【正文】 一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。 要 2小時內將水池注滿，即要使 2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位 1，其余兩個量便可由條件推出。 我們設每個同樣的進水管每小時注水量為 1，則 4 個進水管 5 小時注水量為（ 145）， 2個進水管 15小時注水量為（ 1215），從而可知 每小時的 排水量為（ 1215－ 145） 247。（ 15－ 5）＝ 1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 一池水的總工作量為 145－ 15＝ 15 又因為在 2小時內，每個進水管的注水量為 12， 所以， 2小時內注滿一池水 至少需要多少個進水管？（ 15＋ 12） 247。（ 12） ＝ ≈9（個） 答：至少需要 9個進水管。 16正反比例問題 【含義】兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們 的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。 兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。 【數(shù)量關系】判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。 【解題思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。 正反比例問題與前面 講過的倍比問題基本類似。 例 1修一條公路，已修的是未修的 1/3，再修 300米后，已修的變成未修的 1/2，求這條公路總長是多少米？ 解由條件知，公路總長不變。 原已修長度 ∶ 總長度＝ 1∶ （ 1＋ 3）＝ 1∶ 4＝ 3∶ 12 現(xiàn)已修長度 ∶ 總長度＝ 1∶ （ 1＋ 2）＝ 1∶ 3＝ 4∶ 12 比較以上兩式可知，把總長度當作 12 份，則 300 米相當于（ 4－ 3）份，從而知公路總長為 300247。（ 4－ 3） 12＝ 3600（米） 答：這條公路總長 3600米。 例 2張晗做 4道應用題用了 28分鐘，照這樣計算， 91分鐘可以做幾道應用題？ 解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關系 設 91分鐘可以做 X應用題則有 28∶ 4＝ 91∶ X 28X＝ 914X＝ 914247。28X＝ 13 答： 91分鐘可以做 13道應用題。 例 3 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看 24 頁， 15 天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？ 解書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關系 設 X天可以看完，就有 24∶ 36＝ X∶ 15 36X＝ 2415X＝ 10 答： 10天就可以看完。 例 4一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面 積。 解由面積 247。形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此， A∶ 36＝ 20∶ 1625∶ B＝ 20∶ 16 解這兩個比例，得 A＝ 45B＝ 20 所以，大矩形面積為 45＋ 36＋ 25＋ 20＋ 20＋ 16＝ 162 答：大矩形的面積是 162 17按比例分配問題 【含義】所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。 【數(shù)量關系 】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸?shù)＝比的前后項之和 【解題思路和方法】先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。 例 1學校把植樹 560棵的任務按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有 47人，二班有 48人，三班有 45人，三個班各植樹多少棵？ 解總份數(shù)為 47＋ 48＋ 45＝ 140 一班植樹 56047/140＝ 188（棵） 二班植樹 56048/140＝ 192（棵） 三班植樹 56045/140＝ 180（棵） 答：一、二、三班分別植樹 188棵、 192棵、 180棵。 例 2用 60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是 3∶ 4∶ 5。三條邊的長各是多少厘米？ 解 3＋ 4＋ 5＝ 12603/12＝ 15（厘米） 604/12＝ 20（厘米） 605/12＝ 25（厘米） 答：三角形三條邊的長分別是 15厘米、 20厘米、 25厘米。 例 3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把 17 只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的 1/2，二兒子分總數(shù)的 1/3，三兒子分總數(shù)的 1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。 解如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶ 1/3∶ 1/9＝ 9∶ 6∶ 2 9＋ 6＋ 2＝ 17179/17＝ 9 176/17＝ 6172/17＝ 2 答：大兒子分得 9只羊，二兒子分得 6只羊，三兒子分得 2只羊。 例 4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為 8∶ 12∶ 21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？ 解 80247。（ 12－ 8） （ 8＋ 12＋ 21）＝ 820（人） 答：三個車間一共 820人。 18百分數(shù)問題 【含義】百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常常可以通分、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示 “率 ”，也可以表示 “量 ”，而百分數(shù)只能表示 “率 ”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號 “%”。 在實際中和常用到 “百分點 ”這個概念，一個百分點就是 1%，兩個百分點就是2%。 【數(shù)量關系】掌握 “百分數(shù) ”、 “標準量 ”“比較量 ”三者之間的數(shù)量 關系： 百分數(shù)＝比較量 247。標準量 標準量＝比較量 247。百分數(shù) 【解題思路和方法】一般有三種基本類型： （ 1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾； （ 2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少； （ 3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。 例 1 倉庫里有一批化肥，用去 720 千克，剩下 6480 千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？ 解（ 1）用去的占 720247。（ 720＋ 6480）＝ 10% （ 2）剩下的占 6480247。（ 720＋ 6480）＝ 90% 答：用去了 10%，剩下 90%。 例 2紅旗化工廠有男職工 420人，女 職工 525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？解本題中女職工人數(shù)為標準量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以（ 525－ 420） 247。525＝ ＝ 20% 或者 1－ 420247。525＝ ＝ 20% 答：男職工人數(shù)比女職工少 20%。 例 3紅旗化工廠有男職工 420人，女職工 525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？解本題中以男職工人數(shù)為標準量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此 （ 525－ 420） 247。420＝ ＝ 25% 或者 525247。420－ 1＝ ＝ 25% 答：女職工人數(shù)比男職工多 25%。 例 4紅 旗化工廠有男職工 420人，有女職工 525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？ 解（ 1）男職工占 420247。（ 420＋ 525）＝ ＝ % （ 2）女職工占 525247。（ 420＋ 525）＝ ＝ % 答：男職工占全廠職工總數(shù)的 %，女職工占 %。 例 5百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應用很廣泛，常見的百分率有： 增長率＝增長數(shù) 247。原來基數(shù) 100% 合格率＝合格產(chǎn)品數(shù) 247。產(chǎn)品總數(shù) 100% 出勤率＝實際出勤人數(shù) 247。應出勤人數(shù) 100% 出勤率＝實際出勤天數(shù) 247。應 出勤天數(shù) 100% 缺席率＝缺席人數(shù) 247。實有總人數(shù) 100% 發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù) 247。試驗種子總數(shù) 100% 成活率＝成活棵數(shù)