微分方程模型經(jīng)濟數(shù)學建模課件西安交通大學,戴雪峰-資料下載頁
2025-01-13 23:04本頁面
【正文】 ? 3）競爭項的乘積率（統(tǒng)計籌算律） （ PP模型） 如銷售電飯煲模型： ()dxk x xdt? ? ?，（為 L ogistic 模型） x — 已有電飯煲用戶， k — 銷售極限量， k x — 潛在購買用戶。 當兩個項目存在競爭時，變化率與兩者的乘積成正比，這在統(tǒng)計上得到支持，稱為統(tǒng)計籌算律。 例如（ P P 模型）： 地中海的兩類魚， x 1 ——— 食用魚， x 2 ——— 食肉魚， r 1 ——— x 1 類魚的增長率， r 2 ——— x 2 類魚的增長率。 1 1 1 1 2 1 222 2 2 1 1 2dxr x x xdtdxr x x xdt???? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? 其中12211221??表 示 項 目 對 項 目 產(chǎn) 生 影 響 的 比 例 系 數(shù)表 示 項 目 對 項 目 產(chǎn) 生 影 響 的 比 例 系 數(shù) 下面舉一個數(shù)模競賽題 （ 99年全國競賽題）： 現(xiàn)有直徑 1km的小行星撞擊南極，南極冰層厚 1km。試問對人類會產(chǎn)生多大的影響？ 1 ）能擊穿冰層嗎？ 由第一宇宙速度，計算能轉(zhuǎn)換多少動能，該動能能擊穿多厚的冰層？ 結(jié)論：可以擊穿。 首先提出思考問題： 2 ）冰的融化，可使海平面上升多少？ 計算動能能轉(zhuǎn)換多少熱能，熱能能融化多少冰，若按地球表面 70% 的水計算可使海平面上升3cm 。 結(jié)論：對人類影響不大。 3 ）撞擊會引發(fā)海嘯。 （否則，會產(chǎn)生象電影彗星撞地球那樣，引發(fā)海嘯后人們驚恐地逃命的鏡頭） 結(jié)論：無人區(qū)，對人類影響不大。 4 ）對生態(tài)系統(tǒng)的影響（有說法，恐龍滅絕是食物鏈斷裂造成的） 南極生物：海藻 x1，磷蝦 x2，其他 x3，用規(guī)則 3 ）得模型： 11 1 12 1 222 2 21 1 2 23 2 333 3 32 3 2dxr x x xdtdxr x x x x xdtdxr x x xdt?????? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???， 這的系數(shù)可查閱歷史數(shù)據(jù)推斷而得。 問題： 1 ） 假定人口增長率服從這樣的規(guī)律：時刻 t 的人口為x( t) ， t 到 t+ ⊿ t 內(nèi)人口增量與 x m x( t) 成正比 （其中 x m 為最大容量）。 試建立模型并求解，作出圖形，并與指數(shù)增長型、阻滯增長型的結(jié)果比較分析。 2 ）建立下列模型： ①分段的指數(shù)增長模型。比如按時間分三段，分別確定增長率。 ②阻滯增長模型，重新定固有增長率和最大容量。 并對結(jié)果進行分析。 問題： 利用數(shù)學模型研究惡性腫瘤生長規(guī)律，是癌癥研究的一個方面，有助于認識其生長規(guī)律，尋找控制和消滅它的措施。通過臨床觀察，人們發(fā)現(xiàn)腫瘤細胞的生長有以下現(xiàn)象： ①按現(xiàn)有手段，腫瘤細胞數(shù)超過 1011時臨床才能觀察到。 ②在腫瘤生長初期，每經(jīng)過一定時間，腫瘤細胞數(shù)目就增長一倍。 ③在腫瘤生長后期，由于各種生理條件的限制，腫瘤細胞數(shù)目逐漸趨向一個穩(wěn)定值。 試求：腫瘤細胞生長規(guī)律。 假設(shè)： 腫瘤細胞的增長數(shù)度與當時該細胞數(shù)目成正比，比例系數(shù)為 λ （相對增長率），設(shè) t 時刻腫瘤細胞數(shù)目n(t) ，由①知 111110( 0 ) 1 0tdnnedtn?????????? 由②設(shè)細胞增加一倍時間為 τ ， l n 2( ) 2 ( ) ,n t n t???? ? ? ? ? 但該模型未反映③，稱該指數(shù)模型為 Malthus 模型。 假設(shè)： 相對增長率 λ 隨腫瘤細胞數(shù)目 n(t) 的增加而減少， N 為腫瘤細胞的極限值。 設(shè)( ) ( )f n a b n t??，由 n(t)=N 時， λ =0 ， n(t)=n(0)時， λ (t)= λ 。 ( ) ( )( ) ( 1 ) ( )( 0 )d n N n t n tn t n td t N n N???? ? ? ? ?? ， ()( ( ) )N n tfnN??? 解得 ()1( 0 )( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 )[ ( 1 ) ]ntNnnnn t n eNN????? ? ? 為 Logistic 模型。
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