【正文】 12 ???? ?zz , 21 ????? zz12 ?z?系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定 ?2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 92 (三 )、勞斯穩(wěn)定判據(jù) 雙線性變換法 11???wwz11???zzwZ和 W均為復(fù)變量 jyxz ?? jvuw ??222222)1(2)1(1)(yxyjyxyxjvuw??????????討論： （ 1） W平面的虛軸 0)1( 1)( 2222??? ??? yx yxu 01)( 22 ??? yx對(duì)應(yīng)于 Z平面單位圓 ?雙線性變換： 為了利用連續(xù)系統(tǒng)在 S平面上的一些結(jié)論，我們把 Z平面通過變映射到 W平面上，且令穩(wěn)定邊界在 W平面的虛軸上。這種變換被稱為 W變換。 2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 93 （ 2） W平面的左半平面 0)1(1)(2222??????yxyxu 1)(22 ?? yx對(duì)應(yīng)于 Z平面單位圓內(nèi) （ 3） W平面的右半平面 0)1(1)(2222??????yxyxu 1)( 22 ?? yx對(duì)應(yīng)于 Z平面單位圓外 W平面 Z平面 wwz???11也可令 2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 94 ? ?? ?0 1 0 1748 1 17 3 3 013173 11 3401232323232??????????????????????wwwwwwzzzzzzzzz穩(wěn)定系數(shù)不同號(hào)，故系統(tǒng)不則令：特征方程例：2z 7070z 7070z z 321 ????? ,.,.上，平面的單位圖外。事實(shí)個(gè)根在首列變號(hào)一次，故有一勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 95 勞斯穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 例 設(shè)控制系統(tǒng)如下圖所示 )4()(1?? ssKsG)(sR )(* sE)(sCT)(sG??其中 采樣周期為 sT ?求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K1取值范圍 2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 96 解 : 系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) ? ?? ?? ?? ?TTTkezzzeKezzzzKssKZssKZsGHZzG4414111114144114)4()()(?????????????????????????????????????????系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) )(1)()()(zGzGzRzCkk??特征方程 ? ?? ? ? ? 0141)(1 414 ??????? ?? zeKezzzG TTk? ? 0111411111 111 ??????????? ????????? ??? ??wweKewwww2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 97 整理可得 : ? ? 121 ???? KwwK列寫勞斯表 101112KwwKKw?? 1 ?? K?????11KK2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 98 示例：設(shè)離散系統(tǒng)如圖所解：系統(tǒng)的穩(wěn)定的值范圍。秒時(shí)，秒和試求采樣周期，若 T T a ????? ?sXr ? ?sE? T? ?sE *seTS??1? ?aSSK?? ?sWh ? ?sW? ?sXc? ?sXf? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?aTaTaTaTaTakakakTSfkezzaT eezaTeakezzakZZakzTZakzkasssZzkasskZzkasskseZzEzXzW????????????????????????????????????????????????????????????????111 111 1 1 1 222212121222022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 99 ? ? ? ?? ?zW zWzWkkB ?? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? 01111 2222 ????????????? ????? aTaTaTaTaTk eaa T eekzeaaTekzazW ?? ?sXr ? ?sE? T? ?sE *seTS??1? ?aSSK?? ?sWh ? ?sW? ?sXc? ?sXf? ?? ? ? ?? ? 0 0 0 2 6 4 11 ,1,1 101222?????????????????????????????????????kkkkkkkkwkwkkkwkwkkwwwzkzkzzWTak系統(tǒng)穩(wěn)定，則則令時(shí)當(dāng)2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 100 ? ?? ? ? ?? ?? ?的影響采樣周期對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性采樣丟失信息少結(jié)論：同理得：則令時(shí)當(dāng) . 11 , 1 222?????????????????????????kTkwkkwwwzkzkzzWTak2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 101 nnnnmmmmazazazabzbzbzbzRzC?????????????11101110)()(??當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，輸出信號(hào)的 Z變換 ????????????????????ni iinnnnmmmmzzzAzzAazazazabzbzbzbzzzC101110111011)(??????nikii zAkAkc10* )(1)(?閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的位置與暫態(tài)特性的關(guān)系 2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 102 當(dāng)特征根為正實(shí)數(shù)時(shí) kiii zAkc ?)(1?iz10 ?? iz發(fā)散 收斂 當(dāng)特征根為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí) kiii zAkc ?)(1?iz10 ?? iz振蕩發(fā)散 振蕩收斂 當(dāng)特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù) ?? jiijii ezzezz ???)c o s (2)( iikiii kzAkc ?? ?????nikiii zAkc1)(2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 103 當(dāng)特征根為正實(shí)數(shù)時(shí) 1?iz10 ?? iz發(fā)散 收斂 當(dāng)特征根為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí) 1?iz10 ?? iz振蕩發(fā)散 振蕩收斂 當(dāng)特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù) )c o s (2)( iikiiic kzAkx ?? ??2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 104 2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 105 ?采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 具有單位反饋的采樣系統(tǒng)如下圖所示： 系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) )(zWk誤差脈沖傳遞函數(shù) )(11)()(zGzRzEk?? )(1 )()( zG zRzEk??根據(jù) Z變換的終值定理可得在輸入作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值為 : ? ?)(1)(1)(lim)(1)()(1lim)(lim111 zGzzRzzGzRzteekzkzsrtsr ??????? ?????)(sR )(sC)(sGk2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 106 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 ?????????NnjjNmiigKpzzzzKzG11)()1()()(采樣系統(tǒng)型別 系統(tǒng)的型別以 N 來劃分 稱為 零 型系統(tǒng) 稱為 I 型系統(tǒng) 稱為 II 型系統(tǒng) 0?N1?N2?N2022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 107 （ 1）輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù) ? ? )(11lim)(1)(1)(lim11 zGzGzzRzekzkzsr ???????1)()1()( ??? zzzRttrPsrkzP KezGK ???? ? 11)(lim1當(dāng)采樣系統(tǒng)為 Ⅰ 型系統(tǒng)時(shí) ???? ? )(lim 1 zGK kzP當(dāng)采樣系統(tǒng)為 Ⅱ 型系統(tǒng)時(shí) ????? )(lim 1 zGK kzP當(dāng)采樣系統(tǒng)為 0型系統(tǒng)時(shí) czGK kzP ??? ? )(lim 12022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 108 （ 2）輸入信號(hào)為單位斜坡函數(shù) ? ? ? ? )(11lim)(1lim 11 zGzzGTekzkzsr ???? ??21)()()( ??? zTzzRttrVsrkzV KezGzK1)()1(lim1?????當(dāng)采樣系統(tǒng)為 Ⅱ 型系統(tǒng)時(shí) ????? ? )(1)(lim 1 zGzK kzV當(dāng)采樣系統(tǒng)為 Ⅰ 型系統(tǒng)時(shí) 當(dāng)采樣系統(tǒng)為 0型系統(tǒng)時(shí) 0)(1)(lim 1 ???? ? zGzK kzVczGzK kzV ???? ? )(1)(lim 12022/2/16 熊凌 自動(dòng)控制原理 109 （ 3）輸入信號(hào)為單位拋物線函數(shù) ? ? ? ?