【正文】 存在任何相互聯(lián)系的量綱作為 基本量綱； 其它的量綱均可由基本量綱導(dǎo)出，這種可以 由基本量綱導(dǎo)出的量綱 稱為 導(dǎo)出量綱 。 實踐證明，對于 一般工程技術(shù)問題 ，采用3個基本量綱 !!! 長度 [ l ]=L, 時間 [ t ]=T, 質(zhì)量 [ m ]=M, 流體力學(xué)中 ，基本量綱有 4個，除了上述 3個以外，再加上一個溫度 [ T ]= ?56 導(dǎo)出量綱的表示：用基本量綱的組合表示 例力學(xué)的某物理量 A, 有量綱形式 [ A ] =Lc1Mc2Tc3 c4，當(dāng) c c c c4全為零時， A 為無量綱數(shù)。 速度的量綱 [ v ] = LT1 力的量綱 [ F ] = LMT2 導(dǎo)熱系數(shù)的量綱 [ ] = MLT3 壓力的量綱 [ P ] =ML1T2 雷諾數(shù)的量綱 [ Re ] = L0T0M0 ，為無量綱數(shù) ?? 把若干個物理量量綱公式中的指數(shù)按量綱一一對應(yīng)排列而成的矩陣 量綱矩陣 57 （ 2）量綱和諧 量綱分析法的物理本質(zhì)，在于描述一個流動現(xiàn)象的微分方程中各項量綱的和諧性。利用量綱和諧性的原則可以進(jìn)行各種單位之間的換算，檢查物理方程的正確性以及尋找相似準(zhǔn)則和準(zhǔn)則方程 流體力學(xué)實驗研究的有力工具！ 如果用來描述一個物理現(xiàn)象的方程式是正確和有意義的話，必須保證方程式中各項的量綱相同。如果方程式中各項量綱不相同的話，則肯定該方程是錯誤的 量綱和諧性原理 例如：不可壓縮理想流動的伯努利方程為 20 /2p p u???p0和 p都是壓力，具有壓力的量綱 [p0]＝ [p] ＝ ML1T2； 再看 ρu2, [ρu2] ＝ ML3L2T2 ＝ ML1T2 因此 伯努利方程 滿足量綱和諧性原理 58 （ 3）基本物理量 一群物理量 A1， A2， A3， …… ， An，有 k個 基本量綱 B1， B2， B3， …… ，Bk。當(dāng) k ≤n時，如果其中有 k個物理量 A1， A2， A3， …… ， Ak，能同時滿足下列兩個條件，就稱這 k個物理量為基本物理量。 ① 在這群物理量中，除 A1， A2， A3， …… ， Ak以外的任何一個物理量的量綱公式都可以用基本物理量的量綱指數(shù)組合形式來表示，即存在量綱公式： 其中 為不全為零的常數(shù)。 ②基本物理量不可能組成一無量綱的組合量，即不可能存在下式： 或者說，不可能存在一組不全為零的 值使上式成立。 ? ? ? ? ? ? ? ?1212m m k mmkA A A A? ? ?? ???1 2 3, , , ,m m m k m? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 31 2 1 2 3 kkkA A A B B B B? ? ? ???? ? ???12, , , k? ? ????59 2. 因次分析法 （ 1）因次（量綱），基本因次（基本量綱），導(dǎo)出量綱 因次 ：任何物理量都有單位，根據(jù)單位可以將其歸屬到某一類，物理量種類即稱之為 因次（量綱） ，如時間 T，長度 L，質(zhì)量 M等。 基本因次 ：指相互獨立的因次，如 M， T， L等，基本因次的選擇視具體的物理過程而定，可以是 3個，也可以多于或少于 3個。具有基本因次的物理量稱為基本量。 導(dǎo)出量綱 ：通過基本量綱導(dǎo)出來的量綱，一般用基本因次的指數(shù)乘積形式來表示，如 [x] ＝ LaTbMc （ 2）流體力學(xué)中常用物理量的因次及因次方程式 因次方程式就物理量用基本因次來表示的關(guān)系式。下表就是用基本因次T， L， M表示的因次方程式。 60 61 定理 其中 A1, A2, A3, …, Ak 為基本物理量， 為不全為零的常數(shù)， Am是這群變量中除基本物理量外的任一物理量。 3. 定理 如果描述一物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系式 f ( A1, A2, …, Am, …, An )＝ 0 中有 n個獨立變量，而這群變量中包括了 k個基本量 ( k ≤ n )，那么這 n個變量之間的關(guān)系可以用 ( n k )個無量綱的 項的關(guān)系式 1 2 3( , , , , , , ) 0m n kF ? ? ? ? ? ???? ??? ??1212m m k mmmkAA A A? ? ?? ? ???（ 223） ?來表示，而 可以表示為 （ 224） ??12, , ,m m k m? ? ????62 理論和實驗證明 ， 用 定理導(dǎo)出的無量綱參數(shù)與通過方程無量綱化后得到的無量綱參數(shù)是 一致 的 。 定理把與物理現(xiàn)象有關(guān)的物理量之間的函數(shù)關(guān)系變成了由相似準(zhǔn)則組成的函數(shù)關(guān)系，因此 應(yīng)用 定理也能確定相似準(zhǔn)則以及原型與模型之間流動參數(shù)的換算關(guān)系 。 ???應(yīng)用 定理的具體步驟 ： ?(1) 分析所研究物理現(xiàn)象涉及到的基本影響因素，確定 n個獨立變量。 (2) 由這些變量的基本量綱出發(fā)列出量綱矩陣。 (3) 找出一組最有代表性和最容易測量的量作為基本物理量。 (4) 列出 ( n – k )個 項。 (5) 從 項的量綱和諧性原則出發(fā)，求出 項分母上各項的指數(shù)值。 (6) 將 項進(jìn)行整理。 必要時可將各 項相乘除或者對 項自身開 n次方，盡量使 項化成一般所熟悉的無量綱數(shù)，如 Re數(shù)、 Fr數(shù)或者 Ma數(shù)等。最后便可得到一個簡單的 項表示的函數(shù)關(guān)系式，即相似準(zhǔn)則的函數(shù)關(guān)系式。 ?? ??? ? ??63 例 當(dāng)潛艇在水下航行時，潛艇受到的阻力 R取決于航行速度 u、水的密度 ρ、運動粘度 v和潛艇長度 l。試確定阻力系數(shù) CR的表達(dá)式。 解 ： (1) 遵循應(yīng)用 定理的具體步驟，根據(jù)問題的影響因素， 確定獨立變量 。 R=φ(ρ,u,l,v) 或者 f (R,ρ,u,l,v) = 0， 一共 5個獨立變量 (n=5) (2) 從獨立變量的基本量綱出發(fā) 列出量綱矩陣 ，基本量綱選 L、 M、 T,則： ?(3) 選擇一組有代表性且易于測量的量作為基本物理量。如選擇 ρ、 u、 l，其對應(yīng)的 行列式 （綠色部分） 的值為 1（不等于零） , 即這三個變量相互獨立，故選其為 基本物理量（即 k=3,也可以選其它量）。 [ R ] [ ρ ] [ u ] [ l ] [ v ]L 1 3 1 1 2M 1 1 0 0 0T 2 0 1 0 1(4) 列出 (nk)即 (53)=2個 項 。 ?64 (5) 根據(jù) 量綱和諧 原理，求出 項分母上 的數(shù)值。 1 3 2 31 1 1 2 2 1 2 212 ,Rvu l u l??? ? ? ???????1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , ,? ? ? ? ? ?1 3 1 1 1 2 1 31 1 1 2 1 1 1 22 3 2 1 2 2 2 32 1 2 2 2 1 2 232321[ ] [ ] [ ] [ ] L M T L M T[ ] [ ] [ ] [ ] L T L M TR u lv u l? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ?? ? ?11 12 13 1111 1212 1331 122? ? ? ???? ? ? ? ?? ???? ? ???? ? ? ???21 22 23 2121 2222 2332 00111? ? ? ???? ? ? ? ?? ???? ? ???? ? ? ???1222 ,Rvu l ul??????解待定系數(shù)方程： ∴ 得到 2個 項為 ： ?65 (6) 根據(jù)需要 對 項進(jìn)行整理 。 39。122 21,12RR u lC R evul? ??? ? ? ?()RC f Re??阻力系數(shù)表達(dá)式可寫為 ： 例 研究機翼在粘性不可壓縮流動中的阻力特性時，根據(jù)經(jīng)驗，機翼的阻力 D與無窮遠(yuǎn)處的來流速度 u∞、空氣密度 ρ、動力粘度 μ、機翼弦長 b、攻角α(用弧度表示 )有關(guān)。 試用 π定理證明機翼阻力系數(shù) 2/ ( / 2 ) / ( , )DC D u S f R e????證明：依據(jù)題意可得 ，共 6個 獨立變量，即 n=6 列出基本 量綱的矩陣 見下表： ( , , , , , ) 0f u b D? ? ?? ?66 [ u ∞ ] [ ρ ] [ b ] [ μ ] [ α ] [ D ]L 1 3 1 1 0 1M 0 1 0 1 0 1T 1 0 0 1 0 2看綠色部分對應(yīng)的行列式， 其值為 1（不等于零），即該三個物理量互相獨立，因此可以取 u∞、 ρ、 b作為一組 基本物理量，即 k=3。所以應(yīng)該有 (nk)=(63)=3個 項 ，下面分別求出。 312[ ] [ ] [ ] [ ]D u b ??????1 2 3 213 2L M T L M T? ? ? ????? ?1 2 3 1221331 21122? ? ? ???? ? ? ?? ???? ? ???? ? ? ???22[ ] [ ] [ ] [ ]D u b???用 量綱關(guān)系式 表示： 解待定系數(shù)方程： ∴ 機翼阻力系數(shù)表示為： ?機翼阻力： 67 同理可得： [ ] [ ][ ][ ]ub????39。2221 ub Reub????? ? ???? ? ? ? ?0 0 0 3[ ] [ ] [ ] [ ]ub? ? ? ??? ? ?39。39。1 2 3( , )f? ? ??2( , )12ubD fuS? ??????( , )DC f R e ??即 ： 類似 ： 因此： 即： 用阻力系數(shù)表示 ： 由上式可以看出，機翼的阻力系數(shù)主要與飛行 Re數(shù)及攻角 α有關(guān)。 整理 得： 39。11222, 12DDD Cub uS??? ???? ? ? ?68 例 試用 定理分析粘性流體在光滑等直徑圓管中做均勻流動的問題。 解 ： （ 1）分析得到相關(guān)的 運動變量 。 流體物性：動力粘度 μ，液體密度 ρ 圓管幾何參數(shù)：長度 l，圓管內(nèi)徑 d 運動參數(shù)：平均流速 u，壓力降 Δp 總共 n=6個變量 ∴ 描述該流動過程的函數(shù)關(guān)系可以寫成： 則 ( , , , , , ) 0f p l d u????3 5 61 2 4p l d u? ? ?? ? ?? ? ????（ 2） 列出量綱矩陣 最右面 ρ、 μ、 d影響流動最明顯，也最容易測量，其組成的量綱矩陣值為 1不等于零，故可取其為基本物理量， 即 k=3， 所以 項應(yīng)為 3項 。 ?λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 λ 6[ △p ] [ l ] [ μ ] [ ρ ] [ u ] [ d ]L 1 1 1 3 1 1M 1 0 1 1 0 0T 2 0 1 0 1 069 令 ，解得 （ 3）根據(jù) 量綱和諧原則 ，寫出各指數(shù)的聯(lián)立方程。 1 2 3 4 5 61 3 41 3 530020? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??1 2 31 , 0 , 0? ? ?? ? ?1 2 30 , 1 , 0? ? ?? ? ?1 2 30 , 0 , 1? ? ?? ? ?4 5 61 , 2 , 0? ? ?? ? ? ? ?4 5 60 , 0 , 1? ? ?? ? ? ?4 5 61 , 1 , 1? ? ?? ? ? ? ? ?令 ，