【正文】 10 小時內(nèi)的總水量＝ 1510＝原有水量＋ 10 小時進(jìn)水量 所以，（ 10－ 3）小時內(nèi)的進(jìn)水量為 1510－ 1123＝ 14 因此，每小時 的進(jìn)水量為 14247。（ 10－ 3）＝ 2 （ 2）求淘水前原有水量 原有水量＝ 1123－ 3 小時進(jìn)水量＝ 36－ 23＝ 30 （ 3）求 17 人幾小時淘完 17 人每小時淘水量為 17，因為每小時漏進(jìn)水為 2，所以實際上船中每小時減少的水量為（ 17－ 2），所以 17 人淘完水的時間是 30247。（ 17－ 2）＝ 2（小時） 答： 17 人 2 小時可以淘完水。 098a5f2c70be23952ffc047dd5fb8fa2 第 14 頁 共 20 頁 [小學(xué)數(shù)學(xué)競賽分類 題典 ] 主編：孫鴻斌，錄入排版：牛全中 20 雞兔同籠問題 【含義】 這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差 ，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。 【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題： 假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－ 2雞兔總數(shù)） 247。（ 4－ 2） 假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（ 4雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)） 247。（ 4－ 2） 第二雞兔同籠問題： 假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（ 2雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差） 247。（ 4＋ 2） 假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（ 4雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差） 247。（ 4＋ 2） 【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后 以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。 例 1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？ 解 假設(shè) 35 只全為兔，則 雞數(shù)＝（ 435－ 94） 247。（ 4－ 2）＝ 23（只） 兔數(shù)＝ 35－ 23＝ 12（只） 也可以先假設(shè) 35 只全為雞，則 兔數(shù)＝（ 94－ 235） 247。（ 4－ 2）＝ 12（只） 雞數(shù)＝ 35－ 12＝ 23（只） 答：有雞 23 只，有兔 12 只。 例 2 2 畝菠菜要施肥 1 千克， 5 畝白菜要施 肥 3 千克，兩種菜共 16 畝，施肥9 千克，求白菜有多少畝？ 解 此題實際上是改頭換面的 “雞兔同籠 ”問題。 “每畝菠菜施肥（ 1247。2）千克 ”與 “每只雞有兩個腳 ”相對應(yīng)， “每畝白菜施肥（ 3247。5）千克 ”與 “每只兔有 4 只腳 ”相對應(yīng)， “16 畝 ”與 “雞兔總數(shù) ”相對應(yīng)， “9 千克 ”與 “雞兔總腳數(shù) ”相對應(yīng)。假設(shè)16 畝全都是菠菜，則有 白菜畝數(shù)＝（ 9－ 1247。216） 247。（ 3247。5－ 1247。2）＝ 10（畝） 答：白菜地有 10 畝。 例 3 李老師用 69 元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共 45 本，作業(yè)本每本 3 .20 元，日記本每本 元。問作業(yè)本 和日記本各買了多少本？ 解 此題可以變通為 “雞兔同籠 ”問題。假設(shè) 45 本全都是日記本，則有 作業(yè)本數(shù)＝（ 69－ 45） 247。（ － ）＝ 15（本） 日記本數(shù)＝ 45－ 15＝ 30（本） 答：作業(yè)本有 15 本，日記本有 30 本。 例 4 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有 100 只，雞的腳比兔的腳多 80 只，問雞與兔各多少只？ 解 假設(shè) 100 只全都是雞，則有 兔數(shù)＝（ 2100－ 80） 247。（ 4＋ 2）＝ 20（只） 雞數(shù)＝ 100－ 20＝ 80（只） 答：有雞 80 只，有兔 20 只。 例 5 有 100 個饃 100 個和 尚吃，大和尚一人吃 3 個饃，小和尚 3 人吃 1 個饃，問大小和尚各多少人？ 解 假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（ 3100）個，比實際多吃（ 3100－ 100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù) 100 不變的情況下，以 “小 ”換 “大 ”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（ 3－ 1/3）個。因此，共有小和尚 （ 3100－ 100） 247。（ 3－ 1/3）＝ 75（人） 共有大和尚 100－ 75＝ 25（人） 答：共有大和尚 25 人，有小和尚 75 人。 21 方陣問題 【含義】 將若干人或物依一定條 件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。 【數(shù)量關(guān)系】 （ 1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－ 1） 4 每邊人數(shù)＝四周人數(shù) 247。4 ＋ 1 （ 2）方陣總?cè)藬?shù)的求法： 實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù) 每邊人數(shù) 098a5f2c70be23952ffc047dd5fb8fa2 第 15 頁 共 20 頁 [小學(xué)數(shù)學(xué)競賽分類 題典 ] 主編：孫鴻斌，錄入排版：牛全中 ?－（內(nèi)邊人數(shù)） ?空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)） 內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù) 2 （ 3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)） 層數(shù) 4 【解題思路和方法】 方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘； 空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。 例 1 在育才小學(xué)的運(yùn)動會上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22 人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？ 解 2222＝ 484（人） 答：參加體操表演的同學(xué)一共有 484 人。 例 2 有一個 3 層中空方陣，最外邊一層有 10 人，求全方陣的人數(shù)。 解 ＝ 84（人） ?－（ 10－ 32） ?10 答：全方陣 84 人。 例 3 有一隊學(xué)生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是 52 人，最內(nèi)層人數(shù)是 28 人，這隊學(xué)生共多少人？ 解 （ 1）中空方陣外層每邊 人數(shù)＝ 52247。4＋ 1＝ 14（人） （ 2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝ 28247。4－ 1＝ 6（人） （ 3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝ 1414－ 66＝ 160（人） 答：這隊學(xué)生共 160 人。 例 4 一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少 9 只棋子，問有棋子多少個？ 解 （ 1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝ 4＋ 9＝ 13（只） （ 2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（ 13＋ 1） 247。2 ＝ 7（只） （ 3）原有棋子數(shù)＝ 77－ 9＝ 40（只） 答：棋子有 40 只。 例 5 有一個三角形樹林，頂點上有 1 棵樹，以下每排的樹都比前一排多 1 棵，最下面一排有 5 棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？ 解 第一種方法： 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＝ 15（棵） 第二種方法： （ 5＋ 1） 5247。2＝ 15（棵） 答：這個三角形樹林一共有 15 棵樹。 22 商品利潤問題 【含義】 這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。 【數(shù)量關(guān)系】利潤＝售價－進(jìn)貨價 利潤率＝（售價－進(jìn)貨價） 247。進(jìn)貨價 100% 售價＝進(jìn)貨價 （ 1＋利潤率） 虧損＝進(jìn)貨價－售價 虧損率＝（進(jìn)貨價－售價） 247。進(jìn)貨 價 100% 【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例 1 某商品的平均價格在一月份上調(diào)了 10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？ 解 設(shè)這種商品的原價為 1，則一月份售價為（ 1＋ 10%），二月份的售價為（ 1＋ 10%） （ 1－ 10%），所以二月份售價比原價下降了 1－（ 1＋ 10%） （ 1－ 10%）＝ 1% 答：二月份比原價下降了 1%。 例 2 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52 元，已知衣服原來按期望盈利 30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？ 解 要知虧還是盈，得知實際售價 52 元比成本少多少或多多少元，進(jìn)而需知成本。因為 52 元是原價的 80%，所以原價為（ 52247。80%）元；又因為原價是按期望盈利 30%定的，所以成本為 52247。80%247。（ 1＋ 30%）＝ 50（元） 可以看出該店是盈利的，盈利率為 （ 52－ 50） 247。50＝ 4% 答：該店是盈利的，盈利率是 4%。 例 3 成本 元的作業(yè)本 1200 冊，按期望獲得 40%的利潤定價出售，當(dāng)銷售出 80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？ 解 問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是 （ 1＋ 40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的098a5f2c70be23952ffc047dd5fb8fa2 第 16 頁 共 20 頁 [小學(xué)數(shù)學(xué)競賽分類 題典 ] 主編：孫鴻斌，錄入排版：牛全中 每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的 80%的盈利額之差，即 120040%86%－ 120040%80%＝ （元） 剩下的作業(yè)本每冊盈利 247。［ 1200（ 1－ 80%）］＝ （元） 又可知 （ ＋ ） 247。［ （ 1＋ 40%）］＝ 80% 答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。 例 4 某種商品，甲店的進(jìn)貨價比乙店的進(jìn)貨價便宜 10%，甲店按 30%的利潤定價，乙店按 20%的利潤定價，結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴 6 元，求乙店的定價。 解 設(shè)乙店的進(jìn)貨價為 1，則甲店的進(jìn)貨價為 1－ 10%＝ 甲店定價為 （ 1＋ 30%）＝ 乙店定價為 1（ 1＋ 20%）＝ 由此可得 乙店進(jìn)貨價為 6247。（ － ）＝ 200（元） 乙店定價為 200＝ 240（元） 答 ：乙店的定價是 240 元。 23 存款利率問題 【含義】 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)。 【數(shù)量關(guān)系】 年（月）利率＝利息 247。本金 247。存款年（月）數(shù) 100% 利息＝本金 存款年（月）數(shù) 年（月）利率 本利和＝本金＋利息＝本金 ［ 1＋年（月）利率 存款年（月）數(shù)］ 【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。 例 1 李大強(qiáng)存入銀行 1200 元，月利率 %，到期后連本帶利共取出 1488 元，求存款期多長。 解 因為存款期內(nèi)的總利息是（ 1488－ 1200）元， 所以總利率為 （ 1488－ 1200） 247。1200 又因為已知月利率， 所以存款月數(shù)為 （ 1488－ 1200） 247。1200247。%＝ 30（月） 答：李大強(qiáng)的存款期是 30 月即兩年半。 例 2 銀行定期整存整取的年利率是：二年期 %，三年期%，五年期 9%。如果甲乙二人同時各存入 1 萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期； 乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？ 解 甲的總利息 ［ 10000%2＋［ 10000（ 1＋ %2）］ %3 ＝ 1584＋ 11584%3＝ （元） 乙的總利息 100009%5＝ 4500（元） 4500－ ＝ （元） 答：乙的收益較多，乙比甲多 元。 24 溶液濃度問題 【含義】 在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這 幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。 【數(shù)量關(guān)系】 溶液＝溶劑＋溶質(zhì) 濃度＝溶質(zhì) 247。溶液 100% 【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。 例 1 爺爺有 16%的糖水 50 克，（ 1）要把它稀釋成 10%的糖水，需加水多少克？（ 2）若要把它變成 30%的糖水，需加糖多少克？ 解 （ 1）需要加水多少克？ 5016%247。10%－ 50＝ 30（克） （ 2）需要加糖多少 克？ 50（ 1－ 16%） 247。（ 1－ 30%）－ 50＝ 10（克） 答：（ 1）需要加水 30 克，（ 2）需要加糖 10 克。 例 2 要把 30%的糖水與 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多少克？ 解 假設(shè)全用 30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出 600（ 30%－ 25%）＝ 30（克） 098a5f2c70be23952f