烏魯木齊高級中學培訓題-資料下載頁
2025-01-10 13:48本頁面
【正文】 ?，而 674 與 277 均不是完全立方數(shù) , 所以 2n? 不可能是 n 的最小值 . 若 3n? ，設此三個正方體中最 大一個的棱長為 x , 由 32 8320223 ???x , 知 最大的正方體棱長只能為 9 、 11 或 12. 由于 3932022 ?? , 547922022 3 ??? , 08292 0 0 5 33 ???? , 所以 9x? . 由于 51022022 3 ??? , 3320 05 10 9 27 6? ? ?, 3320 05 10 8 49 3? ? ?, 072102 0 0 5 33 ???? , 所以 10x? . 由于 3320 05 11 8 16 2? ? ?, 3320 05 11 7 33 1? ? ?, 062112 0 0 5 33 ???? , 所以 11x? . 由于 3320 05 12 6 61? ? ?, 3 3 32022 12 5 152 5? ? ? ?, 所以 12x? . 因此 3n? 不可能是 n 的最小值 .綜上所述， 4n? 才是 n 的最小值 . 1 證明：在 BCN? 中，由 Menelaus 定理得 1BM N A C DM N AC D B? ? ?． 因為 BD DC? ，所以 BM ACMN AN? ． ……………… 6 分 由 ABN AC B? ? ? ，知 ABN? ∽ ACB? ，則 AB AC CBAN AB BN??． 所以， 2A B A C C BA N A B B N????????， 即 2??????? BNBCANAC． 因此， 2??????? BNBCMNBM． 又 BCBN ?? ， 故 2BMMN ?? ． 1 解 ： 若 nm? ，則 1??nm ，若 nm? ，由 122 ???? mmnn 222 1 mmnmn ???? ，得 mn? . ABCDNM烏魯木齊市高級中學 楊帆 因為 222 )( mmnn ?? ? ?222 )()( mmnmmn ????? ? ?222 )()( mnmnmm ????? ， 于 是，若 ),( nm 滿足條件；則 ),( mmn? 也滿足條件 .由于 mn? ，可從 ),( mn 出發(fā)，并降得到（ 1， 1），反之亦成立，即由（ 1， 1）出發(fā)，利用 ),(),( nmmmn ?? 可得到滿足}1981,2,1{, ??nm 的全部解 .即 （ 1,1）→（ 1， 2）→（ 2， 3）→（ 3， 5）→（ 5， 8）→（ 8， 13）→（ 13， 21）→（ 21， 34）→（ 34， 55）→（ 55， 89）→（ 89， 144）→（ 144， 233）→（ 233， 377）→（ 377，610）→（ 987， 1597）因此，所求 22 nm? 的最大值為 9872+15972=3524578
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