【正文】 4 , | | 8? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???y y c y y c y y cy y c y y c y y c第七章 方差分析 16 February 2022 第 58頁 167。 方差齊性檢驗 在進行方差分析時 要求 r個方差相等 ，這稱為 方差齊性 。理論研究表明，當正態(tài)性假定不滿足時對 F檢驗影響較小 ,即 F檢驗對正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性 ，而 F檢驗對方差齊性的偏離較為敏感 。所以 r個方差的齊性檢驗就顯得十分必要。 所謂 方差齊性檢驗 是對如下一對假設(shè)作出檢驗： （ ） 2 2 2 20 1 2 1： ： 諸 不 全 相 等? ? ? ?? ? ?riHH第七章 方差分析 16 February 2022 第 59頁 很多統(tǒng)計學家提出了一些很好的檢驗方法，這里介紹幾個最常用的檢驗，它們是： ? Hartley檢驗，僅適用于 樣本量相等 的場合； ? Bartlett檢驗，可用于 樣本量相等或不等 的場合，但是 每個樣本量不得低于 5； ? 修正 的 Bartlett檢驗， 在樣本量較小或較 大、相等或不等 場合均可使用。 第七章 方差分析 16 February 2022 第 60頁 Hartley檢驗 當各水平下試驗 重復次數(shù)相等時 ，即m1=m2=? =mr=m,Hartley提出檢驗方差相等的檢驗統(tǒng)計量： （ ） 其中， si為修正的樣本方差。這個統(tǒng)計量的 分布無明顯的表達式 ，但在諸方差相等條件下，可通過 隨機模擬方法獲得 H分布的分位數(shù)， 該分布 依賴于水平數(shù) r 和樣本方差的自由度 f=m?1，因此該分布可記為 H (r， f)， 其分位數(shù)表列于附表 10上。 ? ?? ?2 2 2122 2 212m a x , , ,m in , , ,rrs s sHs s s?第七章 方差分析 16 February 2022 第 61頁 直觀 上看， 當 H0成立 ，即 諸方差相等 （ ?12 =?22=? =?r2）時， H的值應(yīng)接近于 1， 當 H的值較大時 ，諸 方差間的差異就大 ， H愈大 ， 諸方差間的差異就愈大 ，這時 應(yīng)拒絕 ()中的 H0。由此可知，對給定的顯著性水平 ? ，檢驗 H0的拒絕域 為 D={H H?(r, f )} （ ） 其中 H?(r, f )為 H分布的上 ? 分位數(shù)。 第七章 方差分析 16 February 2022 第 62頁 例 有四種不同牌號的鐵銹防護劑（簡稱防銹劑），現(xiàn)要比較其防銹能力。數(shù)據(jù)見表。 這是一個 重復次數(shù)相等 的 單因子試驗 。我們考慮用方差分析方法對之進行比較分析，為此，首先要進行 方差齊性檢驗。 第七章 方差分析 16 February 2022 第 63頁 本例中，四個樣本方差可由表 Qi求出，即 由此可得 統(tǒng)計量 H的值 在 ? =，由附表 10查得 (4,9) =，由于 H，所以應(yīng)該 保留原假設(shè) H0，即認為 四個總體方差間無顯著差異 。 進一步，可在正態(tài)性檢驗通過后進行單因子方差分析（略）。 221222348 1 .0 0 4 4 .2 89 .0 0 4 .9 2994 2 .3 3 5 3 .4 24 .7 0 5 .9 499ssss? ? ? ?? ? ? ?， ，9 .0 0 1 .9 1 4 94 .7 0H ??第七章 方差分析 16 February 2022 第 64頁 Bartlett檢驗 在單因子方差分析中有 r個樣本 ，設(shè) 第 i個樣本方差 為： 由于 幾何平均數(shù)總不會超過算術(shù)平均數(shù) ，故有 GMSe≤MSe , 其中 等號成立 當且僅當 諸 si2彼此相等 ，若 諸 si2間的差異愈大，則此兩個平均值相差也愈大。 2211 ( ) 1 , 2 , ,1imii i j ijiiQs y y i rmf?? ? ? ?? ? ，? ? ? ? ? ?12 1/2 2 2 212111 , errr ff f fie i i e riieefM S Q s G M S s s sff????? ? ? ??????第七章 方差分析 16 February 2022 第 65頁 由此可見，在 比值 MSe/GMSe較大時 ，就意味著諸 樣本方差差異較大 ，從而檢驗（ ）表示的一對假設(shè)的拒絕域 應(yīng)是 W={ln （ MSe/GMSe） d} （ ） Bartlett證明了，檢驗的拒絕域為 W={B ? ?2 (r1) } （ ） 其中 B的表達式較為復雜！ 考慮到這里 ?2分布是 近似分布 ，在諸樣本量 mi均不小于 5時使用上述檢驗是適當?shù)摹? 1( l n l n )1 1 11 [ ]3 ( 1 )1而 ，通 常 大 于???? ? ???eeeri iefB M S G M SCCr f fC第七章 方差分析 16 February 2022 第 66頁 修正的 Bartlett檢驗 針對 樣本量低于 5時不能使用 Bartlett檢驗的缺點， Box提出 修正 的 Bartlett檢驗統(tǒng)計量 （ ） 其中 B與 C同 Bartlett檢驗 ，且 21 ()f B CBf A B C? ? ?212 2211 , ,( 1 ) 2 2 /frf r f AC C f?? ? ? ?? ? ?第七章 方差分析 16 February 2022 第 67頁 在原假設(shè) H0： ?12 =?22=? =?r2成立下， Box還證明了統(tǒng)計量 的 近似分布是 F分布 F(f1, f2)，對給定的顯著性水平 ? ，該檢驗的拒絕域為 （ ） 其中 f2的值可能不是整數(shù) ，這時可通過對 F分布的分位數(shù)表施行 內(nèi)插法 得到分位數(shù)。 B?? ?12( , )????W B F f f第七章 方差分析 16 February 2022 第 68頁 作業(yè)： 設(shè)有 5種治療蕁麻疹的藥 ， 要比較它們的療效 。 假設(shè)將 30個病人分成 5組 ， 每組 6人 ， 令同組病人使用一種藥 ， 并記錄病人從使用藥物開始到痊愈所需時間 ， 得到下面的記錄： (?=) 藥物 x 治愈所需天數(shù) y 1 5， 8， 7， 7， 10， 8 2 4， 6， 6， 3， 5， 6 3 6， 4， 4， 5， 4， 3 4 7， 4， 6， 6， 3， 5 5 9， 3， 5， 7， 7， 6 第七章 方差分析 16 February 2022 第 69頁 這里藥物是因子，共有 5個水平，這是一個單因素方差分析問題。 （ 1）寫出單因素方差分析模型。 （ 2）試問：所有藥物的效果是否都沒有差別？（請列出方差分析表） （ 3）若因子顯著，試對模型中的未知參數(shù)給出點估計值。 （ 4）若因子顯著， 220 ( , ) ( , )a a ( ) 0 . 0 5即 ， 當 拒 絕 時 ， 進 一 步 比 較 和 的 差 異 ，可 以 作 的 區(qū) 間 估 計 （ ＝ ）? ? ? ?? ? ?? ? ? ?jkj k j kH N Njk