【正文】 十一、 類比與歸納法 …………………………十二、 觀察與實驗法 …………………………第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 …………………… 35一、 數(shù)形結(jié)合思想 ……………………………… 35二、 分類討論思想 ……………………………… 41三、 函數(shù)與方程思想 …………………………… 47四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 ………………………… 54第三章 高考熱點(diǎn)問題和解題策略 …………………… 59一、 應(yīng)用問題 …………………………………… 59二、 探索性問題 ………………………………… 65三、 選擇題解答策略 …………………………… 71四、 填空題解答策略 …………………………… 77附錄 ………………………………………………………一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 …………………………二、 兩套高考模擬試卷 …………………………三、 參考答案 ……………………………………前 言美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：① 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；② 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；③ 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；④ 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得?？梢哉f，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個熱點(diǎn)問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對方法和問題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法一、 配方法配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 在正項等比數(shù)列{a}中，asa+2asa+a?a=25，則 a＋a＝_______。2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A. k1 B. k或k1 C. k∈R D. k＝或k＝13. 已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 04. 函數(shù)y＝log (－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。 A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)5. 已知方程x+(a2)x+a1=0的兩根x、x，則點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，則實數(shù)a＝_____。【簡解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa＝a，將已知等式左邊后配方（a＋a）易求。答案是：5。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3－。Ⅱ、示范性題組：例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得?！窘狻吭O(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：。長方體所求對角線長為：＝＝＝5所以選B。【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2. 設(shè)方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，若()+()≤7成立，求實數(shù)k的取值范圍?！窘狻糠匠蘹＋kx＋2=0的兩實根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。又 ∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2綜合起來，k的取值范圍是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤?！咀ⅰ?關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對“△”討論，結(jié)果將出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋() ?！痉治觥?對已知式可以聯(lián)想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab 。則代入所求式即得?！窘狻坑蒩＋ab＋b=0變形得：()＋()＋1＝0 ，設(shè)ω＝，則ω＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω＝＝1。又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab ，所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2 ?！咀ⅰ?本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開?！玖斫狻坑蒩＋ab＋b＝0變形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()＋()后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未聯(lián)想到ω時進(jìn)行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。Ⅲ、鞏固性題組：1. 函數(shù)y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。A. 8 B. C. 2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實根，則(α1) +(β1)的最小值是_____。A. － B. 8 C. 18 3. 已知x、y∈R，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2＋8有_____。 4. 橢圓x－2ax＋3y＋a－6＝0的一個焦點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或65. 化簡：2＋的結(jié)果是_____。A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 設(shè)F和F為雙曲線－y＝1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠FPF＝90176。，則△FPF的面積是_________。7. 若x－1，則f(x)＝x＋2x＋的最小值為___________。8. 已知〈βα〈π，cos(αβ)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考題)9. 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝Ax＋Bx＋C，給定m、n（mn）,且滿足A[(m+n)+ mn]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B＋C＝0 。 ① 解不等式f(x)0；② 是否存在一個實數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,nt)時，f(x)0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。10. 設(shè)s1，t1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),① 將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域；② 若關(guān)于x的方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求m的取值范圍。二、換元法解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設(shè)2＝t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sinα ，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。均值換元，如遇到x＋y＝S形式時，設(shè)x＝＋t，y＝－t等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t0和α∈[0,]。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：＝sinxcosx＋sinx+cosx的最大值是_________。(x＋1)＝log(4－x) （a1），則f(x)的值域是_______________。{a}中，a＝－1，aa＝a－a，則數(shù)列通項a＝___________。、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。＝3的解是_______________。(2－1) log(2－2)〈2的解集是_______________?！竞喗狻?小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對稱軸t＝－1，當(dāng)t＝，y＝＋；2小題：設(shè)x＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log[(t1)＋4]，所以值域為(－∞,log4]；3小題：已知變形為－＝－1,設(shè)b＝，則b＝－1,b＝－1＋(n－1)(1)＝－n，所以a＝－；4小題：設(shè)x＋y＝k，則x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小題