【正文】 o t 0ve???? ???? ? ? ???????rvv vr r r拉普拉斯方程 01 22222????????? ? ??? rrrr【 解 】 （ 1）流函數(shù)： 【 例 】 已知平面不可壓縮流體速度場 ， （ ），且 。試求：（ 1）流函數(shù)，并繪制流線；（ 2）速度勢，并繪制等勢線。 u ay?v ax? 0?a 0?yd iv 0 0 0uvxy??? ? ? ? ???v 故存在流函數(shù)。 d d d d d d dx y v x u y a x x a y yxy??? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ?2 2 2 2dd 2 2 2a a ax y x y?? ??? ? ? ? ? ? ???????流線方程 ? ? Cyxa ????? 222?（ 2） 速度勢 Cyx ?? 22即 對于平面流動 ，存在速度勢。 11 ( ) 022zvu aaxy?????? ? ? ? ???????d d d d du x v y a y x a x y??? ? ? ? ?? ? ?d ( )a x y a x y???等勢線方程 Ca x y ????Cxy ?即 流線、等勢線如圖（ ）所示。 x C?C39。?? yφ圖 . 2 3 3 平面勢流算例【 例 】 不可壓縮恒定流動的平面勢流，其 x方向的速度分量為 ，且在（ 0,0）點處 ，試求通過（ 0,0）和（ 1,1）兩點連線的流體流量 Q。 2233u a x a y?? 0uv??【 解 】 滿足 d iv 0?v 0uvxy??????， 60vax y????即 6v axy? ???， 6 ( )v ax y f x? ? ?滿足 ro t 0?v ， 0vuxy??????d6 6 0dfa y a yx? ? ? ?Cxf ?)(在（ 0,0）點， 0v? 0?C 6v ax y??d d d d dx y v x u yxy???? ??? ? ? ? ? ???? ? ?2 2 2 36 d ( 3 3 ) d d ( 3 )a x y x a x a y y a x y a y? ? ? ? ???即 323 ayyax ???通過（ 0,0）和（ 1,1）兩點連線流量 Q 即 ( 1 ,1 )( 0 , 0 ) 2Qa????? 幾種簡單的平面勢流 下面介紹一些最簡單的平面勢流作為拉普拉斯方程的基本解。 均勻直線流動 全流場等速分布的直線流動，又稱均流。 設(shè)均流的速度為 U0，沿流速方向取 軸正向（圖）。 x圖 . 2 4 3 均流yxoU0φ =CΨ = C 39。速度勢 00d d d du x v y U x U x??? ? ? ? ?? ? ?流函數(shù) 00d d d dv x u y U y U y??? ? ? ? ? ?? ? ?αyxo圖 . 2 5 3 一般形式的均流U0流函數(shù)為 ? ?0 c os sinU y x? ? ???以上結(jié)果可推廣到一般情況。 設(shè)均流速度與 x軸成 角，如圖 。 ?速度勢為 ? ?0 c os sinU x y? ? ??? 在極坐標系中，圖 別表示為： 0 c osUr???0 si nUr??? 在實際流動中 ， 以下兩種情況可適用于均流： （ 1） 平行平壁間的均勻流動； （ 2）薄平板的縱向繞流問題。 源和匯 流體從平面上的一點流出，均勻地向四周徑向直線流動，這種流動稱為源（圖 ）。由源點流出的體積流量 Q稱為源強度，一般用 m表示（ m0）。 設(shè)源的源點位于極坐標的原點。 流速場 圖 . 2 6 3 源yxΨ = C39。θoφ = Cr2π?rmvr 0v? ?， 速度勢 d d drr??? ? ????? ? ?????ddrv r v r? ????d l n2 π 2 π??? mmrrr流函數(shù) d d drr??? ? ????? ? ???d d d2 π 2 π? ? ? ?? ? ? ? ??? r mmv r v r rr等勢線是以 O點為圓心的同心圓族。 C?? Cr ?等勢線方程 ， 流線是由 O點引出的射線。 C?? C??流線方程 ， 若以直角坐標表示 22( , ) l n2 π? ??mx y x y( , ) a r c tg2 π? ? myxy x 流體在平面上從四周沿徑向均勻地流入一點，這樣的流動稱為匯（圖 ）。流入?yún)R點的體積流量 Q稱為匯流強度，一般用 m表示。 匯的速度勢和流函數(shù)的表達式與源相同，符號相反，即 ln2 π? ?? m r圖 . 2 7 3 匯yxΨ = C39。θoφ = Cr2 π????m若以直角坐標表示 22( , ) l n2 π? ? ? ?mx y x y( , ) a r c tgπ2? ?? myxy x 在實際的油田中，對于均勻等厚的地層，在穩(wěn)定情況下，油流向生產(chǎn)井可看作是匯。 【 例 】 如圖 ， 有一擴大的水渠 ， 兩壁面交角為 1弧度 ， 在兩壁面相交處有一小縫 ， 通過該縫流出的體積流量 （ m3/s） 。 求： （ 1） 該渠道的速度分布； （ 2） t=0時， r=2m處流體的速度和加速度。 1 12Qt??【 解 】 （ 1）該渠道流量壁面交角 1弧度時為 1 12Qt??則當(dāng)交角為 2π 弧度時的流量為 12 π 12????????mt源的速度勢 1l n 1 l n2 π 2???? ? ?????m r t r流場的速度場 1112rvtrr?? ??? ? ? ???? ??圖 . 2 8 3 水渠的流動1 r a dr= 2mo0v r? ??????（ 2）當(dāng) t=0， r=2m處 m/s，負號表示流向 O點。 12rv ??ddr r rrrv v vavt t r??? ? ???2231 1 1 m1 s2 2 8trr??? ? ? ????? 環(huán)流 流體繞某一固定點作圓周運動，并且它的速度大小與圓周半徑成反比，這樣的流動稱為環(huán)流（圖）。該固定點稱為環(huán)流中心。 將坐標系原點置于環(huán)流中心，則速度場為 ， 0rv ? πΓv2r? ?式中 是個常數(shù)，稱為環(huán)流強度，當(dāng)質(zhì)點逆時針作圓周運動時， 0；當(dāng)質(zhì)點順時針作圓周運動時， 0。 ΓΓΓ速度勢 d d drv r v r?? ? ?? ? ???d2 π 2 πΓ Γrr ?????流函數(shù) d d drv r v r?? ? ?? ? ???d l n2 π 2 πΓ Γrrr?????等勢線方程 等勢線是由 O點引出的射線族。 C?? C??即 流線方程 ， C?? Cr ?流線是以 O點為圓心的同心圓族。 若以直角坐標表示： ( , ) a r c tgπ? ? Γ yxy 2x( , ) l nπ? ? ? ?22Γx y x y2 在實際情況中，如大氣中出現(xiàn)氣旋，除去渦核區(qū)以外的區(qū)域，則渦核所引起的誘導(dǎo)速度場可用環(huán)流表征。 偶極子 設(shè)在坐標原點有一強度為 m的匯，在 處有強度為 m的源，圖（ ）， ( ,0)??1 2 1 1()2 π 2 π 2 πm m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?圖 . 3 0 3 偶極子的形式θ 1 θP ( r , θ)rxyδ oB0? ?1???當(dāng)源和匯無限靠近時， ，形成偶極子，因此 ， si n si nl im2 π 2 π10mmrr??? ????? ? ? ?mM? ?? 常數(shù)，稱為偶極子強度，它的方向從匯指向源為正，可得偶極子的流函數(shù)為 sin2 πMr?? ??c o s2 πMr?? ?等勢線方程 ， C?? ?c o sCr ?等勢線是圓心在 x軸上的圓族。 流線方程 ， C?? ?s inCr ?流線是圓心在 y軸上的圓族。（如圖 ） 若以直角坐標表示 22( , ) 2 πMxxyxy? ? ?22( , ) 2 πMyxyxy? ?? ?ψ = C 39。φ =CyxO【 例 】 已知位于原點的強度為 m的源和沿 x方向速度為 的均流疊加成一平面流場。 0U 求 1） 該平面流動的速度勢和流函數(shù)； 2） 流場中的速度分布； 3） 流線方程； 4）畫出零流線及部分流線圖。 【 解 】 （ 1）速度勢的極坐標形式為 : 1 2 0 c o s l n2 πmU r r? ? ? ?? ? ? ?流函數(shù)的極坐標形式為 : 1 2 0 s in 2 πmUr? ? ? ? ?? ? ? ?（ 2）流場中速度分布為 : 0 c o s 2 πrmvUrr? ??? ? ??01 sinvUr?? ???? ? ??（ 3） 流線方程為： 令 常數(shù)，流線方程為： ? ?0 si n 2 πmU r C????式中 C取不同值代表不同的流線。 （ 4） 如圖 ， 所示 ， 零流線的左半支是負 x軸的一部分 ， 駐點 由 （ c） 式 決定： ( π)? ? ( , 0)Ab?, π 00πc o s 02 π 2 πr mmv U Urb???????? ? ? ? ? ?????故 02πmbU? 通過駐點的右半部分零流線由 A點的流函數(shù)值決定： 即 ? ?0 πsi n , π2 π 2AmU r b? ? ? ?? ? ? ?零流線方程為： 圖 . 3 2 3 蘭金半體U0yxb πb πbA O? ? ? ?0π π2 π s in s inmbrU????????故稱右半部分所圍區(qū)域為蘭金 （ Rankine） 半體 ， 它 們的漸近線如下： 當(dāng)無窮遠處 和 時兩條流線趨于平行，漸近線方程為： 0? ? 2π? ?? ? ? ?0 0 , 2 π 0 , 2 πsin π πy r b b? ???? ?? ? ? ? ?????第 3章結(jié)束