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數(shù)學(xué)應(yīng)用題專項(xiàng)講解-資料下載頁

2025-01-14 03:13本頁面
  

【正文】 ……………… 也就是缺少(52)塊通過分析,我們把問題轉(zhuǎn)化為盈虧問題的一般情形。每人搬磚數(shù)相差5-4=1(塊),搬磚的總數(shù)就相差(45)+(52)=30(塊)所以,搬磚的學(xué)生數(shù)是30+1=30(人),磚的總數(shù)是430+20=140(塊)。解:(45+52)247。(5-4) =30247。1=30(人) 430+45=140(塊)答:搬磚的學(xué)生有30人,這批磚共有140塊。例題3. 某校在植樹活動(dòng)中,把一批樹苗分給各班,如果每班分18棵,就會(huì)余下24棵;如果每班分20棵,正好分完。這個(gè)學(xué)校有多少個(gè)班?這批樹苗共有多少棵?分析:本題中樹苗的總棵數(shù)是不變的,班級(jí)數(shù)也是不變的,第二次比第一次每班多分20-18=2(棵),就是把第一次分后余下的24棵分完,也就是24棵樹中有幾個(gè)2棵,就有幾個(gè)班。這道題目是盈虧問題中的一種特例。題目中只出現(xiàn)“盈”,也就是一次分配多了,并沒有出現(xiàn)“虧”。我們?nèi)匀豢梢园从潌栴}的思路來思考。在以后的題目中,我們還會(huì)遇到一道題目中兩次都是“盈”的情況和兩次都是“虧”的情況。解: 24247。(20-18)=12(個(gè))2012=240(棵)答:這個(gè)學(xué)習(xí)有12個(gè)班,這批樹苗有240棵。[綜合練習(xí)](1) 小朋友分糖果,若每人分4粒則多9粒;若每人分5粒則少6粒。問:有多少個(gè)小朋友?有多少粒糖果?(2) 某校安排新生宿舍,如果每間住12人,就會(huì)有34人沒有宿舍??;如果每間住14人,就會(huì)空出4間宿舍。這個(gè)學(xué)校有多少間宿舍?要安排多少個(gè)新生?(3) 體育老師和一個(gè)朋友一起上街買足球。他發(fā)現(xiàn)自己身邊的錢,如果買10個(gè)“冠軍”牌足球,還差42元;后來他向朋友借了1000元,買了31個(gè)“冠軍”牌足球,結(jié)果多了13元。體育老師原來身邊有多少元?(4) 全班同學(xué)去劃船,如果減少一條船,那么每條船正好坐9人;如果增加一條船,那么每條船正好坐6人。全班有多少人?(5) 小李拿一根繩子在一個(gè)圓柱上繞。問:繩子有多長?圓柱的周長是多少?第三講 最短路線問題  通常最短路線問題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中,直線段最短”為原則引申出來的.人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中,常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.  在本講所舉的例中,如果研究問題的限制條件允許已知的兩點(diǎn)在同一平面內(nèi),那么所求的最短路線是線段;如果它們位于凸多面體的不同平面上,而允許走的路程限于凸多面體表面,那么所求的最短路線是折線段;如果它們位于圓柱和圓錐面上,那么所求的最短路線是曲線段;但允許上述哪種情況,它們都有一個(gè)共同點(diǎn):當(dāng)研究曲面僅限于可展開為平面的曲面時(shí),例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等,將它們展開在一個(gè)平面上,兩點(diǎn)間的最短路線則是連結(jié)兩點(diǎn)的直線段.  這里還想指出的是,我們常遇到的球面是不能展成一個(gè)平面的.例如,在地球(近似看成圓球)上A、B二點(diǎn)之間的最短路線如何求呢?我們用過A、B兩點(diǎn)及地球球心O的平面截地球,在地球表面留下的截痕為圓周(稱大圓),在這個(gè)大圓周上A、B兩點(diǎn)之間不超過半個(gè)圓周的弧線就是所求的A、B兩點(diǎn)間的最短路線,航海上叫短程線.關(guān)于這個(gè)問題本講不做研究,以后中學(xué)會(huì)詳講.  在求最短路線時(shí),一般我們先用“對(duì)稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問題,而兩點(diǎn)之間直線段最短,從而找到所需的最短路線.像這樣將一個(gè)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)和它等價(jià)的問題,再設(shè)法解決,是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法.  例1 如下圖,偵察員騎馬從A地出發(fā),去B地取情報(bào).在去B地之前需要先飲一次馬,如果途中沒有重要障礙物,那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間,請(qǐng)你在圖中標(biāo)出來.  解:要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線就是要選擇最短路線.  作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn) A′,即作 AA′垂直于河岸,與河岸交于點(diǎn)C,且使AC=A′C,連接A′B交河岸于一點(diǎn)P,這時(shí) P點(diǎn)就是飲馬的最好位置,連接 PA,此時(shí) PA+PB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線.  證明:設(shè)河岸上還有異于P點(diǎn)的另一點(diǎn)P′,連接P′A,P′B, P′A′.  ∵P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB,而這里不等式 P′A′+P′B>A′B成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線段大于直線段,所以PA+PB是最短路線.  此例利用對(duì)稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A′B,所以這種方法也叫做化直法,其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等.看下面例題.  例2 如圖一只壁虎要從一面墻壁α上A點(diǎn),爬到鄰近的另一面墻壁β上的B點(diǎn)捕蛾,它可以沿許多路徑到達(dá),但哪一條是最近的路線呢?  解:我們假想把含B點(diǎn)的墻β順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。(如下頁右圖),使它和含A點(diǎn)的墻α處在同一平面上,此時(shí)β轉(zhuǎn)過來的位置記為β′,B點(diǎn)的位置記為B′,則A、B′之間最短路線應(yīng)該是線段AB′,設(shè)這條線段與墻棱線交于一點(diǎn)P,那么,折線4PB就是從A點(diǎn)沿著兩扇墻面走到B點(diǎn)的最短路線.  證明:在墻棱上任取異于P點(diǎn)的P′點(diǎn),若沿折線AP′B走,也就是沿在墻轉(zhuǎn)90176。后的路線AP′B′走都比直線段APB′長,所以折線APB是壁虎捕蛾的最短路線.  由此例可以推廣到一般性的結(jié)論:想求相鄰兩個(gè)平面上的兩點(diǎn)之間的最短路線時(shí),可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面,此時(shí),把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起來,所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上,這條線段所構(gòu)成的折線,就是所求的最短路線.  例3 長方體ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,A′A=2′,AD=1,有一只小蟲從頂點(diǎn)D′出發(fā),沿長方體表面爬到B點(diǎn),問這只小蟲怎樣爬距離最短?(見圖(1))  解:因?yàn)樾∠x是在長方體的表面上爬行的,所以必需把含D′、B兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的面“展開”在同一平面上,在這個(gè)“展開”后的平面上 D′B間的最短路線就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段,這樣,從D′點(diǎn)出發(fā),到B點(diǎn)共有六條路線供選擇.  ①從D′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn),將這兩個(gè)面攤開在一個(gè)平面上(上頁圖(2)),這時(shí)在這個(gè)平面上D′、B間的最短路線距離就是連接D′、B兩點(diǎn)的直線段,它是直角三角形ABD′的斜邊,根據(jù)勾股定理,  D′B2=D′A2+AB2=(1+2)2+42=25,∴D′B=5. ?、谌菀字?,從D′出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離也是5. ?、蹚腄′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過左側(cè)面,然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn).將這兩個(gè)面攤開在同一平面上,同理求得在這個(gè)平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線(上頁圖(3)),有:  D′B2=22+(1+4)2=29. ?、苋菀字溃瑥腄′出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是29. ?、輳腄′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過左側(cè)面,然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn),將這兩個(gè)平面攤開在同一平面上,同理可求得在這個(gè)平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線(見圖),  D′B2=(2+4)2+12=37.  ⑥容易知道,從D′出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是37.  比較六條路線,顯然情形①、②中的路線最短,所以小蟲從D′點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)(上頁圖(2)),或者經(jīng)過后側(cè)面然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的路線是最短路線,它的長度是5個(gè)單位長度.  利用例例3中求相鄰兩個(gè)平面上兩點(diǎn)間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法,可以解決一些類似的問題,例如求六棱柱兩個(gè)不相鄰的側(cè)面上A和B兩點(diǎn)之間的最短路線問題(下左圖),同樣可以把A、B兩點(diǎn)所在平面及與這兩個(gè)平面都相鄰的平面展開成同一個(gè)平面(下右圖),連接A、B成線段AP1P2B,PP2是線段AB與兩條側(cè)棱線的交點(diǎn),則折線AP1P2B就是AB間的最短路線.  圓柱表面的最短路線是一條曲線,“展開”后也是直線,這條曲線稱為螺旋線.因?yàn)樗哂凶疃痰男再|(zhì),所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用.如:螺釘上的螺紋,螺旋輸粉機(jī)的螺旋道,旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽,槍膛里的螺紋等都是螺旋線,看下面例題.  例4 景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個(gè)圓柱型的制品嵌金線,如下左圖,如果將金線的起點(diǎn)固定在A點(diǎn),繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn),問沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少?  解:將上左圖中圓柱面沿母線AB剪開,展開成平面圖形如上頁右圖(把圖中的長方形卷成上頁左圖中的圓柱面時(shí),A′、B′分別與A、B重合),連接AB′,再將上頁右圖還原成上頁左圖的形狀,則AB′在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線路.  圓錐表面的最短路線也是一條曲線,展開后也是直線.請(qǐng)看下面例題.  例5 有一圓錐如下圖,A、B在同一母線上,B為AO的中點(diǎn),試求以A為起點(diǎn),以B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線.  解:將圓錐面沿母線AO剪開,展開如下圖(把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面時(shí),A′、B′分別與A、B重合),在扇形中連AB′,則將扇形還原成圓錐之后,AB′所成的曲線為所求.  例6 如下圖,在圓柱形的桶外,有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找食物,已知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米, B點(diǎn)沿母線到桶口 D點(diǎn)的距離是8厘米,而C、D兩點(diǎn)之間的(桶口)弧長是15厘米.如果螞蟻爬行的是最短路線,應(yīng)該怎么走?路程總長是多少?  分析 我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖(下圖),由于B點(diǎn)在里面,不便于作圖,設(shè)想將BD延長到F,使DF=BD,即以直線CD為對(duì)稱軸,作出點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F,用F代替B,即可找出最短路線了.  解:將圓柱面展成平面圖形(上圖),延長BD到F,使DF=BD,即作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)F,連結(jié)AF,交桶口沿線CD于O.  因?yàn)橥翱谘鼐€CD是 B、F的對(duì)稱軸,所以O(shè)B=OF,而A、F之間的最短線路是直線段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之間的最短距離就是AO+OB,故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到O點(diǎn)后,轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點(diǎn)爬去.  延長AC到E,使CE=DF,易知△AEF是直角三角形,AF是斜邊,EF=CD,根據(jù)勾股定理,  AF2=(AC+CE)2+EF2   =(12+8)2+152=625=252,解得AF=25.  即螞蟻爬行的最短路程是25厘米.  例7 A、B兩個(gè)村子,中間隔了一條小河(如下圖),現(xiàn)在要在小河上架一座小木橋,使它垂直于河岸.請(qǐng)你在河的兩岸選擇合適的架橋地點(diǎn),使A、B兩個(gè)村子之間路程最短.   分析 因?yàn)闃虼怪庇诤影?,所以最短路線必然是條折線,直接找出這條折線很困難,于是想到要把折線化為直線.由于橋的長度相當(dāng)于河寬,而河寬是定值,所以橋長是定值.因此,從A點(diǎn)作河岸的垂線,并在垂線上取AC等于河寬,就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除,找出B、C兩點(diǎn)之間的最短路線,問題就可以解決.  解:如上圖,過A點(diǎn)作河岸的垂線,在垂線上截取AC的長為河寬,連結(jié)BC交河岸于D點(diǎn),作DE垂直于河岸,交對(duì)岸于E點(diǎn),D、E兩點(diǎn)就是使兩村行程最短的架橋地點(diǎn).即兩村的最短路程是AE+ED+DB.  例8 在河中有A、B兩島(如下圖),六年級(jí)一班組織一次劃船比賽,規(guī)則要求船從A島出發(fā),必須先劃到甲岸,又到乙岸,再到B島,最后回到A島,試問應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程最短?  解:如上圖,分別作A、B關(guān)于甲岸線、乙岸線的對(duì)稱點(diǎn)A′和B′,連結(jié)A′、B′分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點(diǎn),則A→E→F→B→A是最短路線,即最短路程為:AE+EF+FB+BA.  證明:由對(duì)稱性可知路線A→E→F→B的長度恰等于線段A′B′的長度.而從A島到甲岸,又到乙岸,再到B島的任意的另一條路線,利用對(duì)稱方法都可以化成一條連接A′、B′之間的折線,它們的長度都大于線段 A′B′,例如上圖中用“——”表示的路線A→E′→F′→B的長度等于折線AE′F′B的長度,它大于A′B′的長度,所以A→E→F→B→A是最短路線.第三講 周期問題例題1. 有249朵花,按5朵紅花,9朵黃花,13朵綠花的順序輪流排列,最后一朵是什么顏色的花?這249朵花中,紅花、黃花、綠花各有多少朵?[思路點(diǎn)撥]這些花按5紅、9黃、13綠的順序輪流排列,它的一個(gè)周期內(nèi)有5+9+13=27(朵)花。因?yàn)?49247。27=9……6,所以,這249朵花中含有9個(gè)周期還余下6朵花。按花的排列規(guī)律,這6朵花中前5朵應(yīng)是紅花,最后一朵應(yīng)是黃花。解:249247。(5+9+13)=9……6紅花有:59+5=50(朵)黃花有:99+1=82(朵)綠花有:139=117(朵)答:最后一朵是黃花。紅花有50朵,黃花有82朵,綠花有117朵。例題2. 2002年元旦是星期二,那么,2003年1月1日是星期幾?[思路點(diǎn)撥]2002年平年。每7天為一個(gè)星期,也就是為一個(gè)周期;從2002年1月1日到2002年12月31日為365天,到2003年1月1日是第366天。關(guān)鍵在于一個(gè)周期的第一天是星期幾解:366247。7=52(周)……2天 本題一個(gè)周期的第一天是星期二,所以,余2天就是星期三。 答:2003年的1月1日是星期三。 [練一練]今天是星期四,從明天開始第1800天是星期幾?有同樣大小的紅珠、白珠、黑珠共160個(gè),按4個(gè)紅珠,3個(gè)白珠,2個(gè)黑珠的順序排列著。黑珠共有幾個(gè)?第101個(gè)珠子是什么顏色?[綜合練習(xí)]我國農(nóng)歷用鼠?;⑼谬埳唏R羊猴雞狗豬這12種動(dòng)物按順序輪流代表各年的年號(hào)。如果1940年是龍年,那么,1996年是什么年?科學(xué)家進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn),每隔6小時(shí)做一次記錄。做第10次記錄時(shí),掛鐘的時(shí)針恰好指向7,問:做第一次記錄時(shí),時(shí)針指向幾?有同樣大小的紅珠、白珠、黑珠共160個(gè)。按4個(gè)紅珠、3個(gè)白珠、2個(gè)黑珠的順序排列著。黑珠共有幾個(gè)?第101個(gè)珠子是什么顏色的? 英文字母A、B、C、D按BCDABAACDABAACDABAACD……排列,共250個(gè)字母,最后一個(gè)字母是什么?A、B、C、D各是多少?有13名小朋友編成1到13號(hào),依次圍成一個(gè)圓圈。現(xiàn)在從1號(hào)開始,每數(shù)到第3個(gè)人發(fā)一粒糖。那么,最后一個(gè)拿到糖的人是幾號(hào)?還原與年齡《導(dǎo)引》【典型問題】1.某數(shù)加上6,乘以6,減去6,除以6,其結(jié)果等于6,則這個(gè)數(shù)是多少?解答:(66+6)247。66=1,這個(gè)數(shù)是1.2.兩個(gè)兩位數(shù)相加,其中一個(gè)加數(shù)是73,另一個(gè)加數(shù)不知道,只知道另一個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字增加5,個(gè)位數(shù)字增加1,那么求得的和的后兩位數(shù)字是72,問另一個(gè)加數(shù)原來是多少?解答:和的后兩位數(shù)字是72,說明另一個(gè)加數(shù)變成了99,所以原來的加數(shù)是9951=48.3.有磚26塊,兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面,剛擺好磚,哥哥趕到了。哥哥看弟弟挑的太多,就搶過一半。弟弟不肯,又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服,弟弟只好給哥哥5塊,這時(shí)哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊?解答:先算出最后各挑幾塊:(和差問題)哥哥是(26+2)247。2=14,弟弟是2614=12,然后來還原:1.哥哥還給弟弟5塊:哥哥是145=9,弟弟是12+5=17;2.弟弟把搶走的一半還給哥哥:搶走了一半,那么剩下的就是另一半,所以哥哥就應(yīng)該是9+9=18,弟弟是179=8;3.哥哥把搶走的一半還給弟弟:那么弟弟原來就是8+8=16塊.4.甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同,甲最多,他
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