【正文】 16. 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，.【解】設(shè)Xi（i=1,2,…,n）是裝運(yùn)i箱的重量（單位：千克），n為所求的箱數(shù)，由條件知，可把X1，X2，…，Xn視為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，而n箱的總重量Tn=X1+X2+…+Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和，由條件知： 依中心極限定理，當(dāng)n較大時，,故箱數(shù)n取決于條件 因此可從解出n,即最多可裝98箱.習(xí)題六~N（60，152），從總體X中抽取一個容量為100的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于3的概率.【解】μ=60,σ2=152,n=100即 （，52）中抽取容量為n的樣本，若要求其樣本均值位于區(qū)間（,），則樣本容量n至少取多大？【解】 則Φ()=，,即n，所以n至少應(yīng)取25~N（1000，σ2）（單位：小時），隨機(jī)抽取一容量為9的樣本，事后失去了此試驗(yàn)的結(jié)果，只記得樣本方差為S2=1002，試求P（＞1062）.【解】μ=1000,n=9，S2=1002，假定有2%的樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上，求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.【解】，由P(|μ|4)=P|Z|4(σ/n)=,故,即查表得 所以 ~N（μ，16），X1，X2，…，X10是來自總體X的一個容量為10的簡單隨機(jī)樣本，S2為其樣本方差，且P（S2＞a）=，求a之值.【解】查表得 所以 ，X1，X2，…，Xn是來自總體X的一個簡單隨機(jī)樣本，試問統(tǒng)計量Y=，n＞5服從何種分布？【解】且與相互獨(dú)立.所以~N（20，3）的容量分別為10，.【解】令的容量為10的樣本均值，為容量為15的樣本均值,則~N(20,310), ~N(20,)，且與相互獨(dú)立.則那么所以 ~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,= 服從 分布,參數(shù)為 . 【解】i=1,2,…,15.那么且與相互獨(dú)立,所以所以Y~F分布，參數(shù)為（10,5）.~N（μ1,σ2）,總體Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,和Y1，Y2，…，分別來自總體X和Y的簡單隨機(jī)樣本，則= . 【解】令 則 又那么 ~N（μ,σ2），X1，X2，…，X2n（n≥2）是總體X的一個樣本，令Y=，求EY. 【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互獨(dú)立.令 則 故 那么所以11. 設(shè)總體X的概率密度為f(x)= (∞x+∞),X1，X2，…，Xn為總體X的簡單隨機(jī)樣本，其樣本方差為S2，求E(S2).解： 由題意，得于是 所以.習(xí)題七（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn為來自X的樣本，求參數(shù)p的矩法估計.【解】因此np=所以p的矩估計量 f（x,θ）=X1，X2，…，Xn為其樣本，試求參數(shù)θ的矩法估計.【解】令E(X)=A1=,因此=所以θ的矩估計量為 （x，θ），X1，X2，…，Xn為其樣本，求θ的極大似然估計.（1） f（x，θ）=（2） f（x，θ）=【解】（1） 似然函數(shù)由知所以θ的極大似然估計量為.(2) 似然函數(shù),i=1,2,…,n.由知所以θ的極大似然估計量為 ，結(jié)果如下：序號12345678910收益率求這批股民的收益率的平均收益率及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計值.【解】 由知,即有于是 .［0，θ］上的均勻分布，今得X的樣本觀測值：,,，求θ的矩法估計和極大似然估計，它們是否為θ的無偏估計.【解】(1) ,令，則且,所以θ的矩估計值為且是一個無偏估計.(2) 似然函數(shù),i=1,2,…,8.顯然L=L(θ)↓(θ0)，那么時，L=L(θ)最大,所以θ的極大似然估計值=.因?yàn)镋()=E()≠θ,所以=不是θ的無偏計.，X2，…，Xn是取自總體X的樣本，E（X）=μ，D（X）=σ2， =k,問k為何值時為σ2的無偏估計.【解】令 i=1,2,…,n1,則 于是 那么當(dāng),即時,有 ，X2是從正態(tài)總體N（μ，σ2）中抽取的樣本試證都是μ的無偏估計量，并求出每一估計量的方差.【證明】（1）,所以均是μ的無偏估計量.(2) ，其直徑X~N（μ，σ2），由過去的經(jīng)驗(yàn)知道σ2=,今隨機(jī)抽取6枚，測得其長度（單位mm）如下： .【解】n=6,σ2=,α==,.~N(μ,σ2)，σ2已知，問需抽取容量n多大的樣本，才能使μ的置信概率為1α，且置信區(qū)間的長度不大于L？【解】由σ2已知可知μ的置信度為1α的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長度為,那么由≤L,得n≥~N（μ，σ2），今隨機(jī)抽取20塊磚頭，測得數(shù)據(jù)如下（kgcm2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） .（2） .【解】 (1) (2)~f(x)=X1,X2,…,Xn是X的一個樣本，求θ的矩估計量及極大似然估計量.【解】(1)又故所以θ的矩估計量 (2) 似然函數(shù).取對數(shù)所以θ的極大似然估計量為~f(x)= X1,X2,…,Xn為總體X的一個樣本（1） 求θ的矩估計量；（2） 求.【解】(1) 令 所以θ的矩估計量 (2)，又于是,所以f(x,θ)= 其中θ(θ0)為未知參數(shù)，又設(shè)x1,x2,…,xn是總體X的一組樣本觀察值，求θ的極大似然估計值.【解】似然函數(shù)由那么當(dāng)所以θ的極大似然估計量14. 設(shè)總體X的概率分布為X0 1 2 3Pθ2 2θ(1θ) θ2 12θ其中θ(0θ)是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估計值和極大似然估計值.【解】所以θ的矩估計值（2） 似然函數(shù)解得 .由于 所以θ的極大似然估計值為 .F（x,β）=其中未知參數(shù)β1,α0，設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本（1） 當(dāng)α=1時，求β的矩估計量；（2） 當(dāng)α=1時，求β的極大似然估計量；（3） 當(dāng)β=2時，求α的極大似然估計量. 【解】當(dāng)α=1時，當(dāng)β=2時, (1) 令,于是所以的矩估計量(2) 似然函數(shù)所以的極大似然估計量(3) 似然函數(shù)顯然那么當(dāng)時, ,所以的極大似然估計量.~N（，62）中抽取容量為n的樣本，如果其樣本均值位于區(qū)間（，），問n至少應(yīng)取多大？zj(z)【解】,則于是則,∴ n≥35.17. 設(shè)總體X的概率密度為f(x，θ)=其中θ是未知參數(shù)（0θ1）,X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x1,x2,…,：（1） θ的矩估計；（2） θ的最大似然估計. 解 (1) 由于 .令，解得，所以參數(shù)的矩估計為.(2) 似然函數(shù)為，取對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo)，得令 得 ，所以的最大似然估計為.習(xí)題八1. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(,).現(xiàn)在測了5爐鐵水，其含碳量（%）分別為 問若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無顯著性變化（=）?【解】所以拒絕H0，認(rèn)為總體平均值有顯著性變化.2. 某種礦砂的5個樣品中的含鎳量（%）經(jīng)測定為： 設(shè)含鎳量服從正態(tài)分布，問在=：.【解】設(shè)所以接受H0，.3. 在正常狀態(tài)下，若從這種香煙堆中任取36支作為樣本；（克），樣本方差s2=(g2).（支）的重量（克）近似服從正態(tài)分布（取=）.【解】設(shè)所以接受H0，認(rèn)為這堆香煙（支）的重要（克）正常.，得到它們的壽命（以小時計）為19，18，20，22，16，25，問這些結(jié)果是否表明這種電池的平均壽命比該公司宣稱的平均壽命要短？設(shè)電池壽命近似地服從正態(tài)分布（取=）.【解】所以接受H0，認(rèn)為電池的壽命不比該公司宣稱的短.，從它的10個測定值得出=(%),s=(%).設(shè)測定值總體為正態(tài)，μ為總體均值，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差，試在水平=.（1） H0：μ=(%)；H1：μ＜(%).（2） =(%)；＜(%).【解】(1)所以拒絕H0，接受H1.(2)所以接受H0，拒絕H1.（μ，）.今從新生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中抽取9根，測其電阻，得s==，?【解】故應(yīng)拒絕H0，.，為比較其斷裂強(qiáng)度，從中各取一個樣本，測試得到：第一批棉紗樣本：n1=200，=, s1=；第二批棉紗樣本：n2=200，=, s2=.設(shè)兩強(qiáng)度總體服從正態(tài)分布，方差未知但相等，兩批強(qiáng)度均值有無顯著差異？(=)【解】所以接受H0，認(rèn)為兩批強(qiáng)度均值無顯著差別.，B對一種礦砂的含鐵量各自獨(dú)立地用同一方法做了5次分析，(%2)(%2).若A，B所得的測定值的總體都是正態(tài)分布，其方差分別為σA2，σB2，試在水平=【解】那么所以接受H0，拒絕H1.9~12. 略習(xí)題九1 燈泡廠用4種不同的材料制成燈絲，不同材料的燈絲制成的燈泡壽命的方差相同，試根據(jù)表中試驗(yàn)結(jié)果記錄，？試驗(yàn)批號1 2 3 4 5 6 78燈絲材料水平A1A2A3A416001580146015101610164015501520165016401600153016801700162015701700175016401600172016601680180017401820【解】==,==,=,故燈絲材料對燈泡壽命無顯著影響.表911方差分析表方差來源平方和S自由度均方和F值因素影響3誤差22總和252. 一個年級有三個小班，他們進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)考試，現(xiàn)從各個班級隨機(jī)地抽取了一些學(xué)生，記錄其成績?nèi)缦拢孩瘼颌?3 6688 7768 4189 6078 3179 5982 4548 7856 6843 9391 6291 5380 3651 7671 7973 7785 9671 1574 808756，且方差相等.【解】==,==,=,故各班平均分?jǐn)?shù)無顯著差異.表921方差分析表方差來源平方和S自由度均方和F值因素影響2誤差37總和13685393. 下面記錄了3位操作工分別在不同機(jī)器上操作3天的日產(chǎn)量.操作工機(jī)器甲乙丙A115 15 1719 19 1616