一、微分的概念-資料下載頁(yè)
2024-10-17 21:11本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】中刪去高階無(wú)窮小量項(xiàng)關(guān)于的一個(gè)線性近y?似式,這就是“微分”;其中的線性因子即為0()fx?導(dǎo)數(shù).所以,微分和導(dǎo)數(shù)是一對(duì)相輔相成的概念.線性部分,請(qǐng)先看一個(gè)具體例子.定義5設(shè)函數(shù)如果增量0(),().yfxxUx??即在點(diǎn)可導(dǎo),且f0x0().fxA??公式說明函數(shù)增量可0Δ()Δ(Δ),yfxxox???()fxI在上的微分記為的可微函數(shù).這相當(dāng)于的情形,此時(shí)顯然有yx?由于故運(yùn)算法則4又可以寫成。立.這個(gè)性質(zhì)稱為“一階微分形式不變性”.僅看成是的函數(shù),x. 注由于與x無(wú)關(guān),因此x的二階微分Δxd(Δ)x?三者各不相同,不可混淆.當(dāng)x是中間變量yfxxt???它比式多了一項(xiàng)2()d,fxx?如果將漏掉就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.由于故當(dāng)很小時(shí),有Δx
【正文】 有 Δx 由此得 Δ d .yy?記 , 即當(dāng) 時(shí)， (8) 式可改寫為 0 Δx x x?? 0xx?公式 (9) 分別用于 sin x, tan x, ln(1+x), ex ( x0= 0 ), ,sin xx ? ,tan xx ? ? ? ,1ln xx ?? .1e xx ??例 5 試求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效數(shù)字 ). 解 0πππsi n 33 si n ( ) , ( ) si n , ,6 60 6f x x x? ? ? ?取π ,60x? ? 由公式 (9) 得到 處的切線近似代替曲線 , 這種線性近 00( , ( ) )P x f x可得近似計(jì)算公式 ( 試與等價(jià)無(wú)窮小相比較 ): 似的方法可以簡(jiǎn)化一些復(fù)雜的計(jì)算問題 . 2. 誤差的估計(jì) 0| Δ | | | ,xx x x ?? ? ?πππsi n 33 si n ( ) c os ( ) 5 .6 6 60? ? ? ?設(shè)數(shù) x 是由測(cè)量得到的 , y 是由函數(shù) 經(jīng)過 ()y f x?果已知測(cè)量值 x0 的誤差限為 , 即 x?算得到的 y0= f (x0) 也是 y = f (x) 的一個(gè)近似值 . 如 差 , 實(shí)際測(cè)得的值只是 x 的某個(gè)近似值 x0 . 由 x0 計(jì) 計(jì)算得到 . 由于測(cè)量工具精度等原因 , 存在測(cè)量誤 000() . ( 11 )| | ( )yxfxy f x????例 6 設(shè)測(cè)得一球體直徑為 42cm, 測(cè)量工具的精度 0 0 0| Δ | | ( ) ( ) | | ( ) Δ | | ( ) | .xy f x f x f x x f x ???? ? ? ?則當(dāng) x? 很小時(shí) , 量 y0 的絕對(duì)誤差估計(jì)式為 : 相對(duì)誤差限則為 而 的 0| ( ) |yxfx????稱 為 y0 的絕對(duì)誤差限 , 0y為 . 試求以此直徑計(jì)算球體體積時(shí)引起的 33001 π 3 8 7 9 2 .3 9 c m ,6Vd??2 2 301 ππ 42 c m 。22Vd d??? ? ? ? ?解 以 d0 = 42, 0 .0 5d? ? 計(jì)算的球體體積和誤差估 絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限 . 計(jì)分別為 : 2030001π321||π6ddd?? ? ? ?‰ .
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