B CBf A B C? ? ?212 2211 , ,( 1 ) 2 2 /frf r f AC C f?? ? ? ?? ? ?第七章 方差分析 16 February 2022 第 67頁(yè) 在原假設(shè) H0： ?12 =?22=? =?r2成立下， Box還證明了統(tǒng)計(jì)量 的 近似分布是 F分布 F(f1, f2)，對(duì)給定的顯著性水平 ? ，該檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)? （ ） 其中 f2的值可能不是整數(shù) ，這時(shí)可通過(guò)對(duì) F分布的分位數(shù)表施行 內(nèi)插法 得到分位數(shù)。 B?? ?12( , )????W B F f f第七章 方差分析 16 February 2022 第 68頁(yè) 作業(yè)： 設(shè)有 5種治療蕁麻疹的藥 ， 要比較它們的療效 。 假設(shè)將 30個(gè)病人分成 5組 ， 每組 6人 ， 令同組病人使用一種藥 ， 并記錄病人從使用藥物開(kāi)始到痊愈所需時(shí)間 ， 得到下面的記錄： (?=) 藥物 x 治愈所需天數(shù) y 1 5， 8， 7， 7， 10， 8 2 4， 6， 6， 3， 5， 6 3 6， 4， 4， 5， 4， 3 4 7， 4， 6， 6， 3， 5 5 9， 3， 5， 7， 7， 6 第七章 方差分析 16 February 2022 第 69頁(yè) 這里藥物是因子，共有 5個(gè)水平，這是一個(gè)單因素方差分析問(wèn)題。 （ 1）寫(xiě)出單因素方差分析模型。 （ 2）試問(wèn)：所有藥物的效果是否都沒(méi)有差別？（請(qǐng)列出方差分析表） （ 3）若因子顯著，試對(duì)模型中的未知參數(shù)給出點(diǎn)估計(jì)值。 （ 4）若因子顯著， 220 ( , ) ( , )a a ( ) 0 . 0 5即 ， 當(dāng) 拒 絕 時(shí) ， 進(jìn) 一 步 比 較 和 的 差 異 ，可 以 作 的 區(qū) 間 估 計(jì) （ ＝ ）? ? ? ?? ? ?? ? ? ?jkj k j kH N Njk