【正文】 抽 象 成 關 于 的 二 次 函 數(shù) S=f() 函 數(shù) 的 特 點 :無 常 數(shù) 項 即 過 原 點 ()二 次 項 系 數(shù) 為 如 =3, d4 3開 口 方 向 由 決 定如 :判 斷 下 列 哪 些 可 以 做 為 等 差 數(shù) 列 的 前 項 和 ? (1) (2)2nS??3nS??(3) (4)231?2?分析：（1） 2,(4)nnSa??（2） 3,12()3()nnaa???LL ??若 （常數(shù)列） ，則nnSa??（3）常數(shù)項≠0（4） 2(2)nnS?????　 　 　重要公式及性質（1）通項 na，當 時成立mkt??mnkt??注意：(1)等式兩邊項的個數(shù)要相同。 (2)等式兩邊各項的角標之和要相同。 例： 139aa上述結論也可以推廣到到多個的情況，例： 2812471aa???要記?。?1239a??例 等差數(shù)列 中，已知 求 和??n231064,aa??67a?12S解: 6721310aa??所以 674華章 MBA——助推中國 MBA 的輝煌 華章 MBA 培訓中心 報名地址：北大資源西樓 2215 室（北大南門外東側 50 米） 01062769131/32 29 671212 67()()()192aaSa????例 已知 為等差數(shù)列， ， ，則 為（ ）??n143253??36a?（A）30 （B）27 （C）24 （D）36 （E）以上都不對解： 25142154()()()()aaa????? 393dd???3625()()6則 7a???（2）前 n 項和性質為等差數(shù)列前 n 項和，則 仍為等差數(shù)列01S232,nnnSS?L例 若 求 為（ ）5103,?15 （A）260 （B）270 （C）270 （D）280 （E）以上都不對解： 成等差數(shù)列510510,SS?52()???15033270?等差數(shù)列 和 的前 n 項和分別用 和 表示，則02??nabnST21kaSbT??分析：1212 21()kkk kabb?? ?????例 為等差數(shù)列前 n 項和，能確定 的值為 （ ）,nST1a451（1） （2）123,ab?(72)4nST???解：條件(1)只給出了等差數(shù)列的首項表達，顯然不能支持題干。由條件(2)的表達式，有 ，這與題干相符。1271454aSbT?????所以選（B）例 一個等差數(shù)列的首項為 21，公差為 當 取何值時，前 n 項和為最大？3,n解：因為公差 所以該等差數(shù)列為遞減數(shù)列d30,???由不等式組 n+1a24??????得到 ，所以當 或 時前 n 項和為最大。78?7?8華章 MBA——助推中國 MBA 的輝煌 華章 MBA 培訓中心 報名地址：北大資源西樓 2215 室（北大南門外東側 50 米） 01062769131/32 30第三節(jié) 等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公比，用字母 表示。即q數(shù)列 是等比數(shù)列 （常數(shù)）??nan+1a/??注意：等比數(shù)列中任一個元素都不為 0通項： 1nnkq???等比中項：如果 成等比數(shù)列，則 叫做 的等差中項，且a,GbGa,b2Gab?前 n 項和公式： 11()nnqSq?? 對于無窮等比遞縮 數(shù)列，所有項和為(,0)??1aSq??11)limli,1,lim0n nnaaSqq?? ??????因 為 當 則等比數(shù)列性質1）通項性質： mnktkta???當 時 ,則注意：(1)等式兩邊項的個數(shù)要相同。 (2)等式兩邊各項的角標之和要相同。 例： 281247161aa?????2) 為等比數(shù)列前 n 項和，則 仍為等比數(shù)列nS232,nnnSS?L例 一個無窮等比數(shù)列所有奇數(shù)項之和為 45，所有偶數(shù)項之和為30，則其首項等于（ ）（A）24 （B）25 （C）26 （D）27 （E）28解：設首項為 公比為 ，則奇數(shù)項組成的數(shù)列首項為 公比為 ，偶數(shù)項組成的數(shù)列首項為 ，1a,q1a,2q1aq公比為 ，故有2q 1122a45,30q?? 兩式相除得 ，代回求得 ，故選（B）1a25?例 等差數(shù)列 中， 公差 且 依次是某等比數(shù)列的前三項，則這個等比數(shù)列??na,0,d?346,a的第四項是（ ） 。華章 MBA——助推中國 MBA 的輝煌 華章 MBA 培訓中心 報名地址：北大資源西樓 2215 室（北大南門外東側 50 米） 01062769131/32 31 （A） （B） （C） （D） （E）不能確定8?6?810解：因為 34612,3,15adad????由于 依次是某等比數(shù)列的前三項，即46, 2(2)5(13)1dd?????從而 ，所以該等比數(shù)列的第四項為 ，故選（A）36,??8?例 條件充分性判斷222()()0acxabxcbab???方 程 有 實 根 。 1， ， 成 等 比 數(shù) 列 ()， ， 成 等 比 數(shù) 列解：方程有實根的充要條件是判別式 22220,4()4()cbc???????　 　 又 可 求。2 24()0, 0,abc abc???????若 題 目 成 立 則 定 有 所 以 成 等 比 數(shù) 列答案是：B例 實數(shù) 成等比數(shù)列,（1）關于 的一元二次方程 有兩相等實根x2axbc0???（2） 成等差數(shù)列l(wèi)ga,blc解：由條件（1） ，關于 的一元二次方程 有兩相等實根，得2axc且 ，即a0,?2()4ac0???,b??此等式當 時也成立，但若 時，則 不能組成等比數(shù)列bc0a,c所以條件（1）單獨不充分由條件（2）可知 有意義，所以lga,lc,b?又 成等差數(shù)列可得l,b 22lg=a+lcglac??所以 ，且 均不為零，從而條件（2）單獨充分。2ac?,故應選（B）特殊數(shù)列1） 、差分求和法求1,()na??nS12SaL 134()????華章 MBA——助推中國 MBA 的輝煌 華章 MBA 培訓中心 報名地址：北大資源西樓 2215 室（北大南門外東側 50 米） 01062769131/32 32 1111()()()()234nn????????L2） 、即成等差又成等比的數(shù)列：非零的常數(shù)列例 已知 a、b、c 既成等差又成等比，設 是方程 的兩根，且 ，則,??20axbc??????33??? （A） （B） （C） （D） （E）以上都不對515356解：a=b=c≠0 非零常數(shù)方程化為： 20x???????332()()(1)()?????????????22()45,5,5即 所 以 原 式課后練習一、選擇題若數(shù)列 的前 n 項和 則它的通項公式是 {}na,24???nSn （ 　 　 ）（A） 　　　　　　 （B）38??85a?（C） 　?。―） ?。€????)2(1nan ??????)2(13nn（E）A、B、C、D 都不正確已知 是等差數(shù)列， 等于 {}na 963852741 ,9aaa???則 （ 　 　 ）（A）30　　（B）27　?。–）24　?。―）21　?。‥）20在等比數(shù)列 中，已知??n 2336,4,SnnnS　 　 則 等 于 （ 　 　 ）（A）63　　?。˙）68　?。–）76　?。―）89　?。‥）92設 中 G 分別等于和 等 比的 等 差 中 項與的 兩 根 ， 則是 方 程　 A028, ??axa?? （ 　 　 ）（A）A＝14，G＝6　　　　　　 （B）A＝－14，G＝ 6?（C）A＝14，G＝36　　　　　　（D）A＝－14，G＝ 3（E）A、B、C、D 都不正確在等差數(shù)列中，已知 等 于　 則 1487S,2??a（ 　 　 ）（A）132　　　（B）144　?。–）147　　（D）154　?。‥）157在－12 和 6 之間插入 n 個數(shù)，使這 n+12 個數(shù)組成和為－21 的等差數(shù)列，則 n 為 （ 　 　 ）（A）4　　（B）5　?。–）6　　（D）7　?。‥）8若 是等比數(shù)列，下面四個命題中??na華章 MBA——助推中國 MBA 的輝煌 華章 MBA 培訓中心 報名地址：北大資源西樓 2215 室（北大南門外東側 50 米） 01062769131/32 33①數(shù)列 也是等比數(shù)列??2na②數(shù)列 也是等比數(shù)列2③數(shù)列 也是等比數(shù)列??????na1④數(shù)列 也是等比數(shù)列??正確命題的個數(shù)是 （ 　 　 ）（A）1 個　?。˙）2 個　?。–）3 個　?。―）4 個　?。‥）0 個212 1428,.,., ))BCmnayxbyab?1 2如 果 數(shù) 列 x和 數(shù) 列 都 是 等 差 數(shù) 列 ， 則 （ a與 （的 比 值 為 （ 　 　 ）n+++ （ ） 　 　 （ ） 　 　 （ ） 　 　 （ ） 　 　()m(E)A、 、 、 都 不 正 確、 ??5 395CDEaa?n151等 比 數(shù) 列 中 的 ＝ 34， =0,那 么 等 于 　 （ 　 ） （ ） 　 　 　 （ ） － 　 　 （ ） － 8　 　 （ ） 　 　 （ ） 0 2n10 38已 知 等 差 數(shù) 列 中 的 與 是 方 程 x=0的 兩 個 根 ， 那 么 a+等 于 （ 　 　 ）（ A） 3　 　 （ B） 　 　 　 （ ） － 　 　 （ ） － 4　 　 （ ） － 或 ????nn2nn數(shù) 列 a前 項 和 s滿 足 log(S),則 a是 （ 　 　 ）（ ） 等 差 數(shù) 列 　 　 　 （ B） 等 比 數(shù) 列 　 　 ?。?C） 既 是 等 差 數(shù) 列 又 是 等 比 數(shù) 列 （ D） 既 非 等 差 數(shù) 列 亦 非 等 比 數(shù) 列、2nn 12310已 知 數(shù) 列 的 前 項 和 是 的 二 次 函 數(shù) ， 且 它 的 前 三 項 a=,6,則 a等 于 （ 　 　 ）（ A） 39　 　 （ B） 394　 　 （ C） 395　 　 （ ） 396　 　 （ E） 40 ??n n在 等 數(shù) 列 a中 ， =,　 　 a,則 滿 足 S的 所 有 的 值 為 （ 　 　 ）（ ） 4或 　 　 （ ） 　 　 （ ） 　 　 　 （ D） 或 8　 　 （ ）、 n n 2n1為 各 項 均 為 正 數(shù) 的 等 比 數(shù) 列 ， =0,前 項 中 數(shù) 值 最 大 的 項 為 54， S=60,則 此 數(shù)列 的 和 公 比 q的 乘 積 為 （ 　 　 ）（ A） 2　 　 （ B） 6　 　 （ C） 4　 　 （ ） 3　 　 （ E） ??5n1210n98nn在 等 差 數(shù) 列 a中 ， 已 知 +,a+.aq,則 該 數(shù) 列 的 前 項 和S等 于 （ 　 　 ）（ ） (p+q)　 　 　 （ ） (pq)　 　 　 （ ） (q)1283 D)　 　 　 （ E） +4華章 MBA——助推中國 MBA 的輝煌 華章 MBA 培訓中心 報名地址：北大資源西樓 2215 室（北大南門外東側 50 米） 01062769131/32 34二、解答題 ??6n一 個 首 項 為 正 數(shù) 的 等 差 數(shù) 列 a,如 果 它 的 前 3項 之 和 與 前 1項 之 和 相 等 ， 問 這 個 數(shù) 列 的 前 多 少項 之 和 最 大 ？7求 下 列 各 數(shù) 列 的 前 項 和 ：11 ()數(shù) 列 ,3， 5,7， .248 (),1345???數(shù) 列 ??????n(3)數(shù) 列 a=+三、條件充分性判斷 ????182nn數(shù) 列 lga是 等 差 數(shù) 列 0(∈ N)成 等 比 數(shù) 列、 ??192b等 式 =成 立ca、 、 互 不 相 等 ， 且 它 們 的 倒 數(shù) 成 等 差 數(shù) 列、 、 互 不 相 等 ， 且 它 們 兩 兩 之 積 ab,c成 等 差 數(shù) 列、 ????012332310n562有 log+=成 立 在 等 比 數(shù) 列 中 ， a9在 等 比 數(shù) 列 中 ， ??12abc數(shù) 列 a、 b、 c是 等 差 數(shù) 列 不 是 等 比 數(shù) 列 、 、 滿 足 關 系 式 =3,　 ,　 2=1=成 立、 ??12+c6 a、 b、 成 等 比 數(shù) 列 ， 且 a、 b+4,