【正文】 高考數(shù)學(xué)解題技巧知識大全第一部分 高中數(shù)學(xué)活題巧解方法總論一、代入法若動點依賴于另一動點而運動，而點的軌跡方程已知（也可能易于求得）且可建立關(guān)系式，于是將這個點的坐標(biāo)表達(dá)式代入已知（或求得）曲線的方程，化簡后即得點的軌跡方程，這種方法稱為代入法，又稱轉(zhuǎn)移法或相關(guān)點法?！纠?】（2009年高考廣東卷）已知曲線：與直線：交于兩點和，且，記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界），試求線段PQ的中點M的軌跡方程；【巧解】聯(lián)立與得，則中點，設(shè)線段 的中點坐標(biāo)為，則，即，又點在曲線上，∴化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，∴中點的軌跡方程為（）.【例2】（2008年，江西卷）設(shè) 在直線上，過點作雙曲線的兩條切線、切點為、定點M。 過點A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程。【巧解】設(shè)，由已知得到，且，（1）垂線的方程為：，由得垂足，設(shè)重心所以 解得 由 可得 即為重心所在曲線方程巧練一：（2005年，江西卷）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.，求△APB的重心G的軌跡方程.巧練二：（2006年，全國I卷）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B，且向量，求點M的軌跡方程二、直接法直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則通過準(zhǔn)確的運算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的驗證得出正確的結(jié)論，從而確定選擇支的方法叫直接法。從近幾年全國各地的高考數(shù)學(xué)試題來看，絕大大部分選擇題的解答用的是此法。但解題時也要“盯住選項特點”靈活做題，一邊計算，一邊對選項進(jìn)行分析、驗證，或在選項中取值帶入題設(shè)計算，驗證、篩選而迅速確定答案?！纠?】（2009年高考全國II卷）已知雙曲線的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點。若，則C的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D）【巧解】設(shè)，，由，得∴，設(shè)過點斜率為的直線方程為，由消去得：，∴ ， 將 代入得化簡得 ，∴，化簡得：，∴，即。故本題選（A）【例2】（2008年，四川卷）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則（ ） （A）13 （B）2 （C） （D）【巧解】∵，∴∴函數(shù)為周期函數(shù)，且，∴故選（C）巧練一：（2008年，湖北卷）若上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（ ） A． B． C． D．巧練二：（2008年，湖南卷）長方體ABCD—A1B1C1D1的8個頂點在同一個球面上，且AB=2，AD=AA1=1，則頂點A、B間的球面距離是（ ） A． B． C． D． 三、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。選擇題的命題側(cè)重于對圓錐曲線定義的考查，凡題目中涉及焦半徑、通徑、準(zhǔn)線、離心率及離心率的取值范圍等問題，用圓錐曲線的第一和第二定義解題，是一種重要的解題策略?！纠?】（2009年高考福建卷，理13）過拋物線的焦點F作傾斜角為450的直線交拋物線于A、B兩點，線段AB的長為8，則 ．【巧解】依題意直線的方程為，由消去得：，設(shè)，∴，根據(jù)拋物線的定義。，∴，∴，故本題應(yīng)填2?！纠?】（2008年，山東卷，理10）設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26. 若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） （A） （B） （C） （D）【巧解】由題意橢圓的半焦距為，雙曲線上的點滿足　∴點的軌跡是雙曲線，其中，∴，故雙曲線方程為，∴選（A）巧練一：（2008年，陜西卷）雙曲線的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30176。的直線交雙曲線右支于M點，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D．巧練二：（2008年，遼寧卷）已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ） （A） （B）3 （C） （D）四、向量坐標(biāo)法向量坐標(biāo)法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過坐標(biāo)化，把長度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)之間的關(guān)系，使問題易于解決，并從一定程度上揭示了問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。在解題實踐中若能做到多用、巧用和活用，則可源源不斷地開發(fā)出自己的解題智慧，必能收到事半功倍的效果?！纠?】（2008年，廣東卷）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F. 若=a，=b，則=（ ）AxyOBDCE A．a(chǎn) +b B．a(chǎn) +b C．a(chǎn) +b D．a(chǎn) +b【巧解】如圖所示，選取邊長為2的正方形則，，，∴直線的方程為，聯(lián)立得∴，設(shè)，則∴解之得，∴，故本題選B【例2】已知點為內(nèi)一點，且0，則、的面積之比等于 （ ） A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3ABCxyO【巧解】不妨設(shè)為等腰三角形，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點，設(shè)，∵0，即∴解之得，即，又直線的方程為，則點到直線的距離，∵，因此，，故選C巧練一：（2008年，湖南卷）設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且（ ） A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直巧練二：設(shè)是內(nèi)部一點，且，則與面積之比是 .五、查字典法查字典是大家比較熟悉的，我們用類似“查字典”的方法來解決數(shù)字排列問題中數(shù)字比較大小的問題，避免了用分類討論法時容易犯的重復(fù)和遺漏的錯誤，給人以“神來之法”的味道。利用“查字典法”解決數(shù)字比較大小的排列問題的思路是“按位逐步討論法”（從最高位到個位），查首位時只考慮首位應(yīng)滿足題目條件的情況；查前“2”位時只考慮前“２”位中第“2”個數(shù)應(yīng)滿足條件的情況；依次逐步討論，但解題中既要注意數(shù)字不能重復(fù)，又要有充分的理論準(zhǔn)備，如奇、偶問題，3的倍數(shù)和5的倍數(shù)的特征，0的特性等等。以免考慮不全而出錯。【例1】（2007年，四川卷）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（ ） （A）288個 （B）240個 （C）144個 （D）126個【巧解】本題只需查首位，可分3種情況，① 個位為0，即 型，首位是2，3，4，5中的任一個，此時個數(shù)為； ②個位為2，即， 此種情況考慮到萬位上不為0，則萬位上只能排3，4，5，所以個數(shù)為；③個位為4， 型，此種特點考慮到萬位上不為0，則萬位上只能排2，3，5，所以個數(shù)為；故共有個。故選（B）【例2】（2004年全國II卷）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有（ ） A．56個 B．57個 C．58個 D．60個【巧解】（1）查首位：只考慮首位大于2小于4的數(shù)，僅有1種情況：即型，此特點只需其它數(shù)進(jìn)行全排列即可。有種，（2）查前２位：只考慮前“２”位中比３既大又小的數(shù)，有4種情況：，，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。（3）查前３位：只考慮前“3”位中既比１大又小于5的數(shù)，有4種情況：，，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。（3）查前4位：只考慮前“4”位中既比4大又小于2的數(shù)，此種情況只有 23154和43512兩種情況滿足條件。故共有個，故選C 巧練一：用數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且不大于4310的四位偶數(shù)共有（ ）A．110種 B．109種 C．108種 D．107種巧練二：（2007年，四川卷）用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字,并且比20000大的五位偶數(shù)共有（ ） （A）48個 （B）36個 （C）24個 （D）18個六、擋板模型法擋板模型法是在解決排列組合應(yīng)用問題中，對一些不易理解且復(fù)雜的排列組合問題，當(dāng)元素相同時，可以通過設(shè)計一個擋板模型巧妙解決，否則，如果分類討論，往往費時費力，同時也難以解決問題。【例1】體育老師把9個相同的足球放入編號為1，2，3的三個箱中，要求每個箱子放球的個數(shù)不少于其編號，則不同的放球方法有 （ ） A．8種 B．10種 C．12種 D．16種【巧解】先在2號盒子里放1個小球，在3號盒子里放2個小球，余下的6個小球排成一排為：，只需在6個小球的5個空位之間插入2塊擋板，如：，每一種插法對應(yīng)著一種放法，故共有不同的放法為種. 故選B【例2】兩個實數(shù)集，若從A到B的映射使得B中每個元素都有原象，且，則這樣的映射共有（ ）個A． B． C． D．【巧解】不妨設(shè)兩個集合中的數(shù)都是從小到大排列，將集合的50個數(shù)視為50個相同的小球排成一排為：，然后在50個小球的49個空位中插入24塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種滿足條件對應(yīng)方法，故共有不同映射共有種. 故選 B巧練一：兩個實數(shù)集合A={a1, a2, a3,…, a15}與B={b1, b2, b3,…, b10}，若從A到B的是映射f使B中的每一個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2) ≤…≤f(a10)f(a11)…f(a15), 則這樣的映射共有 （ ） A．個 B．個 C．1015個 D．巧練二：10個完全相同的小球放在標(biāo)有4號的四個不同盒子里，使每個盒子都不空的放法有（ ）種 A．24 B．84 C．120 D．96七、等差中項法等差中項法是根據(jù)題目的題設(shè)條件（或隱含）的特征，聯(lián)想到等差數(shù)列中的等差中項，構(gòu)造等差中項，從而可使問題得到快速解決，從而使解題過程變得簡捷流暢，令人賞心悅目?！纠?】（2008年，浙江卷）已知，則（ ） （A） （B） （C） （D）【巧解】根據(jù)特征，可得成等差數(shù)列，為與的等差中項。可設(shè)，其中；則，又，故，由選項知應(yīng)選（C）【例2】（2008年，重慶卷）已知函數(shù)的最大值為M,最小值為m,則的值為（ ） （A） （B） （C） （D） 【巧解】由可得，為與的等差中項，令，其中，則，即，又，則，故，解之得，即，∴，故選（C）巧練：（2008年，江蘇卷）的最小值 .八、逆向化法逆向化法是在解選擇題時, 四個選項以及四個選項中只有一個是符合題目要求的都是解題重要的信息。 逆向化策略是把四個選項作為首先考慮的信息，解題時，要“盯住選項”，著重通過對選項的分析，考查，驗證，推斷進(jìn)行否定或肯定，或者根據(jù)選項之間的關(guān)系進(jìn)行邏輯分析和篩選，找到所要選擇的，符合題目要求的選項。【例1】（2008年，湖北卷）函數(shù)的定義域為（ ）A． B． C． D．【巧解】觀察四個選項取端點值代入計算即可，取，出現(xiàn)函數(shù)的真數(shù)為0，不滿足，排含有1的答案C，取代入計算解析式有意義，排不含有的答案B，取出現(xiàn)二次根式被開方數(shù)為負(fù)，不滿足，排含有2的答案A，故選D評析：求函數(shù)的定義域只需使函數(shù)解析式有意義，凡是考查具體函數(shù)的定義域問題都可用特值法代入驗證快速確定選項?！纠?】（2008年，江西卷）已知函數(shù)，若對于任一實數(shù)與的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（，0）【巧解】觀察四個選項中有三個答案不含2，那么就取代入驗證是否符合題意即可，取，則有 ，這個二次函數(shù)的函數(shù)值 對且恒成立，現(xiàn)只需考慮當(dāng)時函數(shù)值是否為正數(shù)即可。這顯然為正數(shù)。故符合題意，排除不含的選項A、C、D。所以選B巧練一：（2007年，湖北卷）函數(shù)（x0）的反函數(shù)是（ ） A.（x－1） B. （x1） C.（x－1） D. （x1）巧練二：（2004年，重慶卷）不等式的解集是（ ） A． B． C． D．九、極限化法極限化法是在解選擇題時,有一些任意選取或者變化的元素,我們對這些元素的變化趨勢進(jìn)行研究,分析它們的極限情況或者極端位置,并進(jìn)行估算,或?qū)O端取值來解選擇題的方法是一種極限化法.【例1】正三棱錐中，在棱上，在棱上，使，設(shè)為異面直線與所成的角，為異面直線與所成的角，則的值是 （ ） A． B． C． D．【巧解】當(dāng)時，且，從而。因為，排除選擇支故選D（或時的情況，同樣可排除），所以選D【例2】若，當(dāng)＞1時，的大小關(guān)系是 （ ）A． B． C． D．【巧解】當(dāng)時，，故，所以選B巧練一：若的大小關(guān)系 （ ） A． B． C． D．與x的取值有關(guān)巧練二：對于任意的銳角，下列不等關(guān)系式中正確的是（ ）（A） （B）（C） （D） 十、整體化法整體化法是在解選擇題時,有時并不需要把題目精解出來,而是從題目的整體去觀察,分析和把握,通過整體反映的性質(zhì)或者對整體情況的估算,確定具體問題的結(jié)果,例如,對函數(shù)問題,有時只需要研究它的定義域,值域,而不一定關(guān)心它的解析示式,對函數(shù)圖象,有時可以從它的整體變化趨勢去觀察,而不一定思考具體的對應(yīng)關(guān)系,或者對4個選項進(jìn)行比