【正文】 83 設(shè)計(jì)步驟： (1)將待設(shè)計(jì)的 IIR數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化原型模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)； (2)按技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化原型模擬低通濾波器 ， 得系統(tǒng)函數(shù)為 HaN(s)； (3)對(duì)歸一化模擬低通濾波器 HaN(s)， 采用沖激響應(yīng)不變法 、 雙線性變換法等進(jìn)行數(shù)字化 ， 轉(zhuǎn)換成截止頻率為 θp的數(shù)字低通濾波器 Hd(z)； (4)利用 Z域頻率變換 ， 將數(shù)字低通濾波器 Hd(z)轉(zhuǎn)換成所需性能的數(shù)字濾波器 H(z)。 第 3章 數(shù)字濾波器 84 與模擬頻率變換法相比 ， 數(shù)字頻率變換法適用范圍更大 。 因?yàn)樵谕緩?1中 ， 若實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)是高通或帶阻數(shù)字濾波器 ， 則數(shù)字化時(shí)不宜采用沖激響應(yīng)不變法 ， 否則高通或帶阻模擬濾波器在數(shù)字化時(shí)將產(chǎn)生混疊效應(yīng)而造成高通或帶阻數(shù)字濾波器頻率特性的改變 。 第 3章 數(shù)字濾波器 85 直接設(shè)計(jì)法 前述 IIR濾波器設(shè)計(jì)方法 ， 均是通過模擬原型濾波器數(shù)字化獲得數(shù)字濾波器的 ， 這是一種間接的設(shè)計(jì)方法 ， 數(shù)字濾波器的幅度特性受到所選模擬濾波器特性的限制 ， 不適宜設(shè)計(jì)任意幅度特性的數(shù)字濾波器 。 以下方法可以在數(shù)字域直接設(shè)計(jì)任意幅度特性的數(shù)字濾波器 。 第 3章 數(shù)字濾波器 86 1. 零極點(diǎn)累試法 方法 ： (1)根據(jù)欲設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的幅頻特性 |Hd(ejω)|確定零 、 極點(diǎn)位置 ， 依此寫出系統(tǒng)函數(shù) H(z)， 計(jì)算幅頻特性|H(ejω)|； (2)比較 |H(ejω)|與 |Hd(ejω)|， 若不滿足設(shè)計(jì)指標(biāo) ， 修正零 、 極點(diǎn)位置與數(shù)目 ， 重復(fù)上步操作 。 零極點(diǎn)累試法在確定零極點(diǎn)位置時(shí)要 注意 ： (1)極點(diǎn)必須位于 z 平面單位圓內(nèi) ， 保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定； (2)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對(duì) ， 保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的 。 第 3章 數(shù)字濾波器 87 圖 例 圖 (a)零極點(diǎn)分布 (b) 幅度特性 第 3章 數(shù)字濾波器 88 2. 幅度平方誤差最小法 設(shè) IIR濾波器由 K個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成 ， 系統(tǒng)函數(shù)為 121211()1Kiii iia z b zH z Ac z d z???????????() 式中 ， A是常數(shù) ， ai、 bi、 ci、 di是待求系數(shù) 。 設(shè) Hd(ejω)是希望設(shè)計(jì)的濾波器頻響 ， 如果在 (0,π)區(qū)間取 N點(diǎn)數(shù)字頻率 ωi(i=1,2,…,N)， 在這 N點(diǎn)頻率上 ， 定義|Hd(ejω)|和 |H(ejω)|的幅度平方誤差 E為 顯然 ， 當(dāng) E→ 0時(shí) ， H(ejω)→H d(ejω)。 21[ ( ) ( ) ]iiNjjdiE H e H e??????() 第 3章 數(shù)字濾波器 89 設(shè)計(jì)原則 ： 使 E最小 。 按照 ()式 ， E是 (4K+1)個(gè)未知數(shù)的函數(shù) ， 表示為 令 則解方程組 即可獲得 (4K+1)個(gè)待定系數(shù) ， 由此確定出系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 1 1 1 1 2( , )[] TK K K KE E Aa b c d a a b c d???? ???21(), ( )( , ) [ ]iijji d dNidiHeH H H eAE A A H H????????? () ?????????????),( 0),(0),(之一為 kkkkkkdcbaAEAAE????第 3章 數(shù)字濾波器 90 幅度平方誤差最小法實(shí)質(zhì)為最小二乘準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則追求的目標(biāo)是使總的逼近誤差能量最小，但允許在個(gè)別頻率點(diǎn)上有較大的誤差。例如，在過渡帶附近。 在設(shè)計(jì)過程中，由于對(duì)系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)或極點(diǎn)的位置沒有加任何限制，有可能使某些零點(diǎn)或極點(diǎn)位于單位圓外。為保證設(shè)計(jì)出的濾波器是穩(wěn)定的，必須對(duì)不穩(wěn)定 (單位圓外 )的極點(diǎn)進(jìn)行 修正 ，即用 z=1/p*處的極點(diǎn)代替 z=p處的極點(diǎn) (假設(shè) |p|1)。如果所設(shè)計(jì)濾波器要求是最小相位的，則對(duì)于單位圓外的零點(diǎn)可以采用同樣的方法重新確定零點(diǎn)位置。 用新確定的零、極點(diǎn)再按上述方法重新設(shè)計(jì)，最終找出逼近設(shè)計(jì)目標(biāo)的 H(z)。 第 3章 數(shù)字濾波器 91 圖 例 圖 (a)要求的幅度特性 (b) k=1,2時(shí)的幅度特性 例 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器 ， 其幅度特性如圖 (a) 所示 ， 截止頻率 ωs=。 第 3章 數(shù)字濾波器 92 若使用的誤差函數(shù)為 () 則稱為最小 p誤差準(zhǔn)則 。 使 Ep最小 ， 即可獲得所需 H(z)。 3. 幅值平方函數(shù)設(shè)計(jì)法 數(shù)字濾波器幅值平方函數(shù)表示為 如果 H(z)H(z1)可以因式分解確定出零 、 極點(diǎn) ， 則 Z平面單位圓內(nèi)的極點(diǎn)及對(duì)稱零點(diǎn)的一半即構(gòu)成了 H(z)。 由于因式分解并非總是可行 ， 因此這種方法受到很大限制 。 1( )( ( ) ( )i i iN pj j jPdiE W e H e H e? ? ?????|)p ??jezj zHzHeH??? )()()( 12第 3章 數(shù)字濾波器 93 FIR 濾波器設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法能夠較好地保留模擬濾波器的優(yōu)良特性，因而得到廣泛應(yīng)用。但這一特性的獲得是以相位的非線性為代價(jià)的。 在許多應(yīng)用中，如數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹鬟f系統(tǒng)中所需的濾波器，既要求有滿意的幅頻特性，又要具有線性相位特性。 FIR即具有此獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)出任意幅頻特性的同時(shí)，可以保證精確、嚴(yán)格的線性相位特性。 第 3章 數(shù)字濾波器 94 FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性 窗函數(shù)法 頻率采樣法 IIR和 FIR數(shù)字濾波器的比較 第 3章 數(shù)字濾波器 95 FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性 1. 線性相位條件 FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) h(n)為實(shí)序列且有限長 (0≤n≤N1) ， 其頻率響應(yīng)為 () () 10()( ) ( )( ) ( )Nj j nnjjgH e h n eH e H e??? ? ?????????第 3章 數(shù)字濾波器 96 如果 h(n)滿足偶對(duì)稱條件 ， 即 h(n) = h(Nn1) 0≤n≤N1 () 則它具有嚴(yán)格線性相位特性 (稱為第一類線性相位濾波器 )， 其相位特性為 θ(ω) = ηω, η為常數(shù) () η= (N1)/2 此時(shí)有 ηp=ηq=η=常數(shù) ， 其中 相延遲 群延遲 群延遲是濾波器平均時(shí)延的度量 ， 為頻率函數(shù) 。 ????????ddqp)()(????第 3章 數(shù)字濾波器 97 如果 h(n)滿足奇對(duì)稱條件 ， 即 h(n) = h(Nn1) () 則它具有線性相位特性 (稱為第二類線性相位濾波器 )，其相位特性為 θ(ω) =θ0 ηω, θ0是初始相位 () θ0 = 177。 π/2 η = (N1)/2 此時(shí)相位為分段線性函數(shù) ， 濾波器具有恒定群延遲 。說明信號(hào)通過該濾波器不僅有 (N1)/2個(gè)采樣周期的群延遲 ， 而且有 177。 π/2的相移 。 第 3章 數(shù)字濾波器 98 證明： (1) 第一類線性相位條件 1010( ) ( )( ) ( 1 )NnnNnnH z h n zH z h N n z???????? ? ???將 ()式代入上式得 令 m=Nn1， 則有 11( 1) ( 1)00( 1) 1( ) ( ) ( )( ) ( )NNN m N mmmNH z h m z z h m zH z z H z??? ? ? ? ???? ? ??????() 第 3章 數(shù)字濾波器 99 按照上式可以將 H(z)表示為 1( 1 ) 1 ( 1 )01 1 11()2 2 2011( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]221( ) [ [ ] ]2NN n N nnN N NNnnnH z H z z H z h n z z zz h n z z?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ?????將 z=e jω代入上式，得到： 1 1()20101( ) ( ) c o s[( ) ]21( ) ( ) c o s[( ) ]21( ) ( 1 )2N NjjnNgnNH e e h n nNH h n nN?????? ? ?? ???????????? ? ??? 按照 ()式 ， 幅度函數(shù) Hg(ω)和相位函數(shù)分別為 () () 第 3章 數(shù)字濾波器 100 (2) 第二類線性相位條件 110011( 1) ( 1)00( 1) 1( ) ( ) ( 1 )( ) ( ) ( )( ) ( )NNnnnnNNN m N mnnNH z h n z h N n zH z h m z z h m zH z z H z????????? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????() 令 m=Nn1,則有 同樣可以表示為 1( 1 ) 1 ( 1 )01 1 112 2 2011( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]221( ) [ ]2NN n N nnN N NNnnnH z H z z H z h n z z zz h n z z?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?????n 第 3章 數(shù)字濾波器 101 1 1201 12201( ) ( ) ( ) sin[ ( ) ]21( ) sin[ ( ) ]2jN NjjzenN NjjnNH e H z je h n nNe h n n???????? ????? ?????? ? ? ??????因此 ， 幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為 101( ) ( ) si n [ ( ) ]21( ) ( )22NgnNH h n nNQ???????????? ? ?? () () 2. 線性相位 FIR濾波器幅度特性 Hg(ω)的特點(diǎn) 1) h(n) = h(Nn1)， N=奇數(shù)