【正文】 個正三角形、 n 個正方形和 c 個正六邊形的內角可以拼成一個周角 ． 根據題意，可得方程： 6 0 9 0 1 2 0 3 6 0m n c? ? ?，整理得： 2 3 4 12m n c? ? ? ，可以找到唯一一組適合方程的正整數(shù)解為 121mnc????????． 結論 3：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著 1個正三角形、 2 個正方形和 1個正六邊形的內角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌 ． 練一練 1． 鋪滿 n 組時，所用瓷磚總數(shù)為 ? ? ? ?1 6 1 6 2 6 1 1 3 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 當 26n? 時，? ?1 3 1 19 51 20 05nn? ? ? ?，當 27n? 時， ? ?1 3 1 21 07 20 05nn? ? ?? ，故最多能完整地鋪滿 26 組，還剩2022 1951 54??（塊）瓷磚 ． 2． 660 ； 600 ； 266nn? 3． B 4． C 由 ? ?2 180 135nn?? ?，得 8n? ． 5． （ 1） 108? ； 120? ； ? ?2 180nn? ? ? （ 2）正三角形、正四邊形（或正方形）、正六邊形 ． 假定在接合處一共有 k 塊正 n 邊形地磚 ． 由于正 n 邊形的所有內角都相等，則 ? ?2 180 360nkn????，即24222nk nn? ? ???，因 k 為整數(shù)，故 2|4n? ， 21n??， 2 ， 4 ，得 3n? ， 4 或 6 ，由此可見，只有三種正多邊形的瓷磚，可以按要求鋪地，即正三角形、正方形和正六邊形 ． （ 3）如：正方形和正八邊形，設在一個頂點周圍有 m 個正方形的角， n 個正八邊形的角，那么， m ，n 應是方程 9 0 1 3 5 3 6 0mn? ? ? ? ? ? ?的整數(shù)解，即 2 3 8mn??的整數(shù)解 ． ∵ 這個方程的整數(shù)解只有 12mn????? 一組， ∴ 符合條件的圖形只有一種 ． 三角形三邊關系（微探究） 例 1 設長度為 4 和 12的高分別是邊 a 、 b 上的，邊 c 上的高為 h ， ABC△ 的面積為 S ，則 2 4 Sa ? ， 212Sb? ，2Sc h? ，由 2 2 2 2 24 1 2 4 1 2S S S S Sh? ? ? ?，得 36h??，又 h 為整數(shù)且 ABC△ 為不等邊三角形，故 5h? ． 例 2 A分 1a? ， 2 ，?， 7 情形討論，又 a b c?? ，列表如下： a b c 1 7 不存在 2 7 8 3 7 8 ， 9 4 7 8 ， 9 ， 10 5 7 8 ， 9 ， 10， 11 6 7 8 ， 9 ， 10， 11， 12 7 7 8 ， 9 ， 10， 11， 12， 13 例 3 （ 1） +AB PA PB? ， BC PB PC??， AC PC PA??，相加得： ? ?2A B B C CA P A P B P C? ? ? ? ?． （ 2）如圖，延長 BP 交 AC 于 D ． 在 ABD△ 中， AB AD BD BP PD? ? ? ?①， 在 PDC△ 中， PD DC PC??②， ① +②，得 AB AD PD DC BP PD PC? ? ? ? ? ? 即 AB AC PB PC? ? ?，同理 AB BC PA PC? ? ?， AC BC PA PB? ? ?． 相加得 : ? ? ? ?22A B A C B C P A P B P C? ? ? ? ?，故 AB AC BC PA PB PC? ? ? ? ?． 例 4 這些小段的長度只可能分別是 1， 1， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ，?但1 1 2 3 4 5 5 1 4 3 1 5 0? ? ? ? ? ? ?， 1 1 2 3 4 5 5 8 9 2 3 2 1 5 0? ? ? ? ? ? ? ?． 故 n 的最大值為 10，共有以下 7種方式： ? ?1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 62； ? ?1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 35 , 61；? ?1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 36 , 60； ? ?1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 37 , 59；? ?1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 22 , 35 , 60； ? ?1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 22 , 36 , 59；? ?1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 14 , 22 , 36 , 58． 練一練 1． 2 2． 等腰 3． 7 PA PB AB? ≤ ，當 A 、 B 、 P 在一條直線上時，等號成立 ． 4． 2 等腰 最長邊介于周長的 13 和 12 之間，故最長邊可取整數(shù) 1 1 9 ，又三邊長都是質數(shù)，則最長邊為 11，另兩邊的和為 14． 其中符合條件的有 11 11 3 25? ? ? ， 7 7 11 25? ? ? ． 5． B 6． D 7． B 只有當 2 2a? ， 3 1 2 3a a a? ? ? ， 4 2 3 5a a a? ? ? ， 5 3 4 8a a a? ? ? ， 6 4 5 13a a a? ? ? 時， 7 條線段中的任意三條都不能構成三角形 ． 8． B 設第三條高線的長為 h ，可得 204 3h?? ． 9． （ 1）不能搭成三角形 （ 2） 2 ， 3 ， 3 能搭成一個等腰三角形； 2 ， 5 ， 5 ； 3 ， 4 ， 5 ； 4 ， 4 ， 4 各能搭成一個三角形，并且這個三角形分別是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形，圖略 ． 10． 因所有線段的和為 45 ，故最大的等邊三角形邊長為 15． 依據邊長列表如下： 邊長 a b c 從表中可以看出，符合條件的三角形邊長最短為 5 ，最長為15，都能找到適合的線段組合 ． 故能夠圍成的周長不同的等邊三角形共有 11種 ． 15 9 ， 6 7 ， 8 1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 14 9 ， 5 8 ， 6 3 ， 4 ， 7 13 9 ， 4 8 ， 3 6 ， 7 12 9 ， 3 4 ， 8 5 ， 7 11 9 ， 2 3 ， 8 4 ， 7 10 9 ， 1 2 ， 8 3 ， 7 9 9 2 ， 7 3 ， 6 8 8 2 ， 6 5 ， 3 7 7 3 ， 4 2 ， 5 6 6 1， 5 2 ， 4 5 5 1， 4 2 ， 3 PDCBA11． 不妨設 abc??，則由 30a b ca b c? ? ??? ???得 10 15c?? ． 因 c 為整數(shù)，故 11c? ， 12， 13， 14． 當 11c?時， 10b? ， 9a? ；當 12c? 時， 11b? ， 7a? 或 10b? ， 8a? ；當 13c? 時， 12b? ， 5a? 或 11b? ，6a? 或 10b? ， 7a? 或 9b? ， 8a? ；當 14c? 時， 13b? ， 3a? 或 12b? ， 4a? 或 11b? ， 5a? 或 10b? ， 6a? 或 9b? ， 7a? ．