【正文】 ??? FEyDxyx 的表示圓的方程稱為圓的一般方程 新疆學(xué)案王新敞 ? ?2 214xy? ? ? 我們來(lái)看圓的一般方程的特點(diǎn)： (啟發(fā)學(xué) 生歸納 ) (1)①x 2和 y2的系數(shù)相同，不等于 0． ② 沒(méi)有 xy這樣的二次項(xiàng)． (2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù) D、 E、 F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了． (3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。 （三）、知識(shí)應(yīng)用與解題研究 例 1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑。? ?? ? 22221 4 4 4 1 2 9 02 4 4 4 1 2 1 1 0x y x yx y x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? 學(xué)生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓 的標(biāo)準(zhǔn)形式。②、運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對(duì)于 ? ? 221 4 4 4 1 2 9 0x y x y? ? ? ? ?來(lái)說(shuō)，這里的 91 , 3 , 4D E F? ? ? ? 而 不 是 D=4,E=12,F=9. 例 2：求過(guò)三點(diǎn) A（ 0， 0）， B（ 1， 1）， C（ 4， 2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫(xiě)出圓的一般方程 新疆學(xué)案王新敞 解：設(shè)所求的圓的方程為： 022 ????? FEyDxyx ∵ ( 0 , 0) , (1 1AB ， ） ,C(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解 .把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于 FED , 的三元一次方程組， 32 即??????????????02024020FEDFEDF 解此方程組，可得：0,6,8 ???? FED新疆學(xué)案王新敞 ∴所求圓的方程為： 06822 ???? yxyx 新疆學(xué)案王新敞 5421 22 ???? FEDr ； 32,42 ????? FD新疆學(xué)案王新敞 得圓心坐標(biāo)為（ 4， 3） .或?qū)?06822 ???? yxyx 左邊配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，25)3()4( 22 ???? yx ,從而求出圓的半徑 5?r ，圓心坐標(biāo)為 (4,3) 新疆學(xué)案王新敞 學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟： ① 根據(jù)提議，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； ② 根據(jù)條件列出關(guān)于 a、 b、 r 或 D、 E、 F 的方程組； ③ 解出 a、 b、 r 或 D、 E、 F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。 例 已知線段 AB 的端點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ 4， 3），端點(diǎn) A 在圓上 ? ?2 214xy? ? ? 運(yùn)動(dòng)，求線段 AB的中點(diǎn) M的軌跡方程。 分析：如圖點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn) A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) A的坐標(biāo)滿足方程 ? ?2 214xy? ? ? 。建立點(diǎn) M與點(diǎn) A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn) M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點(diǎn) M的軌跡方程。 解 ： 設(shè) 點(diǎn) M 的 坐 標(biāo) 是 （ x,y ） , 點(diǎn) A 的 坐 標(biāo) 是? ? ? ?00, . B 4 3 M A Bxy 由 于 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 是 ， 且 是 線 段 的 重 點(diǎn) ， 所 以000043,222 4 , 2 3xyxyx x y y????? ? ? ?于 是 有① 因 為 點(diǎn) A在 圓 ? ?2 214xy? ? ? 上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)滿足方程 ? ?2 214xy? ? ? ,即? ?2 20224xy? ? ? ? ?2 20224xy? ? ? ② 把①代入②，得 ? ? ? ?222 4 1 2 3 4 ,xy? ? ? ? ? 223 12y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?3整 理 ， 得 x 2 M ??????33所 以 ， 點(diǎn) 的 軌 跡 是 以 ， 為 圓 心 ， 半 徑 長(zhǎng) 為 1 的 圓22 33 642 2 4 5 5MOBAyx （四）、課堂練習(xí)： 課堂練習(xí) 130p 第 3題 （五）、小結(jié) ： 1．對(duì)方程 022 ????? FEyDxyx 的討論 (什么時(shí)候可以表示圓 ) 新疆學(xué)案王新敞2．與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 新疆學(xué)案王新敞 3．用待定系數(shù)法求圓的方程 新疆學(xué)案王新敞 4．求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡。 （六）、課后作業(yè)： 130p 習(xí)題 6題 五 、 教后反思： 34 第十一課時(shí) 直線與圓的位置關(guān)系 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 ： （ 1）理解直線與圓的位置的種類；（ 2）利用平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離；（ 3）會(huì)用點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系． 過(guò)程與方法 ： 設(shè)直線 l ： 0??? cbyax ，圓 C ： 022 ????? FEyDxyx ，圓的半徑為 r ，圓心 )2,2( ED ??到直線的距離為 d ，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（ 1）當(dāng) rd ?時(shí)，直線 l 與圓 C 相離；（ 2）當(dāng) rd? 時(shí)，直線 l 與圓 C 相切；（ 3）當(dāng) rd? 時(shí)，直線 l 與圓 C 相交； 情態(tài)與價(jià)值觀 ： 讓學(xué)生通過(guò)觀察圖形，理解并掌握直線與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想． 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) ：直線與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判斷方法．難點(diǎn)：用坐標(biāo)法判直線與圓的位置關(guān)系． 三、教學(xué)方法： 學(xué)導(dǎo)式 四、教學(xué)過(guò)程 問(wèn) 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 1．初中學(xué)過(guò)的平面幾何中，直線與圓的位置關(guān)系有幾類？ 啟發(fā)學(xué)生由圖形獲取判斷直線與圓的位置關(guān)系的直觀認(rèn)知，引入新課． 師：讓學(xué)生之間進(jìn)行討論、交流，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，導(dǎo)入新課． 生：看圖，并說(shuō)出自己的看法． 2．直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？ 得出直線與圓的位置關(guān)系的幾何特征與種類． 師：引導(dǎo)學(xué)生利用類比、歸納的思想，總結(jié)直線與圓的位置關(guān)系的種類，進(jìn) 一步深化“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想． 問(wèn) 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 生：觀察圖形，利用類比的方法，歸納直線與圓的位置關(guān)系． 3．在初中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系呢？如何用直線與圓的方程判斷它們之間的位使學(xué)生回憶初中的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)抽象概括能師：引導(dǎo)學(xué)生回憶初中判斷直線與圓的位置關(guān)系的思想過(guò)程． 生：回憶直線與圓的位置關(guān)系 35 置關(guān)系呢？ 力． 的判斷過(guò)程． 4．你能說(shuō)出判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法嗎？ 抽象判斷直線與圓的位置關(guān)系的思路與方法． 師：引導(dǎo)學(xué)生從幾何的角度說(shuō)明判斷 方法和通過(guò)直線與圓的方程說(shuō)明判斷方法． 生：利用圖形，尋找兩種方法的數(shù)學(xué)思想． 5．你能兩種判斷直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)學(xué)思想解決例 1的問(wèn)題嗎？ 體會(huì)判斷直線與圓的位置關(guān)系的思想方法，關(guān)注量與量之間的關(guān)系． 師：指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書(shū)上的例 1． 生：新聞?dòng)浾呓炭茣?shū)上的例 1，并完成教科書(shū)第 136頁(yè)的練習(xí)題 2． 6．通過(guò)學(xué)習(xí)教科書(shū)的例 1，你能總結(jié)一下判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟嗎？ 使學(xué)生熟悉判斷直線與圓的位置關(guān)系的基本步驟． 生：閱讀例 1． 師；分析例 1，并展示解答過(guò)程；啟發(fā)學(xué)生概括判斷直線與圓的位置關(guān)系的基本 步驟，注意給學(xué)生留有總結(jié)思考的時(shí)間． 生：交流自己總結(jié)的步驟． 師：展示解題步驟． 7．通過(guò)學(xué)習(xí)教科書(shū)上的例 2，你能說(shuō)明例 2中體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法嗎？ 進(jìn)一步深化“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想． 師：指導(dǎo)學(xué)生閱讀并完成教科書(shū)上的例 2，啟發(fā)學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題． 生：閱讀教科書(shū)上的例 2，并完成第 137頁(yè)的練習(xí)題． 問(wèn) 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 8．通過(guò)例 2 的學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 明確弦長(zhǎng)的運(yùn)算方法． 師：引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生探索直線與圓的相交弦的求法． 生：通過(guò)分析、抽象、歸納，得出相交弦長(zhǎng)的 運(yùn)算方法． 9．完成教科書(shū)第 136 頁(yè)的練 鞏固所學(xué)過(guò) 師：引導(dǎo)學(xué)生完成練習(xí)題． 36 習(xí)題 4． 的知識(shí)，進(jìn)一步理解和掌握直線與圓的位置關(guān)系． 生：互相討論、交流，完成練習(xí)題． 10．課堂小結(jié)： 教師提出下列問(wèn)題讓學(xué)生思考： （ 1）通過(guò)直線與圓的位置關(guān)系的判斷，你學(xué)到了什么？ （ 2）判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾種方法？它們的特點(diǎn)是什么？ （ 3）如何求出直線與圓的相交弦長(zhǎng)？ 作業(yè)：習(xí)題 4． 2A 組： 3． 五 、 教后反思： 37 第十二課時(shí) 圓與圓的位置關(guān)系 一、 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 ： （ 1）理解圓與圓的位置的種類；（ 2）利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求兩圓的連心線長(zhǎng)；（ 3）會(huì)用連心線長(zhǎng)判斷兩圓的位置關(guān)系。 過(guò)程與方法 ： 設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為 l ，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（ 1）當(dāng)21 rrl ?? 時(shí)，圓 1C 與圓 2C 相離；（ 2）當(dāng) 21 rrl ?? 時(shí)，圓 1C 與圓 2C 外切；（ 3）當(dāng) ?? || 21 rr 21 rrl ??時(shí)，圓 1C 與圓 2C 相交；（ 4）當(dāng) || 21 rrl ?? 時(shí)，圓 1C 與圓 2C 內(nèi)切；（ 5）當(dāng) || 21 rrl ?? 時(shí)，圓 1C 與圓 2C 內(nèi)含 。 情態(tài)與價(jià)值觀 ： 讓學(xué)生通 過(guò)觀察圖形，理解并掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)與難點(diǎn)：用坐標(biāo)法判斷圓與圓的位置關(guān)系． 三、教學(xué)方法： 學(xué)導(dǎo)式 四、教學(xué)過(guò)程 問(wèn) 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 1．初中學(xué)過(guò)的平面幾何中，圓與圓的 位置關(guān)系有幾類？ 結(jié)合學(xué)生已有知識(shí)以驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣． 教師引導(dǎo)學(xué)生回憶、舉例，并對(duì)學(xué)生活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)；學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可互相交流． 2．判斷兩圓的位置關(guān)系，你有什么好的方法嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生明確兩圓的位置關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)判斷和解決兩圓的位置 教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書(shū)中的相關(guān)內(nèi)容，注意個(gè)別輔導(dǎo)，解答學(xué)生疑難，并引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)解題的方法． 問(wèn) 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 關(guān)系的方法． 學(xué)生觀察圖形并思考，發(fā)表自己的解題方法． 3．例 3 你能根據(jù)題目，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)方程所表 示的培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)． 教師應(yīng)該關(guān)注并發(fā)現(xiàn)有多少學(xué)生利用“圖形”求，對(duì)這些學(xué)生應(yīng)該給予表?yè)P(yáng)．同時(shí)強(qiáng)調(diào)，解析幾何 38 圓嗎？你從中發(fā)現(xiàn)了什么？ 是一門(mén)數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科． 4．根據(jù)你所畫(huà)出的圖形，可以直觀判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系．如何把這些直觀的事實(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？ 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力． 利用判別式來(lái)探求兩圓的位置關(guān)系． 師：?jiǎn)l(fā)學(xué)生利用圖形的特征，用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題． 生：觀察圖形，并通過(guò)思考，指出兩圓的交點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的方程聯(lián)立方程組后是否有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而利用判別式求解． 5．從上面你所畫(huà)出的圖形，你能發(fā)現(xiàn)解決兩個(gè)圓的位置的其它方法嗎？ 進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探求新知的精神，培養(yǎng)學(xué)生 師：指導(dǎo)學(xué)生利用兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)、連心線長(zhǎng)的關(guān)系來(lái)判別兩個(gè)圓的位置． 生：互相探討、交流，尋找解決問(wèn)題的方法，并能通過(guò)圖形的直觀性，利用平面直角坐標(biāo)系的兩點(diǎn)間距離公式尋求解題的途徑． 6．如何判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系呢？ 從具體到一般地總結(jié)判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系的一般方法． 師：對(duì)于兩個(gè)圓的方程，我們應(yīng)當(dāng)如何判斷它們的位置關(guān)系呢？ 引導(dǎo)學(xué)生討論、交流，說(shuō)出各自的想法，并進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)，補(bǔ)充完善判 斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系的方法． 7．閱讀例 3 的兩種解法，解決第 137頁(yè)的練習(xí)題． 鞏固方法，并培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力． 師：指導(dǎo)學(xué)生完成練習(xí)題． 生：閱讀教科書(shū)的例 3，并完成第137頁(yè)的練習(xí)題． 問(wèn) 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 8．若將兩個(gè)圓的方程相減，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 得出兩個(gè)圓的相交弦所在直線的方程． 師：引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生相交弦所在直線的方程的求法． 生：通過(guò)判斷、分析，得出相交弦所在直線的方程． 9．兩個(gè)圓的位置關(guān)系是否可 進(jìn)一步驗(yàn)證 師：引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證結(jié)論． 39 以轉(zhuǎn)化