【正文】 盈利與先售出的80%的盈利額之差，即 120040%86%－120040%80%＝（元）剩下的作業(yè)本每?jī)?cè)盈利 247。［1200（1－80%）］＝（元）又可知 （＋）247。［（1＋40%）］＝80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價(jià)的八折出售的。例4 某種商品，甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)便宜10%，甲店按30%的利潤(rùn)定價(jià)，乙店按20%的利潤(rùn)定價(jià)，結(jié)果乙店的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴6元，求乙店的定價(jià)。解:設(shè)乙店的進(jìn)貨價(jià)為1，則甲店的進(jìn)貨價(jià)為 1－10%＝ 甲店定價(jià)為 （1＋30%）＝ 乙店定價(jià)為 1（1＋20%）＝ 由此可得 乙店進(jìn)貨價(jià)為 6247。（－）＝200（元）乙店定價(jià)為 200＝240（元）答：乙店的定價(jià)是240元。23 存款利率問(wèn)題【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)?！緮?shù)量關(guān)系】年（月）利率＝利息247。本金247。存款年（月）數(shù)100%利息＝本金存款年（月）數(shù)年（月）利率本利和＝本金＋利息＝本金［1＋年（月）利率存款年（月）數(shù)］【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 李大強(qiáng)存入銀行1200元，%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長(zhǎng)。解: 因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是（1488－1200）元，所以總利率為 （1488－1200）247。1200 又因?yàn)橐阎吕剩源婵钤聰?shù)為（1488－1200）247。1200247。%＝30（月）答：李大強(qiáng)的存款期是30月即兩年半。例2 銀行定期整存整取的年利率是：%，%，五年期9%。如果甲乙二人同時(shí)各存入1萬(wàn)元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時(shí)取出，那么，誰(shuí)的收益多？多多少元？解：甲的總利息［10000%2＋［10000（1＋%2）］%3＝1584＋11584%3＝（元）乙的總利息 100009%5＝4500（元）4500－＝（元）答：乙的收益較多。24 溶液濃度問(wèn)題【含義】 在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。這類問(wèn)題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關(guān)系】 溶液＝溶劑＋溶質(zhì) 濃度＝溶質(zhì)247。溶液100%【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？解:（1）需要加水多少克？ 5016%247。10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？ 50（1－16%）247。（1－30%）－50 ＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解:假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會(huì)多出600（30%－25%）＝30（克）這是因?yàn)?0%的糖水多用了。于是，我們?cè)O(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來(lái)“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會(huì)減少糖 100（30%－15%）＝15（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液） 100（30247。15）＝200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600－200＝400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解:由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會(huì)知所求的濃度。下面列表推算：甲容器乙容器原 有鹽水500鹽50012%＝60水500第一次把甲中一半倒入乙中后鹽水500247。2＝250鹽60247。2＝30鹽水500＋250＝750鹽30第而次把乙中一半倒入甲中后鹽水250＋375＝625鹽30＋15＝45鹽水750247。2＝375鹽30247。2＝15第三次使甲乙中鹽水同樣多鹽水500鹽45－9＝36鹽水500鹽45－36＋15＝24由以上推算可知， 乙容器中最后鹽水的百分比濃度為 24247。500＝%答：%。25 構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題【含義】 這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實(shí)生活中常用的數(shù)學(xué)問(wèn)題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計(jì)出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中。“構(gòu)圖布數(shù)”問(wèn)題的關(guān)鍵是要符合所給的條件?！緮?shù)量關(guān)系】 根據(jù)不同題目的要求而定?！窘忸}思路和方法】 通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來(lái)構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1 十棵樹(shù)苗子，要栽五行子，每行四棵子，請(qǐng)你想法子。解:符合題目要求的圖形應(yīng)是一個(gè)五角星。45247。2＝10因?yàn)槲褰切堑?條邊交叉重復(fù)，應(yīng)減去一半。例2 九棵樹(shù)苗子，要栽十行子，每行三棵子，請(qǐng)你想法子。解:符合題目要求的圖形是兩個(gè)倒立交叉的等腰三角形， 一個(gè)三角形的頂點(diǎn)在另一個(gè)三角形底邊的中線上。例3 九棵樹(shù)苗子，要栽三行子，每行四棵子，請(qǐng)你想法子。解：符合題目要求的圖形是一個(gè)三角形，每邊栽4棵樹(shù)，三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)應(yīng)減去，正好9棵。 43－3＝9例4把12拆成1到7這七個(gè)數(shù)中三個(gè)不同數(shù)的和，有幾種寫(xiě)法？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種圖形，填入這七個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)只填一處，且每條線上三個(gè)數(shù)的和都等于12。解：共有五種寫(xiě)法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋712＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5在這五個(gè)算式中，4出現(xiàn)三次，其余的7各出現(xiàn)兩次，因此，4應(yīng)位于三條線的交點(diǎn)處，其余數(shù)都位于兩條線的交點(diǎn)處。據(jù)此，我們可以設(shè)計(jì)出以下三種圖形：26 幻方問(wèn)題【含義】 把nn個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡(jiǎn)單的幻方是三級(jí)幻方?！緮?shù)量關(guān)系】每行、每列、每條對(duì)角線上各數(shù)的和都相等，這個(gè)“和”叫做“幻和”。 三級(jí)幻方的幻和＝45247。3＝15 五級(jí)幻方的幻和＝325247。5＝65【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對(duì)角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)填入九個(gè)方格中，使每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相等。解:幻和的3倍正好等于這九個(gè)數(shù)的和，所以幻和為 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）247。3＝45247。3＝15九個(gè)數(shù)在這八條線上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻和時(shí)，每個(gè)數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個(gè)數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對(duì)角線這四條線上），四角的四個(gè)數(shù)各用到三次，其余的四個(gè)數(shù)各用到兩次?？磥?lái)，用到四次的“中心數(shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。設(shè)“中心數(shù)”為Χ，因?yàn)棣冻霈F(xiàn)在四條線上，而每條線上三個(gè)數(shù)之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝154276951438 即 45＋3Χ＝60 所以 Χ＝5接著用奇偶分析法尋找其余四個(gè)偶數(shù)的位置，它們分別在四個(gè)角，再確定其余四個(gè)奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進(jìn)一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。例2把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個(gè)數(shù)填到九個(gè)方格中，使每行、每列、以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等。解:只有三行，三行用完了所給的9個(gè)數(shù)，所以每行三數(shù)之和為（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）247。3＝18假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對(duì)角線共8行上的三個(gè)數(shù)之和都等于18，我們看18能寫(xiě)成哪三個(gè)數(shù)之和：最大數(shù)是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3最大數(shù)是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4最大數(shù)是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4最大數(shù)是7： 18＝7＋6＋5剛好寫(xiě)成8個(gè)算式。9274685103首先確定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個(gè)斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。觀察上述8個(gè)算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應(yīng)填6。然后確定四個(gè)角的數(shù)。四個(gè)角的數(shù)都用了三次，而上述8個(gè)算式中只有3被用了三次，所以3應(yīng)填在四個(gè)角上。但還應(yīng)兼顧兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都為18。最后確定其它方格中的數(shù)。如圖。27 抽屜原則問(wèn)題【含義】 把3只蘋(píng)果放進(jìn)兩個(gè)抽屜中，會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋(píng)果放進(jìn)一個(gè)抽屜，剩下的一個(gè)放進(jìn)另一個(gè)抽屜；要么把3只蘋(píng)果都放進(jìn)同一個(gè)抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個(gè)抽屜中放了2只或2只以上的蘋(píng)果。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 基本的抽屜原則是：如果把n＋1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。抽屜原則可以推廣為：如果有m個(gè)抽屜，有km＋r（0＜r≤m）個(gè)元素那么至少有一個(gè)抽屜中要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。通俗地說(shuō)，如果元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素?！窘忸}思路和方法】 （1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說(shuō)明理由，得出結(jié)論。例1育才小學(xué)有367個(gè)1999年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天的？解: 由于1999年是潤(rùn)年，全年共有366天，可以看作366個(gè)“抽屜”，把367個(gè)1999年出生的學(xué)生看作367個(gè)“元素”。367個(gè)“元素”放進(jìn)366個(gè)“抽屜”中，至少有一個(gè)“抽屜”中放有2個(gè)或更多的“元素”。這說(shuō)明至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。例2 據(jù)說(shuō)人的頭發(fā)不超過(guò)20萬(wàn)跟，如果陜西省有3645萬(wàn)人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？解:人的頭發(fā)不超過(guò)20萬(wàn)根，可看作20萬(wàn)個(gè)“抽屜”，3645萬(wàn)人可看作3645萬(wàn)個(gè)“元素”，把3645萬(wàn)個(gè)“元素”放到20萬(wàn)個(gè)“抽屜”中，得到3645247。20＝182……5 根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。例3 一個(gè)袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個(gè)，白球9個(gè)，黃球8個(gè)，藍(lán)球2個(gè)。某人閉著眼睛從中取出若干個(gè)，試問(wèn)他至少要取多少個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)球顏色相同？解:把四種顏色的球的總數(shù)（3＋3＋3＋2）＝11 看作11個(gè)“抽屜”，那么，至少要?。?1＋1）個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。答；他至少要取12個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。28 公約公倍問(wèn)題【含義】需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來(lái)解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來(lái)解答?！窘忸}思路和方法】 先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。例1 一張硬紙板長(zhǎng)60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個(gè)大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問(wèn)正方形的邊長(zhǎng)是多少？解:硬紙板的長(zhǎng)和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長(zhǎng)。 60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長(zhǎng)是4厘米。例2 甲、乙、丙三輛汽車在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時(shí)從同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，問(wèn)至少要多少時(shí)間這三輛汽車才能同時(shí)又在起點(diǎn)相遇？解: 要求多少時(shí)間才能在同一起點(diǎn)相遇，這個(gè)時(shí)間必定同時(shí)是348的倍數(shù)。因?yàn)閱?wèn)至少要多少時(shí)間，所以應(yīng)是348的最小公倍數(shù)。 348的最小公倍數(shù)是720。答：至少要720分鐘（即12小時(shí)）這三輛汽車才能同時(shí)又在起點(diǎn)相遇。例3 一個(gè)四邊形廣場(chǎng)，邊長(zhǎng)分別為60米，72米，96米，84米，現(xiàn)要在四角和四邊植樹(shù)，若四邊上每?jī)煽脴?shù)間距相等，至少要植多少棵樹(shù)？解:相鄰兩樹(shù)的間距應(yīng)是60、7984的公約數(shù)，要使植樹(shù)的棵數(shù)盡量少，須使相鄰兩樹(shù)的間距盡量大，那么這個(gè)相等的間距應(yīng)是60、7984這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)12。所以，至少應(yīng)植樹(shù) （60＋72＋96＋84）247。12＝26（棵）答：至少要植26棵樹(shù)。例4 一盒圍棋子，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)多1個(gè)，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)多1個(gè)，6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)還多1個(gè)。又知棋子總數(shù)在150到200之間，求棋子總數(shù)。解:如果從總數(shù)中取出1個(gè)，余下的總數(shù)便是6的公倍數(shù)。因?yàn)?的最小公倍數(shù)是60，又知棋子總數(shù)在150到200之間，所以這個(gè)總數(shù)為 603＋1＝181（個(gè)）答：棋子的總數(shù)是181個(gè)。29 最值問(wèn)題【含義】 科學(xué)的發(fā)展觀認(rèn)為，國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價(jià)取得最大的效益。這類應(yīng)用題叫做最值問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 一般是求最大值或最小值。【解題思路和方法】 按照題目的要求，求出最大值或最小值。例1 在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時(shí)放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？解:先將兩塊餅同時(shí)放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時(shí)將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過(guò)第二塊餅。再過(guò)3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過(guò)第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時(shí)間最少，為9分鐘。答：最少需要9分鐘。例2 在一條公路上有五個(gè)卸煤場(chǎng)，每相鄰兩個(gè)之間的距離都是10千米，已