【文章內(nèi)容簡介】 BC的自相似點；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；作圖—復(fù)雜作圖。專題：作圖題；幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)已知條件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ACB，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)做一角等于已知角即可得出△ABC的自相似點；②根據(jù)∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各內(nèi)角的度數(shù)．解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90176。，CD是AB上的中線，∴CD=AB，∴CD=BD，∴∠BCE=∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90176。，∴∠BEC=∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴E是△ABC的自相似點；（2）①如圖所示，做法：①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A，；②在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，則P為△ABC的自相似點；②∵P是△ABC的內(nèi)心，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∵∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A=180176。，∴∠A=，∴該三角形三個內(nèi)角度數(shù)為：，．點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內(nèi)心做法和做一角等于已知角，此題綜合性較強，注意從已知分析獲取正確的信息是解決問題的關(guān)鍵2. （2011江蘇南京，28，11分）【問題情境】已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最?。孔钚≈凳嵌嗌?？【數(shù)學模型】設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2（x+）（x＞0）．【探索研究】（1）我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y=x+（x＞0）的圖象和性質(zhì)．①填寫下表，畫出函數(shù)的圖象；x…1234…y……②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；③在求二次函數(shù)y=ax2+Bx+c（a≠0）的最大（?。┲禃r，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值．【解決問題】（2）用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．考點：反比例函數(shù)的性質(zhì)；完全平方公式；配方法的應(yīng)用；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值。專題：計算題。分析：（1）①把x的值代入解析式計算即可；②根據(jù)圖象所反映的特點寫出即可；③根據(jù)完全平方公式（a+B）2=a2+2aB+B2，進行配方即可得到最小值；（2）根據(jù)完全平方公式（a+B）2=a2+2aB+B2，進行配方得到y(tǒng)=2[+2]，即可求出答案．解答：解：（1）①故答案為：，，2，，．函數(shù)y=x+的圖象如圖：②答：函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)是：當0＜x＜1時，y 隨x的增大而減小，當x＞1時，y 隨x的增大而增大；當x=1時，函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值是1．③解：y=x+=，=+2，當=0，即x=1時，函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值是2，答：函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值是2．（2）答：矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值是4．點評：本題主要考查對完全平方公式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用學過的性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．3. （2011江蘇蘇州，28，9分）如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120176。，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)120176。，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點^按順時針方向旋轉(zhuǎn)90176。，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90176。，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后．她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OA BC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是?請你解答上述兩個問題．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弧長的計算；扇形面積的計算．專題：幾何圖形問題．分析：①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)3次和5次的路徑，利用弧長計算公式以及扇形面積公式求出即可，②再利用正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑，進而得出，即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù)．解答：解問題①：如圖，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動所形成的圖形是三段圓AB1OB(O1)l2CC1O2O3弧，及、以及．∴頂點O在此運動過程中經(jīng)過的路程為：．頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積為：．正方形紙片OABC經(jīng)過5旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程為：．問題②：∵正方形紙片OABC經(jīng)過4旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程為：． ∴．∴正方形紙片OABC經(jīng)過了81次旋轉(zhuǎn)．點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及扇形面積公式和弧長計算公式，分別得出旋轉(zhuǎn)3，4，5次旋轉(zhuǎn)的路徑是解決問題的關(guān)鍵．4. （2011鹽城，27，12分）情境觀察將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是　AD　，∠CAC′=　90　176。．問題探究如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展延伸如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H．若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì).專題：證明題.分析：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)△ABC≌△AC′D，即可解題；②易證△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，F(xiàn)Q=AG，即可解題；③根據(jù)②的理論即可求得EH=FH，即可解題．解答：解：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，∴∠CAC′=180176。﹣∠C′AD﹣∠CAB=90176。；②∵∠FAQ+∠CAG=90176。，∠FAQ+∠AFQ=90176。，∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，又∵AF=AC，∴△AFQ≌△CAG，∴FQ=AG，同理EP=AG，∴FQ=EP．③根據(jù)②的結(jié)論即可求得EH：FH=AG：AG=1，即HE=HF．故答案為：AD，