【正文】 特征，聯(lián)想到等差數(shù)列中的等差中項(xiàng)，構(gòu)造等差中項(xiàng)，從而可使問(wèn)題得到快速解決，從而使解題過(guò)程變得簡(jiǎn)捷流暢，令人賞心悅目。（3）查前4位：只考慮前“4”位中既比4大又小于2的數(shù)，此種情況只有 23154和43512兩種情況滿足條件。有種，（2）查前２位：只考慮前“２”位中比３既大又小的數(shù)，有4種情況：，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。【例1】（2007年，四川卷）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（ ） （A）288個(gè) （B）240個(gè) （C）144個(gè) （D）126個(gè)【巧解】本題只需查首位，可分3種情況，① 個(gè)位為0，即 型，首位是2，3，4，5中的任一個(gè)，此時(shí)個(gè)數(shù)為； ②個(gè)位為2，即， 此種情況考慮到萬(wàn)位上不為0，則萬(wàn)位上只能排3，4，5，所以個(gè)數(shù)為；③個(gè)位為4， 型，此種特點(diǎn)考慮到萬(wàn)位上不為0，則萬(wàn)位上只能排2，3，5，所以個(gè)數(shù)為；故共有個(gè)。利用“查字典法”解決數(shù)字比較大小的排列問(wèn)題的思路是“按位逐步討論法”（從最高位到個(gè)位），查首位時(shí)只考慮首位應(yīng)滿足題目條件的情況；查前“2”位時(shí)只考慮前“２”位中第“2”個(gè)數(shù)應(yīng)滿足條件的情況；依次逐步討論，但解題中既要注意數(shù)字不能重復(fù)，又要有充分的理論準(zhǔn)備，如奇、偶問(wèn)題，3的倍數(shù)和5的倍數(shù)的特征，0的特性等等。在解題實(shí)踐中若能做到多用、巧用和活用，則可源源不斷地開(kāi)發(fā)出自己的解題智慧，必能收到事半功倍的效果。【例2】（2008年，山東卷，理10）設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26. 若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） （A） （B） （C） （D）【巧解】由題意橢圓的半焦距為，雙曲線上的點(diǎn)滿足　∴點(diǎn)的軌跡是雙曲線，其中，∴，故雙曲線方程為，∴選（A）巧練一：（2008年，陜西卷）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作傾斜角為30176?！纠?】（2009年高考福建卷，理13）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為450的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為8，則 ．【巧解】依題意直線的方程為，由消去得：，設(shè)，∴，根據(jù)拋物線的定義。故本題選（A）【例2】（2008年，四川卷）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則（ ） （A）13 （B）2 （C） （D）【巧解】∵，∴∴函數(shù)為周期函數(shù)，且，∴故選（C）巧練一：（2008年，湖北卷）若上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（ ） A． B． C． D．巧練二：（2008年，湖南卷）長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=AA1=1，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是（ ） A． B． C． D． 三、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題?！纠?】（2009年高考全國(guó)II卷）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)。從近幾年全國(guó)各地的高考數(shù)學(xué)試題來(lái)看，絕大大部分選擇題的解答用的是此法。 過(guò)點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程。高考數(shù)學(xué)解題技巧知識(shí)大全第一部分 高中數(shù)學(xué)活題巧解方法總論一、代入法若動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)而運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)的軌跡方程已知（也可能易于求得）且可建立關(guān)系式，于是將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式代入已知（或求得）曲線的方程，化簡(jiǎn)后即得點(diǎn)的軌跡方程，這種方法稱為代入法，又稱轉(zhuǎn)移法或相關(guān)點(diǎn)法。【例1】（2009年高考廣東卷）已知曲線：與直線：交于兩點(diǎn)和，且，記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界），試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程；【巧解】聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段 的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，∴化簡(jiǎn)可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，∴中點(diǎn)的軌跡方程為（）.【例2】（2008年，江西卷）設(shè) 在直線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條切線、切點(diǎn)為、定點(diǎn)M。【巧解】設(shè)，由已知得到，且，（1）垂線的方程為：，由得垂足，設(shè)重心所以 解得 由 可得 即為重心所在曲線方程巧練一：（2005年，江西卷）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).，求△APB的重心G的軌跡方程.巧練二：（2006年，全國(guó)I卷）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量，求點(diǎn)M的軌跡方程二、直接法直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則通過(guò)準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論，從而確定選擇支的方法叫直接法。但解題時(shí)也要“盯住選項(xiàng)特點(diǎn)”靈活做題，一邊計(jì)算，一邊對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析、驗(yàn)證，或在選項(xiàng)中取值帶入題設(shè)計(jì)算，驗(yàn)證、篩選而迅速確定答案。若，則C的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D）【巧解】設(shè)，由，得∴，設(shè)過(guò)點(diǎn)斜率為的直線方程為，由消去得：，∴ ， 將 代入得化簡(jiǎn)得 ，∴，化簡(jiǎn)得：，∴，即。選擇題的命題側(cè)重于對(duì)圓錐曲線定義的考查，凡題目中涉及焦半徑、通徑、準(zhǔn)線、離心率及離心率的取值范圍等問(wèn)題，用圓錐曲線的第一和第二定義解題，是一種重要的解題策略。，∴，∴，故本題應(yīng)填2。的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D．巧練二：（2008年，遼寧卷）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ ） （A） （B）3 （C） （D）四、向量坐標(biāo)法向量坐標(biāo)法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)坐標(biāo)化，把長(zhǎng)度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)之間的關(guān)系，使問(wèn)題易于解決，并從一定程度上揭示了問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。【例1】（2008年，廣東卷）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F. 若=a，=b，則=（ ）AxyOBDCE A．a(chǎn) +b B．a(chǎn) +b C．a(chǎn) +b D．a(chǎn) +b【巧解】如圖所示，選取邊長(zhǎng)為2的正方形則，∴直線的方程為，聯(lián)立得∴，設(shè)，則∴解之得，∴，故本題選B【例2】已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且0，則、的面積之比等于 （ ） A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3ABCxyO【巧解】不妨設(shè)為等腰三角形，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，設(shè)，∵0，即∴解之得，即，又直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，∵，因此，故選C巧練一：（2008年，湖南卷）設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且（ ） A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直巧練二：設(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則與面積之比是 .五、查字典法查字典是大家比較熟悉的，我們用類似“查字典”的方法來(lái)解決數(shù)字排列問(wèn)題中數(shù)字比較大小的問(wèn)題，避免了用分類討論法時(shí)容易犯的重復(fù)和遺漏的錯(cuò)誤，給人以“神來(lái)之法”的味道。以免考慮不全而出錯(cuò)。故選（B）【例2】（2004年全國(guó)II卷）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有（ ） A．56個(gè) B．57個(gè) C．58個(gè) D．60個(gè)【巧解】（1）查首位：只考慮首位大于2小于4的數(shù)，僅有1種情況：即型，此特點(diǎn)只需其它數(shù)進(jìn)行全排列即可。（3）查前３位：只考慮前“3”位中既比１大又小于5的數(shù)，有4種情況：，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。故共有個(gè)，故選C 巧練一：用數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且不大于4310的四位偶數(shù)共有（ ）A．110種 B．109種 C．108種 D．107種巧練二：（2007年，四川卷）用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,并且比20000大的五位偶數(shù)共有（ ） （A）48個(gè) （B）36個(gè) （C）24個(gè) （D）18個(gè)六、擋板模型法擋板模型法是在解決排列組合應(yīng)用問(wèn)題中，對(duì)一些不易理解且復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，當(dāng)元素相同時(shí)，可以通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)擋板模型巧妙解決，否則，如果分類討論，往往費(fèi)時(shí)費(fèi)力，同時(shí)也難以解決問(wèn)題?！纠?】（2008年，浙江卷）已知，則（ ） （A） （B） （C） （D）【巧解】根據(jù)特征，可得成等差數(shù)列，為與的等差中項(xiàng)。 逆向化策略是把四個(gè)選項(xiàng)作為首先考慮的信息，解題時(shí)，要“盯住選項(xiàng)”，著重通過(guò)對(duì)選項(xiàng)的分析，考查，驗(yàn)證，推斷進(jìn)行否定或肯定，或者根據(jù)選項(xiàng)之間的關(guān)系進(jìn)行邏輯分析和篩選，找到所要選擇的，符合題目要求的選項(xiàng)?！纠?】（2008年，江西卷）已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（，0）【巧解】觀察四個(gè)選項(xiàng)中有三個(gè)答案不含2，那么就取代入驗(yàn)證是否符合題意即可，取，則有 ，這個(gè)二次函數(shù)的函數(shù)值 對(duì)且恒成立，現(xiàn)只需考慮當(dāng)時(shí)函數(shù)值是否為正數(shù)即可。故符合題意，排除不含的選項(xiàng)A、C、D。因?yàn)?，排除選擇支故選D（或時(shí)的情況，同樣可排除），所以選D【例2】若，當(dāng)＞1時(shí)，的大小關(guān)系是 （ ）A． B． C． D．【巧解】當(dāng)時(shí)，故，所以選B巧練一：若的大小關(guān)系 （ ） A． B． C． D．與x的取值有關(guān)巧練二：對(duì)于任意的銳角，下列不等關(guān)系式中正確的是（ ）（A） （B）（C） （D） 十、整體化法整體化法是在解選擇題時(shí),有時(shí)并不需要把題目精解出來(lái),而是從題目的整體去觀察,分析和把握,通過(guò)整體反映的性質(zhì)或者對(duì)整體情況的估算,確定具體問(wèn)題的結(jié)果,例如,對(duì)函數(shù)問(wèn)題,有時(shí)只需要研究它的定義域,值域,而不一定關(guān)心它的解析示式,對(duì)函數(shù)圖象,有時(shí)可以從它的整體變化趨勢(shì)去觀察,而不一定思考具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系,或者對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行比較以得出結(jié)論,或者從整體,從全局進(jìn)行估算,而忽略具體的細(xì)節(jié)等等,都可以縮短解題過(guò)程,這是一種從整體出發(fā)進(jìn)行解題的方法.【例1】已知是銳角，那么下列各值中，可能取到的值是（ ）A． B． C． D．【巧解】∵，又是銳角，∴，∴，即，故選B【例2】(2002年,全國(guó)卷)據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》指出“2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元,%.”如果“十五”末,我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值約為（ ）20080523（A）115000億元 (B)120000億元 (C) 127000億元 (D)135000億元【巧解】 注意到已知條件給出的數(shù)據(jù)非常精確, 2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到億元,精確到億元,而四個(gè)選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù)都是近似值, 精確到千億元,即后三位都是0,因此,可以從整體上看問(wèn)題,忽略一些局部的細(xì)節(jié).把億元近似地視為億元,又把近似地視為,這樣一來(lái),就有20080523 Oxy2巧練一： 如圖所示為三角函數(shù)，（的圖象的一部分，則此函數(shù)的周期可能是（ ）A． B． C． D．巧練二：（全國(guó)卷）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（ ）（A） （B）5 （C）6 （D）十一、參數(shù)法在解題過(guò)程中，適當(dāng)引入一個(gè)或幾個(gè)新變量代替原式中的某些量，使得原式中僅含有這些新變量，以此作為媒介，在進(jìn)行分析和綜合，然后對(duì)新變量求出結(jié)果，從而解決問(wèn)題的方法叫參數(shù)法?！厩山狻?1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2) 由得：設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。【例2】（2004年，遼寧卷）設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；【巧解】直線l過(guò)點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為記、由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)、是方程組②① 的解.將①代入②并化簡(jiǎn)得，所以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得 ③當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為巧練一：（2008年，全國(guó)I卷）直線通過(guò)點(diǎn)，則有 （ ） A． B． C． D． 巧練二： 如圖，已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2，1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）. （I）若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C； （II）若過(guò)點(diǎn)B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.十二、交軌法如果所求軌跡是兩條動(dòng)曲線（包括直線）的交點(diǎn)所得，其一般方法是恰當(dāng)?shù)匾M(jìn)一個(gè)參數(shù)，寫(xiě)出兩條動(dòng)曲線的方程，消去參數(shù)，即得所求的軌跡方程，所以交軌法是參數(shù)法的一種特殊情況。【巧解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意解之得，所求橢圓方程為．（Ⅱ）由（I）知，設(shè)，對(duì)橢圓求導(dǎo)：，即，