高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)正余弦定理應(yīng)用題-資料下載頁(yè)
2025-01-14 14:09本頁(yè)面
【正文】 三角形中.【示例】?(本題滿分12分)如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105176。方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120176。方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里．問：乙船每小時(shí)航行多少海里？ (1)分清已知條件和未知條件(待求)．(2)將問題集中到一個(gè)三角形中．(3)利用正、余弦定理求解．[解答示范] 如圖，連接A1B2由已知A2B2＝10，A1A2＝30＝10，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180176。－120176。＝60176。，∴△A1A2B2是等邊三角形，∴A1B2＝A1A2＝，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105176。－60176。＝45176。，(8分)在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos 45176。＝202＋(10)2－22010＝200，∴B1B2＝10.因此，乙船的速度為60＝30(海里/時(shí))．(12分) 利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解． 【試一試】 如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30176。、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，求cos θ.[嘗試解答] 如圖所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120176。，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120176。＝2 800，所以BC＝20.由正弦定理，得sin∠ACB＝sin∠BAC＝.由∠BAC＝120176。，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝.故cos θ＝cos(∠ACB＋30176。)＝cos∠ACBcos 30176。－sin∠ACBsin 30176。＝－＝.
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