16734子式與代數(shù)余子式行列式依行依列展開-資料下載頁
2025-10-08 21:41本頁面
【導讀】先引進子式與代數(shù)余子式概念.行列式D的一個k階子式.1)i+j后,被稱為元素aij的代數(shù)余子式.都可寫作:⑴aa...a,其中j2,j3,...,jn是n?不同列上,是D的一項.零,∴D的每項都可寫成⑵的形式.的某項的乘積,∴D與a11M11有相同的項.M11中的符號應(yīng)該是(?⒉考察一般情形.列,且保持aij的余子式不變.這就需要把D的第i行依次與第i?2,...,2,1行交換,共交換i?最后把aij換到第1行第1列的位置.素全為零,由本證明⒈的結(jié)論,
【正文】 解 : 依第 1列展開 , 1 2 3 2 11 0 ... 0 00 1 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 1...nn n nxxxxa a a a x a? ? ???????11 0 ... 0 01 ... 0 0( 1 ) 0 ... 0 0... ... ... ... ...0 0 ... 1nnxa xx??????167。 子式與代數(shù)余子式 注意到 , 右邊的第 1個 n?1階行列式與 ?n形式相同 ,記作 ?n?1 。 第 2個 n?1階行列式等于 (?1)n?1 . 所以有遞歸式 : ?n = x?n?1 + an (對 n?2都成立 ). ∴ ?n = x?n?1 + an = x(x?n?2 + an?1)?n?1 + an = x2 ?n?2 + an?1x + an = ...... ...... ...... = xn?1 ?1 + a2 xn?2 + ... + an?1x + an . 而 , ?1 = |x+a1| = x+a1 . 最后得結(jié)果 : ?n = xn + a1 xn?1+ a2 xn?2 + ... + an?1x + an . 167。 子式與代數(shù)余子式 (類似上例 , 計算行列式歸結(jié)為計算形式相同而階數(shù)較低的行列式的方法是很常用的 , 再用此法計算一個數(shù)學多數(shù)學科常用的行列式 ) 例 6 計算 n階 Vandermonde(范得蒙 )行列式 : 122 2 2121 1 1121 1 ... 1......... ... ... ......nn nn n nna a aD a a aa a a? ? ??167。 子式與代數(shù)余子式 解 : 由最后 1行開始 , 每行減去它的相鄰的前一行乘以 a1, 得 : 2 1 3 1 12 2 1 3 3 1 12 2 22 2 1 3 3 1 11 1 1 ... 10 ...0 ( ) ( ) ... ( )... ... ... ... ...0 ( ) ( ) ... ( )nn nnn n nnna a a a a aD a a a a a a a a aa a a a a a a a a? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?167。 子式與代數(shù)余子式 提出每列的公因子 , 得 : 2 1 3 1 12 2 1 3 3 1 12 2 22 2 1 3 3 1 1...( ) ( ) ... ( )... ... ... ...( ) ( ) ... ( )nThnnnn n nnna a a a a aa a a a a a a a aDa a a a a a a a a? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?由232 2 22 1 3 1 1 232 2 2231 1 ... 1...( ) ( ) ...( ) ...... ... ... ......nnn nn n nna a aD a a a a a a a a aa a a? ? ?? ? ? ?返回第 三 章目錄 167。 子式與代數(shù)余子式 上式右邊有一個 n?1階范得蒙行列式 . 記之 Dn?1 . ∴ Dn = (a2?a1)(a3?a1)...(an?a1) Dn?1 . 同理 : Dn?1 = (a3?a2)(a4?a2)...(an?a2) Dn?2 . ...... . 最后得 : Dn = (a2?a1)(a3?a1)...(an?a1)? (a3?a2)(a4?a2)...(an?a2)?...............?(an?an?1)
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