【正文】 rxreAeU ????? ? 邊界條件為： 可解出： 從而圓球繞流的斯托克斯流動的流場為： 其壓強場由（ 427）式代入 C值可得： 圓球受到流體作用于它上面的力 說明受力方向與來流一致，為阻力。這就是著名的斯托克斯關于均勻流中球體阻力的公式，它是在雷諾數很低的情況下成立的。 10。0。eUururr??????443300rUArUC?????][43]3[4 310513301 r rxrerUr rxrerUeUu ????? ???3103103 23)43(22rxrUrxrUrrCp?? ?????? ????1010 6)43(88 erUerUCF?? ?????? ??????? 如果令： 為阻力系數，則斯托克斯關于均勻流中球體的阻力系數為 對斯托克斯流動的眾多研究成果都表明，不同形狀物體的阻力都是與來流流速，流體的粘性系數以及物體的特征尺度成正比，只是正比常數各有區(qū)別，例如，半徑為 r0的薄圓盤所受的阻力為： 當圓盤正面向前運動時 當圓盤側緣向前運動時 可見盡管圓盤與圓球的形狀有顯著差別，但其阻力比圓球只分別低 15%和 43%。這說明斯托克斯流動中繞流物體所受阻力對物體的形狀不太敏感，因而對于與球形相差不多的沙粒，塵埃，細胞等完全可以用圓球的斯托克斯阻力公式估計其阻力。 AUFCD 221???Re24?DC0033216UrFUrF??????434 奧辛近似 另一個低雷諾數的近似解為奧辛近似。粘性的影響往往主要表現在物體壁面附近的薄層內，隨著距離物面的距離加大，粘性作用逐漸下降。以至在一定距離處粘性力項終于下降到與慣性力項相同的數量級，甚至更小，斯托克斯方程已經不能使用。為此，奧辛部分地考慮了 NS方程中的慣性項，但又不使它們成為非線性項，假定： 式中 為無窮遠處自由流速， 為擾動速度，均較 甚小，這一假定在很接近物面處當然不成立。于是 NS方程的慣性項可以分解為兩部分： 39。39。39。 , wvu?U39。39。39。 。 wwvvuu ???,...,... , 39。39。39。39。39。39。 xvuxuuxvUxuU ???????? ?? 和?U 其中第二部分中的 等項為二階小量，與第一部分各相比可以忽略。這樣， NS方程寫為： 邊界條件與 NS方程相同。奧辛使 NS方程線性化既不像斯托克斯那樣使遷移速度為零，也不用當地速度u而是使用自由流速度 ，而自由流速度為常數。根據奧辛近似方程的解可以求得圓球繞流的阻力系數為： xuu ??39。39。?U）（ Re1631Re24 ??DC??????????????????????????????????????????????39。239。39。39。239。39。39。239。39。111wzptwUtwvyptvUtvuxptuUtu??????第五章 邊界層理論 51 邊界層概念 邊界層是粘性流動中固體壁面附近粘性起主導作用的一薄層流體層。 如設一極薄平板，順流放置于均勻平行流動中，與為受擾動的來流流速 平行。粘性流體流經平板時，僅靠板面的流體質點粘附板上，其速度與平板壁面相同，此處平板靜止不動，通過粘性作用，流體質點之間將存在內摩擦阻力，是平板兩側的流體逐漸減慢，形成壁面附近很大的流速梯度。這一流動區(qū)域稱為邊界層，如圖51所示。通常定義當地流速 u(x,y)等于 y值為邊界層厚度 δ， 也叫邊界層名義厚度。 UE為當地壁面處的有歐拉方程解得的勢流流速。 ?UEUxu ),( ?? 52邊界層厚度 521邊界層名義厚度的量級估計 若將平板上各點除邊界層外邊緣點連接起來形成一條邊界層的外邊緣線如圖 51中虛線表示。邊界層的厚度隨距平板前緣的距離增加而增厚，說明邊界層厚度沿流程逐漸發(fā)展， 。當來流為均勻平行流動，流動無渦。但對于粘性流動由于平板壁面的存在，在邊界層內產生流速梯度 ，從而在平板壁面上產生渦量 ，渦量從壁面向外傳播的范圍所及就是邊界層?？梢娬承粤鲃恿鲌鲋械墓腆w壁面是渦量產生的源泉。旋渦同時也被流動帶向下游。旋渦向下游 x方向傳播的速度取決于來流流速 ,而旋渦向 y方向擴散的速度可以由 看出，但雷諾數表示為： 時，可見雷諾數表示渦旋向下游傳播速度的平方與 y方向 )(x?? ?yu?? yu??????Utvtvvtdtddtd ~21~ ??222~?????????dtdUtvUUtvULvUvUL? 傳播速度的平方之比。雷諾數越大，渦旋向 y方向傳播速度越小于向下游傳播速度，邊界層厚度越薄。由此可見，大雷諾數情況下，流場可分為兩部分，一部分為無渦的勢流，另一部分為粘性起主導作用的有渦流動區(qū)域，即邊界層流動。大雷諾數的流動繞過任何形狀的物體都會發(fā)生邊界層流動。在接近繞流物體的尾部，由于存在逆壓強梯度，壓強沿流程增加，而是邊界層自物體壁面分離并在物體下游形成尾流區(qū)。 U∞ U∞ U∞ x y o δ(x) 圖 51 粘性流體流經平板的流動情況 LVV ?? 22 ~???Re~LVL ?????粘性力與慣性力相當，則有： 由此得： Re1~L?所以： 由此可見，在高雷諾數的條件下，邊界層厚度遠小于被繞物體 的特征長度，即 這與試驗結果相符。 1??L? 在邊界層研究中有不同的雷諾數的定義，一般的作為整個流動的雷諾數為 。式中 為無窮遠處為受擾動的來流流速， L為繞流物體的某一特征長度，如平板的長度，圓柱或圓球的直徑等。 對于邊界層常定義： 為邊界層雷諾數， x為沿邊界層坐標自繞流物體前緣算起的距離。邊界層雷諾數還常定義為： 由于 ，因此 Rex與 Reδ 之間又確定的數量關系。當邊界層雷諾數增達到一定數值后流動可從層流轉變?yōu)槲闪鳌Ｓ袑恿鬓D變?yōu)槲闪鞯狞c的雷諾數稱為臨界雷諾數。 ?UvLU??Rev xUx ??RevU ?? ??Re)(x?? ? 522 邊界層排擠厚度 在固體壁面附近的邊界層中，由于流速受到壁面的阻滯而降低，使得在這個區(qū)域內所通過的流量較之理想流體流動時所能通過的流量減少，相當于邊界層的固體壁面像流動內移動了一個距離 δ1后理想流體流動所通過的流量。這個距離 δ1稱為邊界層位移厚度。如圖相當 OAB面積的流量與 BCD面積的流量二者相等。 根據定義： 即為位移厚度的定義及計算公式。 ?????????010)1()(dyUudyuUU????o A B u U E c U y D δ1 圖 52 邊界層位移厚度 523邊界層動量損失厚度 邊界層內流速的降低不僅使通過的流體質量減少，而也是通過的流體動量減少了。邊界層中實際通過的流體動量為 ，如果這些質量通量具有的動量為 ，則二者相差相當于將固體壁面向流動內部移動一個 δ2的距離，即： δ2即稱為動量損失厚度或簡稱為 動量厚度。圖中水平陰影部分面 積為位移厚度 δ1， 豎向陰影部分 面積為動量損失厚度 δ2。 與 和兩坐標軸間所形成矩形 的面積即為邊界層厚度。面積比 較可得： ???????????????02002022)1()(dyUuUudyuUudyuu U d yU???????Uu??y??? ?? 12??0 2dyu? ??0 uUdy? 0 y δ u/U(1u/U) 1u/U u/U u/U U 圖 53 邊界層內 u/U,(1u/U),u/U(1u/U) 524 邊界層能量損失厚度 邊界層內的流速降低同樣使流體的動能通量也減小了。能量損失厚度定義為： 由能量厚度可以計算流動的水頭損失。邊界層外的勢流區(qū)不會由能量損失，能量損失完全產生于邊界層內。單寬重量流體的動能損失為流速水頭損失 ， 式中 q為二位流動是單位寬度過水段面的體積流量。 dyudyuUU ?? ?? ?? 0 30 233 212121 ????dyuuU? ? ?? 0 32 )(21 ?? ? ??? 0 223 )1( dyUuUu?3333221)( ????gqUqUxh f ??)(xhf525 舉例 為了形象地說明邊界層幾個厚度的關系，先對一個邊界層內流速為線性分布的典型情況進行分析，如圖 54 。設流速分布為： 則 定義 為邊界層形狀參數， 則此時 。 ??????????416121)1()1(32001?????????? dyydyUuyUu2112 ???H ?Hδ δ2 δ3 δ1 U u u o y 圖 54 邊界層各種厚度的比較 53不可壓縮層流邊界層基本方程和邊界條件 531 平壁面層流邊界層基本方程 （ 51） （ 52） （ 53） 為了簡化此方程組，首先對它進行無量綱化。根據邊界層流動的特點，可以選取 L 、 δ 及 U分別為 x,y及 u的特征值，并且可知： 0)(1)(122222222??????????????????????????????????????????yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutu??????Re~~~0ee uLudyxuv ????? 故可取 為 v的特征量。當邊界層中沿流動方向的壓力梯度與慣性力具有相同量級時，則有 于是可取 為 p的特征量。我們假定在邊界層中， t具有 L/ue的量級。用這些特征量去度量各相應的物理量，