【正文】 AMBy備用圖P1P2(－ 21， 87)或( 5， － 8)．，在平面直角坐標系中，已知矩形 ABCD 的三個頂點 B（4，0） 、 C（8，0） 、D（8，8） ．拋物線 y＝ ax 2＋ bx 過 A、 C 兩點．（1）直接寫出點 A 的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）動點 P 從點 A 出發(fā)，沿線段 AB 向終點 B 運動，同時點 Q 從點 C 出發(fā)，沿線段 CD向終點 D 運動，速度均為每秒 1 個單位長度，運動時間為 t 秒．過點 P 作 PE⊥ AB交 AC 于點 E．① 過點 E 作 EF⊥ AD 于點 F，交拋物線于點 G．當 t 為何值時，線段 EG 最長？② 連接 EQ，在點 P、 Q 運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△ CEQ 是等腰三角形？請直接寫出相應的 t 值．解：（1）點 A 的坐標為（4，8） ． ??????????????????????? 1 分將 A（4，8） 、 C（8，0）兩點坐標分別代入 y＝ ax 2＋ bx，得 ???61＝＋ ＝＋ ba 解得 a＝ － 21， b＝4．∴拋物線的解析式為 y＝ － x 2＋4 x． ??????????????? 3 分（2）①在 Rt△ APE 和 Rt△ ABC 中，tan∠ PAE＝ APE＝ BC，即 APE＝ 84＝ 21．∴ PE＝ 21AP＝ t， PB＝8 － t．∴點 E 的坐標為（4＋ 21t，8 － t） ．2∴點 G 的縱坐標為 － (4＋ t)2＋4 (4＋ 1t)＝ － 8t 2＋8． ????? 5 分∴ EG＝ － 81t 2＋8 －( 8－ t)＝ － t 2＋ t∵ － ＜0，∴當 ＝4 時，線段 EG 最長為 2． ???????????? 7 分②共有三個時刻． ???????????????????????? 8 分t1＝ 36， t2＝ 1， t3＝40 － 516． ??????????????? 11 分，拋物線 y＝－ x 2＋2 x＋3 與 x 軸相交于 A、 B 兩點（點 A 在點 B 的左側） ，與 y 軸相交于點 C，頂點為 D．（1）直接寫出 A、 B、 C 三點的坐標和拋物線的對稱軸；（2）連結 BC，與拋物線的對稱軸交于點 E，點 P 為線段 BC 上的一個動點，過點 P 作yxOA DB CEFPGQPF∥ DE 交拋物線于點 F，設點 P 的橫坐標為 m．①用含 m 的代數(shù)式表示線段 PF 的長，并求出當 m 為何值時，四邊形 PEDF 為平行四邊形？②設△ BCF 的面積為 S，求 S 與 m 的函數(shù)關系式．解：（1） A（ － 1，0） ， B（3，0） ， C（0，3） ． ????????????????? 2 分拋物線的對稱軸是： x＝1． ???????????????????? 3 分（2）①設直線 BC 的解析式為： y＝ kx＋ b．將 B（3，0） ， C（0，3）分別代入得：???＝ ＝＋bk 解得 ???1＝ －＝bk∴直線 BC 的解析式為 y＝ － x＋3．當 x＝1 時， y＝ － 1＋3＝2，∴ E（1，2） ．當 x＝ m 時， y＝ － m＋3，∴ P（ m， － m＋3） ． ???????????? 4 分將 x＝1 代入 y＝－ x 2＋2 x＋3，得 y＝ 4，∴ D（1，4） ．將 x＝ m 代入 y＝－ x 2＋2 x＋3，得 y＝－ m 2＋2 m＋3．∴ F（ m， － m 2＋2 m＋3） ． ????????????????????? 5 分∴線段 DE＝4 － 2＝2，線段 PF＝ － m 2＋2 m＋3 － (－ m＋3)＝ － m 2＋3 m ??? 6 分∵ PF∥ DE，∴當 PF＝ DE 時，四邊形 PEDF 為平行四邊形．由 － m 2＋3 m＝2，解得： m1＝2， m2＝1（不合題意，舍去） ．∴當 m＝2 時，四邊形 PEDF 為平行四邊形． ????????????? 7 分②設直線 PF 與 x 軸交于點 M．由 B（3，0） ， O（0，0） ，可得： OB＝ OM＋ MB＝3．則 S＝ S△ BPF ＋ S△ CPF ??????????????????????? 8分＝ 21PFBM＋ PFOM＝ PFOB＝ 21(－ m 2＋3 m)3＝－ m 2＋ 9m（0≤ m≤3）xyDCA O BxyDCA O BFMPE即 S 與 m 的函數(shù)關系式為： S＝－ 23m 2＋ 9m（0≤ m≤3） ． ?????? 9 分，在矩形 OABC 中，已知 A、C 兩點的坐標分別為 A（4，0） 、C（0，2） ，D 為 OA 的中點．設點 P 是∠AOC 平分線上的一個動點（不與點 O 重合） ．（1）試證明：無論點 P 運動到何處，PC 總與 PD 相等；（2）當點 P 運動到與點 B 的距離最小時，試確定過 O、P、D 三點的拋物線的解析式；（3）設點 E 是（2）中所確定拋物線的頂點，當點 P 運動到何處時，△PDE 的周長最小？求出此時點 P 的坐標和△PDE 的周長；（4）設點 N 是矩形 OABC 的對稱中心，是否存在點 P，使∠CPN＝90176。？若存在，請直接寫出點 P 的坐標．解：（1）∵點 D 是 OA 的中點，∴OD＝2，∴OD＝OC．又∵OP 是∠COD 的角平分線，∴∠POC＝∠POD＝45176。．∴△POC≌∠POD，∴PC＝PD； ??????????????????? 3 分（2）如圖，過點 B 作∠AOC 的平分線的垂線，垂足為 P，點 P 即為所求．易知點 F 的坐標為（2，2） ，故 BF＝2，作 PM⊥BF．∵△PBF 是等腰直角三角形，∴PM＝ 1BF＝1．∴點 P 的坐標為（3，3） ．∵拋物線經過原點∴可設拋物線的解析式為 y＝ ax 2＋ bx．又∵拋物線經過點 P（3，3）和點 D（2，0）∴ ???0249＝＋ ＝＋ ba 解得 ???1＝ －＝ba∴過 O、P、D 三點的拋物線的解析式為 y＝ x 2－ 2x； ????????? 7 分（3）由等腰直角三角形的對稱性知 D 點關于∠AOC 的平分線的對稱點即為 C 點．連接 EC，它與∠AOC 的平分線的交點即為所求的 P 點（因為 PE＋PD＝EC，而兩點之間線段最短） ，此時△PED 的周長最小．∵拋物線 y＝ x 2－ 2x 的頂點 E 的坐標（1， － 1） ，C 點的坐標（0，2）設 CE 所在直線的解析式為 y＝ kx＋ b則 ???21＝ －＝＋bk 解得 ???23＝ －＝kC(0,2)A(4,0) xyO DPB(0,2)A(4,0) xyO DPBCEFM∴CE 所在直線的解析式為 y＝－ 3x＋2．聯(lián)立 ???xy＝ ＋＝ － 23，解得 ????21＝＝ y，故點 P 的坐標為（ 21， ） ．△PED 的周長即是 CE＋DE＝ 0＋ ； ?????????????? 11 分（4）存在點 P，使∠CPN＝90176。，其坐標為（ 21， ）或（2，2） ． ???? 14 分 1，已知拋物線經過坐標原點 O 和 x 軸上另一點 E，頂點 M 的坐標為（2，4） ；矩形ABCD 的頂點 A 與點 O 重合， AD、 AB 分別在 x 軸、 y 軸上，且 AD＝2， AB＝3．（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關系式；（2）將矩形 ABCD 以每秒 1 個單位長度的速度從圖 1 所示的位置沿 x 軸的正方向勻速平行移動，同時一動點 P 也以相同的速度從點 A 出發(fā)向 B 勻速移動，設它們運動的時間為t 秒（0≤ t≤3） ，直線 AB 與 該 拋物線的交點為 N（如圖 2 所示） ．①當 t＝ 25時，判斷點 P 是否在直線 ME 上，并說明理由；②設以 P、 N、 C、 D 為頂點的多邊形面積為 S，試問 S 是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．解：（1）∵因所求拋物線的頂點 M 的坐標為（2，4）∴可設其對應的函數(shù)關系式為 y＝ a(x － 2)2＋4． ????????????? 1 分又拋物線經過坐標原點 O（0，0） ，∴ a(0－ 2)2＋4＝0． ???????? 2 分解得 a＝ － 1．?????????????????????????? 3 分∴所求函數(shù)關系式為 y＝－ (x － 2)2＋4，即 y＝－ x 2＋4 x． ?????? 4 分（2）①點 P 不在直線 ME 上，理由如下： ???????????????? 5 分根據(jù)拋物線的對稱性可知 E 點的坐標為（4，0） ．圖1BCO (A)D EMyx圖2BCOD EMyxANP設直線 ME 的解析式為 y＝ kx＋ b，將 M（2，4） ， E（4，0）代入，得???042＝＋ ＝＋ bk 解得 ???8＝ －＝k．∴直線 ME 的解析式為 y＝－ 2x＋8． ???????????????? 6 分當 t＝ 25時， OA＝ AP＝ 5，∴ P（ ， 5） ． ????????????? 7 分∵點 P 的坐標不滿足直線 ME 的解析式 y＝－ 2x＋8∴當 t＝ 時，點 P 不在直線 ME 上． ???????????????? 8 分② S 存在最大值，理由如下： ??????????????????? 9 分∵點 A 在 x 軸的非負半軸上，且 N 在拋物線上，∴ OA＝ AP＝ t．∴ P（ t， t） ， N（ t， － t 2＋4 t） ，∴ AN＝ － t 2＋4 t（0≤ ≤3）∴ PN＝ AN－ AP＝ － t 2＋4 t－ t＝ － t 2＋3 t＝ t(3－ t)≥0 ??????? 10 分（?。┊?PN＝0，即 t＝0 或 t＝3 時，以點 P， N， C， D 為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為 AD．∴ S＝ 21DCAD＝ 32＝3． ????????????????? 11 分（ⅱ）當 PN≠0 時，以點 P， N， C， D 為頂點的多邊形是四邊形．∵ PN∥ CD， AD⊥ CD．∴ S＝ 21(CD＋ PN)AD＝ 21(3－ t 2＋3 t)2＝ － t 2＋3 t＋3＝ － (t－ 23)2＋4（0＜ t＜3） ．當 t＝ 2時， S 最大＝ 41． ??????????????????? 12 分綜上所述，當 t＝ 時，以點 P， N， C， D 為頂點的多邊形面積 S 有最大值，最大值為 41． ????????????????????????? 13 分說明：（ⅱ）中的關系式，當 t＝0 和 t＝3 時也適合． 1，已知拋物線 y＝ ax 2－ 2ax－ 3 與 x 軸交于 A、 B 兩點，其頂點為 C，過點 A 的直線交拋物線于另一點 D(2， － 3)，且 tan∠ BAD＝1．（1）求拋物線的解析式；（2）連結 CD，求證： AD⊥ CD；CQBA M NPD圖 1（3）如圖 2， P 是線段 AD 上的動點，過點 P 作 y 軸的平行線交拋物線于點 E，求線段 PE長度的最大值；（4）點 Q 是拋物線上的動點，在 x 軸上是否存在點 F，使以 A， D， F， Q 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點 F 的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）如圖 1，過點 D 作 DH⊥ x 軸于 H，則 OH＝2， DH＝3．∵tan∠ BAD＝1，∴ AH＝ DH＝3，∴ AO＝3 － 2＝1． ?????????? 1 分∴ A(－ 1，0)． ????????????????????????? 2 分把 A(－ 1，0)代入 y＝ ax 2－ 2ax－ 3，得 a＋2 a－ 3＝0．∴ a＝1． ???????????????????????????? 3 分∴拋物線的解析式為 y＝ x 2－ 2x－ 3． ??????????????? 4 分（2）∵ y＝ x 2－ 2x－ 3＝ (x－ 1)2－ 4∴ C(1， － 4)． ????????????????????????? 5 分連結 AC，則 AD 2＝3 2＋3 2＝18， CD 2＝ (2－ 1)2＋ (－ 3＋4 )2＝2， AC 2＝ (1＋1 )2＋4 2＝20．∴ AD 2＋ CD 2＝ AC 2，∴△ ACD 是直角三角形，且∠ ADC＝90176。．????? 7 分∴ AD⊥ CD． ??????????????????????????? 8 分（3）設直線 AD 的解析式為 y＝ kx＋ b，把 A(－ 1，0)， D(2， － 3)代入求得直線 BC 的解析式為 y＝ － x－ 1．???????????????? 9 分設點 P 的橫坐標為 x，則 P(x， － x－ 1)， E(x， x 2－ 2x－ 3)．∵點 P 在點 E 的上方OA xByDC圖 1OA xByDEP圖 2OA xByD備用圖∴ EP＝( － x－ 1)－ (x 2－ 2x－ 3)＝ － x 2＋ x＋2＝ － (x－ 21)2＋ 49??? 10 分∴當 x＝ 1時，線段 PE 長度的最大值＝ 49． ???????????? 12