【正文】 設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為又設(shè)Y1,Y2是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Y1,Y2都與Y有相同的分布律。求Y1,Y2的聯(lián)合分布律。并求P{Y1=Y2}。（2）問在14題中X,Y是否相互獨(dú)立？解：（1）由相互獨(dú)立性，可得Y1,Y2的聯(lián)合分布律為P{Y1=i,Y2=j}=P{Y1=i}P{Y2=j}，i,j=1,0,1結(jié)果寫成表格為P{Y1=Y2}=P{Y1=Y2=1}+P{Y1=Y2=0}+P{Y1=Y2=1}=(1q)2+q2/2。（2）14題中，求出邊緣分布律為很顯然，P{X 23，設(shè)=0,Y=0}185。P{X=0}P{Y=0}，所以X,Y不是相互獨(dú)立。X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X~U(0,1)，Y的概率密度為23概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答236。8y0y1/2fY(y)=237。其他238。0試寫出 X,Y的聯(lián)合概率密度，并求P{XY}。 解：根據(jù)題意，X的概率密度為236。10x1fX(x)=237。其他238。0所以根據(jù)獨(dú)立定，X,Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=f236。8y0x1,0y1/2X(x)fY(y)=237。238。0其他1/21P{XY}=f(x,y)dxdy==2x242。242。y242。dx0242。8ydxy3 24，設(shè)隨機(jī)變量X求Y=X2+1的分布律。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為 25，設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，求U=X的概率密度。 解：設(shè)X,U的概率密度分別為fX(x),fU(u)，U的分布函數(shù)為FU(u)。則 當(dāng)u163。0時(shí)，F(xiàn)U(u)=P{U163。u}=P{X163。u}=0，fU(u)=0； 當(dāng)u0時(shí)，F(xiàn)U(u)=P{U163。u}=P{X163。u}=P{u163。X163。u}=2F(u)1， f’2u2/2U(u)=[FU(u)]=2fX(u)=pe。236。2f239。eu2/2所以，u0U(u)=237。239。p238。0u163。0。24概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 26，（1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為)=236。237。exf(xx0238。0其他 求Y=X的概率密度。（2）設(shè)隨機(jī)變量X~U(1,1)，求Y=(X+1)/2的概率密度。（3）設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，求Y=X2的概率密度。 解：設(shè)X,Y的概率密度分別為fX(x),fY(y)，分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)。則（1）當(dāng)y163。0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y163。y}=P{X163。y}=0，fY(y)=0； 當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y163。y}=P{X163。y}=P{X163。y2}=FX(y2)，fY(y)=[FY(y)]’=2yf2 yX(y2)=2ye。2所以，(y)=236。239。237。2yeyfy0Y239。238。0y163。0。（2）此時(shí)f)=236。237。1/21x1X(x其他。238。0因?yàn)镕Y(y)=P{Y163。y}=P{(X+1)/2163。y}=P{X163。2y1}=FX(2y1)， 故， fY(y)=[F’Y(y)]=2fX(2y1)=1,12y11，所以，f(y)=236。237。10y1Y238。0其他。（3）當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{Y163。y}=P{X2163。y}=P{y163。X163。y}=F(y)F(y)=2F(y)1，故， f’2Y(y)=[FY(y)]=2fX(y)112y=2pyey/。 236。1所以，f)=239。237。ey/2y0Y(y239。2py238。0其他。 25概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 27，設(shè)一圓的半徑X是隨機(jī)變量，其概率密度為236。(3x+1)/80x2f(x)=237。0其他238。求圓面積A的概率密度。 解：圓面積A=pX，設(shè)其概率密度和分布函數(shù)分別為g(y),G(y)。則2G(y)=P{pX2163。y}=P{X163。g(y)=[G(y)]=‘y/p}=FX(y/p)， 故12y180。3y+8=3y+16py,0y/p212yf(y/p)=236。3y+239。所以，g(y)=237。16py239。0238。 0y4p其他。28，設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0,s2)，驗(yàn)證Z=X2+Y2的概率密度為236。zz2/(2s2)239。efZ(z)=237。s2239。0238。解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，所以它們的聯(lián)合概率密度為z179。0其他。f(x,y)=先求分布函數(shù)，當(dāng)z12ps2ex2+y22s。0時(shí)，F(xiàn)Z(z)=P{Z163。z}=P{X2+Y2163。z2}2pz=2x+y163。z242。242。2f(x,y)dxdy=242。dq242。21 22ps0er22s2rdr=1ez22s2，故，236。zz2/(2s2)239。e’fZ(z)=[FZ(z)]=237。s2239。0238。z179。0其他。29，設(shè)隨機(jī)變量X~U(1,1)，隨機(jī)變量Y具有概率密度f(wàn)Y(y)=1，165。y+165。，2p(1+y)設(shè)X,Y相互獨(dú)立，求Z解：因?yàn)?X+Y的概率密度。，所以Z236。1/21x1fX(x)=237。其他238。0=X+Y的概率密度為26 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答+165。z+1fZ(z)=242。fY(y)fX(zy)dy=11[arctan(z+1)arctan(z1)]。 =242。z12p(1+y2165。)2p 30隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為f(x)=236。237。lelxx0X，fy)=236。238。0其他237。l2yelyy0Y(238。0其他l0，X,Y相互獨(dú)立。求Z=X+Y的概率密度。解： 根據(jù)卷積公式，得+165。zfZ(z)=flzX(zy)dy=242。fY(y)165。242。l3yelzdy=l32，z0。 02ze所以Z=X+Y的概率密度為236。f(y)=239。l32lz237。2zez0Y。239。238。0其他 31，設(shè)隨機(jī)變量X,Y都在(0,1)上服從均勻分布，且X,Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y的概率密度。 解：因?yàn)閄,Y都在(0,1)上服從均勻分布，所以f)=236。237。10x1X(x，f(y)=236。237。10x1238。0其他Y238。0其他根據(jù)卷積公式，得236。1239。+165。239。z242。1dy,z179。11236。2z,1163。zf=239。z2f237。242。1dy,0163。z1=239。Z(z)=242。Y(y)fX(zy)dy237。z,0163。z1 。165。239。0239。其他239。0,其他239。0,238。238。 32，設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合概率密度為236。33xf(x,y)=239。237。e，x0,0163。y163。2239。2238。0，其他（1） 求邊緣概率密度f(wàn)X(x),fY(y)。（2） 求Z=max{X,Y}的分布函數(shù)。（3） 求概率P{1/2Z163。1}。27概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答解：（1）236。23x239。242。3e/2dy=3e3x，x0fX(x)=242。f(x,y)dy=237。0；165。239。0,其他238。+165。236。165。3x239。242。3e/2dx，0163。y163。2236。1/2，0163。y163。2+165。0239。239。239。fY(y)=242。f(x,y)dx=237。=237。165。239。0，239。0，其他其他238。239。239。238。（2）Z=max{X,Y}的分布函數(shù)為FZ(z)=P{Z163。z}=P{max{X,Y}163