【正文】 面負(fù)實軸的交點頻率稱為相位穿越頻率 ,顯然它應(yīng)滿足 (5126) 所謂幅值裕度 Kg是指相位穿越頻率所對應(yīng)的開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即 : (5127) 對于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)幅值裕度 Kg1( ），系統(tǒng)是穩(wěn)定的 (圖 553(a))，且 Kg值愈大 ,系統(tǒng)的相對穩(wěn)定 性愈好。如果幅值裕度 ， ( ),系統(tǒng)則不穩(wěn)定 ( 圖 553(b))。 當(dāng) Kg=1時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過點 (1,j0)。是臨界穩(wěn)定狀態(tài)?？梢?，求出系統(tǒng)的幅值裕度 Kg 后，便可根據(jù) Kg值的大小來分析最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度。 （二）幅值裕度 114 幅值裕度的含義 : 使系統(tǒng)到達(dá)臨界穩(wěn)定狀態(tài)時開環(huán)頻率 特性的幅值 增大 (對應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng) )或縮小 (對應(yīng)不穩(wěn)定系統(tǒng)）的倍數(shù)。 幅值裕度也可以用分貝數(shù)來表示， 分貝 (5128) 因此，可根據(jù)系統(tǒng)的幅值裕度大于、等于或小于零分貝來判斷最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。 必須指出，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞不能僅從相角裕度或幅角裕度的大小來判斷，必須同時考慮相角裕度和幅角裕度。 這從圖 554（ a）和（ b）所示的兩個系統(tǒng)可以得到直觀的說明， 對于一般系統(tǒng)，通常要求相角裕度 ，幅值裕度 （ 6分貝）。 115 圖 554 穩(wěn)定裕度的比較 圖 554（ a）所示系統(tǒng)的幅值裕度大，但相角裕度小 圖 554（ b）所示系統(tǒng)的相角裕度大，但幅值裕度小 116 通常有三種求解系統(tǒng)相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、極坐標(biāo)圖法和伯德圖法。下面通過實例進(jìn)行說明。 （一）解析法 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率的開環(huán)頻率特性，由式 (5124)和式 (5125)求出相角裕度；由式 (5126)和式 (5127)求出幅值裕度，如果幅值裕度用分貝數(shù)表示，則由式 (5128)求出 例 59 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 : 試求出該系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度。 解 :系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 : 其幅頻特性和相頻特性分別是 : 三、相角裕度和幅值裕度的求解方法 117 由式（ 5124）令 得 : 由式（ 5125）得 : 由式（ 5－ 126）得，令 得 : 由式（ 5－ 127） 118 （二）極坐標(biāo)圖法 在 GH平面上作出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖，并作一單位圓，由單位圓與開環(huán)頻率特性的交點與坐標(biāo)原點的連線與負(fù)實軸的夾角求出相角裕度 ；由開環(huán)頻率特性與負(fù)軸交點處的幅值 的倒數(shù)得到幅值裕度 Kg。 圖 555 例 59極坐標(biāo)圖 在上例中，先作出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線如圖 555所示，作單位圓交開環(huán)頻率特性曲線于 A點，連接 OA，射線 OA與負(fù)實軸的夾角即為系統(tǒng)的相角裕度 。開環(huán)頻率特性曲線與負(fù)實軸的交點坐標(biāo)為 (,j0) 由此得到系統(tǒng)的幅值裕度 : 119 （三）伯德圖法 畫出系統(tǒng)的伯德圖，由開環(huán)對數(shù)幅頻特性與零分貝線（即 軸）的交點頻率 ，求出對應(yīng)的相頻特性與 線的相移量，即為相角裕度 。當(dāng)對應(yīng)的相頻特性位于 線上方時， ； 反之，當(dāng) 對應(yīng)的相頻特性位于 線下方時， 。 然后，由相頻率特性與 線的交點頻 率 ,求出對應(yīng)幅頻特性與 零分貝線的差值，即為幅值裕度 Kg的分貝數(shù)。 當(dāng) 對應(yīng)的幅頻特性位于零分貝線下方時， ，反之，當(dāng) 對應(yīng)的幅頻特性位于零分貝線上方時， 。 例 59的伯德圖如圖 556所示。從圖中，可直接得到幅值穿越頻率 , 相角穿越頻率 ，相角裕度 ，幅值裕度 圖 556 例 59題 Bode圖 120 比較上述三種解法可知： 解析法 :比較精確，但計算步驟復(fù)雜，而且對于三階以上的高階系統(tǒng)，用解析法是很困難的。 圖解法 :以極坐標(biāo)圖和伯德圖為基礎(chǔ)的圖解法，避免了繁鎖的計算，具有簡便、直觀的優(yōu)點，對于高階系統(tǒng)尤為方便。不過圖解法是一種近似方法，所得結(jié)果有一定誤差，誤差的大小視作圖的準(zhǔn)確性而定。 伯德圖法和極坐標(biāo)法雖然都是圖解法，但前者不僅可直接從伯德圖上獲得相角裕度 和幅值裕度 ，而且還可直接得到相應(yīng)的幅值穿越頻率 和相位穿越頻率 。同時伯德圖較極坐標(biāo)圖方便，因此在工程實踐中得到更為廣泛的應(yīng)用。 121 前面已經(jīng)介紹，求出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可以定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。下面通過示例進(jìn)一步說明。 例 510 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。 解 : 該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖分別如圖 557(a) （當(dāng) 時）和圖 557(b)(當(dāng) 時 )所示 .由圖 557(a)可知，當(dāng) 時，系統(tǒng)的相角裕度 ，由圖 557(b)可知，當(dāng)時，系統(tǒng)的相角裕度 。系統(tǒng)的幅值裕度 用解析法求解如下： 系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為 : 四、穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)的穩(wěn)定性 122 令 ,則有 ，故 或 , 對應(yīng) S平面的坐標(biāo)原點 ,舍去。 ,由此求出系統(tǒng)的幅值裕度為 : 可見，當(dāng) ，則 。 時， ，該系統(tǒng)不穩(wěn)定； 時， ，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，結(jié)論與例 58應(yīng)用奈氏判 據(jù)的結(jié)果一致。 圖 557 例 510極坐標(biāo)圖 123 例 511 已知非最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其與系統(tǒng)穩(wěn)定裕度之間的關(guān)系。 解 : 在一定的 K值條件下，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖 558所示。由于該系統(tǒng)有一個為于右半部 S平面的開環(huán)極點 ，奈氏曲線逆時針包圍 (1,j0)點一周（ N=－ 1），根據(jù)奈氏判據(jù)，該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 但由圖解法求出該系統(tǒng)的相角裕度 , 幅值裕度 Kg1,這說明以相角裕度 和幅值裕度 Kg1作為判別非最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定性的依據(jù)是不可靠的。 從上面示例可以看出，對于非最小相位系統(tǒng)，不能簡單地用系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度的大小來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對于最小相位系統(tǒng)以相角裕度 和幅值裕度 Kg1(或 K(dB)0)作為系統(tǒng)穩(wěn)定 的充要條件是可靠的。 圖 558 例 511極坐標(biāo)圖 124 但穩(wěn)定性是系統(tǒng)能否正常工作的一個基本條件，為了研究自動控制系統(tǒng)的其它性能指標(biāo)，僅知道系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性是不夠的。 為此有必要進(jìn)一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。一般情況下，求解系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性十分復(fù)雜煩瑣，在實際中通常都是采用圖解法來求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。 一、向量作圖法 如圖 559所示單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù) : 圖 559 單位反饋系統(tǒng) (5129) 通過本章前面幾節(jié)的介紹，我們已經(jīng)了解到系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性對分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度（即相對穩(wěn)定性）具有十分重要的意義。 56 閉環(huán)頻率特性 125 用 代入上式，就可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性表示為 (5130) 圖 560 向量作圖法求閉環(huán)頻率特性 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖 560 所示。由圖可見，當(dāng) 時 由此得到 時系統(tǒng)的閉環(huán) 頻率特性為 式中 是單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)開環(huán)頻率特性 ,它 可用 代入系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 得到，也可以用 方法獲得。 式 (5130)描述了系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 頻率特性 之間的關(guān)系。 閉環(huán) 實驗 與 126 圖 561 系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性 A(ω) 和閉環(huán)相頻特性 ? ??? 上式表明，當(dāng) 時，系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的幅值等于向量 與 的幅值之比， 而閉環(huán)頻率特性的相角等于向量 OA與 QA的相角差。這樣，逐點測出不同頻率處對應(yīng)向量的幅值和相角，便可繪制如圖 561所示的閉環(huán)幅頻特性 A(ω)和閉環(huán)相頻特性 。 ? ???應(yīng)當(dāng)指出，雖然向量作圖法說明了開環(huán)頻率特性 G(jω) 與閉環(huán)頻率特性 之間 的幾何關(guān)系，但由于需要逐點測量和作圖，十分不便，因而在實際應(yīng)用中很少采用。 127 由向量作圖法和圖 560可看出，對于 G平面上任一點 A，總有一個閉環(huán)幅值 與之對應(yīng)，如果令閉環(huán) 幅值 為一常數(shù) M，那么它在 G平面上是一個什么樣的圖形呢？ 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 : 式中 U、 V分別是 G（ jω）的實部與虛部，它們都是角頻率 ω的實函數(shù)，由此得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 : 令 : 即 : 二、等 M圓圖 128 由此得到 : 若 M=1，則 U=1/2，這是在 G平面上過點 (1/2,j0)且平行于虛軸的直線方程，即 U=1/2是 M=1在 G平面上的等幅值軌跡。 若 ，則式（ 5132）可寫成 : 既 : （ 5133） 這是一個標(biāo)準(zhǔn)圓方程，圓心坐標(biāo)為 ，半徑是 當(dāng) M1時，圓的半徑隨 M值的增加而減小，圓心位于 上點左側(cè)且收斂于（ 1， j0）點；當(dāng) M1時，圓的半 徑 隨 M值的增加而增大，圓心位于正實軸上且收斂于 (0， j0) 點。當(dāng) M=1時，它可看成是半徑為無窮大且圓心位于實軸上無 窮遠(yuǎn)的特殊圓。 負(fù)實軸 129 由不同的 M值在 G平面上構(gòu)成的這簇圓叫做等 M圓或等幅值軌跡。由圖 562可看出，等 M圓在 G平面上是 以實軸為對稱的，它們的圓心均在實軸 上。 圖 562 等 M圓圖 直線（ 無窮大圓?。划?dāng) M1時 ，等 M 圓簇均位于 當(dāng) M=1時 ，它是一條過 (1/2,j0) 點且平行于虛 軸的 直線 U= 1/2的左側(cè)，且圓心 由負(fù)實軸（ 1， j0 ）點左側(cè) 收斂于（ 1， j0）點； 當(dāng) M1時 ，等 M圓簇均位于直線 U=1/2 的右側(cè)，且圓心由正實軸收斂于（ 0， j0）點。 130 在工程實踐中，應(yīng)用等 M圓求取閉環(huán)幅頻特性時，需先在透明紙上繪制出標(biāo)準(zhǔn)等 M圓簇，然后按相同的比例尺在白紙或坐標(biāo)紙上繪制出給定的開環(huán)頻率特性 G(jω)的紙上重疊起來，并將它們的坐標(biāo)重合，最后根據(jù) G(jω)曲線與等 M圓簇的交點得到對應(yīng)的 M值和 ω值，便可繪制出閉環(huán)幅頻特性 A(ω)(如圖 563和圖 564所示 )。 圖 563 利用等 M圓圖求取 A(ω) 圖 564 控制系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性圖 131 需要指出 ，上述方法可直接得到 G(jω)與等 M圓簇各交點處的 M值，其對應(yīng)的 ω值還必須查表才能得到。 方法是 ，先根據(jù)給定的開環(huán)頻率特性 G(jω)表達(dá)式，分別由給定的 ω值 (按合適步長從小到大 )計算出開環(huán)幅頻特性 和開環(huán)相頻特性 的對應(yīng)值， 這只要編制一個簡單程序，便可將所有數(shù)據(jù)計算和打印出來（如表 51所示）。對照G(jω)與等 M圓簇各交點坐標(biāo)位置查表得到對應(yīng)的角頻率 ω值，最后將各交點的 ω值和 M值列表（如表 52所示）標(biāo)出，便可繪出如圖 564所示的閉環(huán)幅頻特性 A(ω)。 132 用等 M圓求取閉環(huán)幅頻特性不僅簡單方便，而且可以在 G平面上直接看到當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線 G(jω)的形狀發(fā)生某種變化時，閉環(huán)幅頻特性 A(ω)將會因之出現(xiàn)那些相應(yīng)的變化，以及這些變化的趨勢。 由圖 563和圖 564還可看出，與 G(jω)曲線相切的圓所表示的M值就是閉環(huán)幅頻特性的最大值，如果切點的 M值大于 1，則切點處的 M值就是諧振峰值 Mr，對應(yīng)的頻率值就是諧振頻率 ωr。 諧振峰值 Mr和諧振頻率 ωr是閉環(huán)幅頻特性的兩個重要特征量。它們與閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能密切相關(guān)，有關(guān)內(nèi)容將在 167。 57中討論。 133 三、等 N圓圖 用等 M圓圖和開環(huán)頻率特性可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性 A(ω)。用類似的方法進(jìn)一步研究系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性 及其在 G平面上的圖形。 則其閉環(huán)