【正文】 。＞176。，∴水桶提手合格．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了解直角三角形，根據(jù)AB=5，AO=17，得出∠ABO=176。是解決問題的關(guān)鍵9.（2011重慶綦江，24，10分）如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）延長BE至Q，P為BQ上一點(diǎn)，連接CP、CQ使CP＝CQ＝5，若BC＝8時(shí)，求PQ的長．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理。專題：幾何綜合題。分析：（1）由△ABC與△DCE是等邊三角形，可得AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60176。，又由∠ACD＋∠DCB＝∠ECB＋∠DCB＝60176。，即可證得∠ACD＝∠BCE，所以根據(jù)SAS即可證得△ACD≌△BCE；（2）首先過點(diǎn)C作CH⊥BQ于H，由等邊三角形的性質(zhì)，即可求得∠DAC＝30176。，則根據(jù)等腰三角形與直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的長．解答：解：（1）∵△ABC與△DCE是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60176。，∴∠ACD＋∠DCB＝∠ECB＋∠DCB＝60176。，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）過點(diǎn)C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等邊三角形，AO是角平分線，∴∠DAC＝30176。，∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC＝∠DAC＝30176。，∴CH＝BC＝8＝4，∵PC＝CQ＝5，CH＝4，∴PH＝QH＝3，∴PQ＝6．點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形、等邊三角形以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10.（2011浙江寧波，25，？）閱讀下面的情景對(duì)話，然后解答問題：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？（2）在Rt△ABC中，∠C＝90176。，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓弧ADB的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使AE＝AD，CB＝CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．考點(diǎn)：勾股定理；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理。專題：新定義。分析：（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質(zhì)，求證即可；（2）根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質(zhì)，可得a2+b2＝c2與a2+c2＝2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB＝∠ADB＝90176。，然后利用勾股定理與圓的性質(zhì)即可證得；②利用（2）中的結(jié)論，分別從AC：AE：CE＝1：：與AC：AE：CE＝：：1去分析，即可求得結(jié)果．解答：解：（1）設(shè)等邊三角形的一邊為a，則a2+a2＝2a2，∴符合“奇異三角形”的定義．∴是真命題；（2）∵∠C＝90176。，則a2+b2＝c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2＝2b2②，由①②得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：：（3）∵①AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90176。，在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，∵點(diǎn)D是半圓弧ADB的中點(diǎn)，∴弧AD＝弧DB，∴AD＝BD，∴AB2＝AD2+BD2＝2AD2，∴AC2+CB2＝2AD2，又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2+CE2＝2AE2，∴△ACE是奇異三角形；②由①可得△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，由（2）得：AC：AE：CE＝1：：或AC：AE：CE＝：：1，當(dāng)AC：AE：CE＝1：：時(shí)，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，∵∠ACB＝90176。，∴∠ABC＝30176。，∴∠AOC＝2∠ABC＝60176。；當(dāng)AC：AE：CE＝：：1時(shí)，AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，∵∠ACB＝90176。，∴∠ABC＝60176。，∴∠AOC＝2∠ABC＝120176。．∴∠AOC的度數(shù)為60176。或120176。．點(diǎn)評(píng)：此題考查了新定義的知識(shí)，勾股定理以及圓的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是理解題意，抓住數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11. （2011浙江紹興，21，10分）在平面直角坐標(biāo)系中．過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)．例如．圖中過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線．與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點(diǎn)P是和諧點(diǎn)．（1）判斷點(diǎn)M（l，2），N（4，4）是否為和諧點(diǎn)，并說明理由；（2）若和諧點(diǎn)P（a，3）在直線y=﹣x+b（b為常數(shù)）上，求a，b 的值．考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；三角形的面積。專題：計(jì)算題。分析：（1）計(jì)算12≠2（1+2），44=2（4+4）即可；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，根據(jù)（a+3）2=3a，求出a，進(jìn)一步求出b；當(dāng)a＜0時(shí)，根據(jù)（﹣a+3）2=﹣3a求出a進(jìn)一步求出b．解答：（1）解：∵12≠2（1+2），44=2（4+4），∴點(diǎn)M不是和諧點(diǎn)，點(diǎn)N是和諧點(diǎn)．（2）解：由題意得：當(dāng)a＞0時(shí)，（a+3）2=3a，∴a=6，點(diǎn)P（a，3）在直線 y=﹣x+b上，代入得：b=9當(dāng)a＜0時(shí)，（﹣a+3）2=﹣3a，∴a=﹣6，點(diǎn)P（a，3）在直線y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3，∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，理解題意并根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．12. （2011甘肅蘭州，26，9分）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，解下列問題：（1）sad60176。= .（2）對(duì)于0176。A180176。，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是 .（3）如圖②，已知sinA，其中∠A為銳角，試求sadA的值.AABCCB圖①圖②考點(diǎn)：解直角三角形分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答；（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角△ABC，構(gòu)造等腰三角形ACD，根據(jù)正對(duì)的定義解答．解答：解：（1）根據(jù)正對(duì)定義，當(dāng)頂角為60176。時(shí)，等腰三角形底角為60176。，則三角形為等邊三角形，則sad60176。==1．故答案為1．（2）當(dāng)∠A接近0176。時(shí)，sadα接近0，當(dāng)∠A接近180176。時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．故答案為0＜sadA＜2．（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90176。，sin∠A=．在AB上取點(diǎn)D，使AD=AC，作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC==4k，又在△ADH中，∠AHD=90176。，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，AH==k．則在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．由正對(duì)的定義可得：sadA==，即sadα=．點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義的題目，考查了正對(duì)這一新內(nèi)容，要熟悉三角函數(shù)的定義，可進(jìn)行類比解答． 第33頁