【微積分二】期末復(fù)習(xí)寶典及補(bǔ)充試題-資料下載頁
2025-01-10 00:38本頁面
【正文】 斂。 當(dāng) 11 3x?? 時(shí)，級(jí)數(shù)化為： 1 1 13 ( 2 ) 1 1 ( 1 ) 2()33n n n nnn n nn n n? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? xya2DO ?2 cosr ??x yz2aO 12 因上式右端中第一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散，第二個(gè)級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 由不等式 11133x? ? ? ? ，得 42133x? ? ? ? ?， 級(jí)數(shù) 1 3 ( 2 ) ( 1)nn nn xn???? ?? 的收斂域是42[ , )33??，收斂半徑 R=13 。 8. 解：這是缺項(xiàng)的冪函數(shù)，由于 441 () 41l im l im( ) 4 5nnnnux n xxu x n?? ? ? ? ????，因此 當(dāng) x 1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng) x 1時(shí) ,級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ?1， 1）。 令 s(x)= 411 41nnxn??? ??， s(0)=0， 又 441 139。( ) 1 1nns x x x??? ? ? ? ??， 故0 1 1 1( ) ( ) ( 0 ) 39。( ) l n a r c ta n4 1 2x xs x s x s s t d t x xx?? ? ? ? ? ? ???，（－ 1x1） 9. 解： 設(shè)22( ) ,1nnxSx n??? ??( 1,1),x?? 則 21 1 1() 2 1 1 nnS x xnn????????????? 1221nnxxn ???? ??12121nnxxn???? ?? ( 0)x? 12nnxxn??? ? 312 nnxxn??? ? 2111( ) ( )2 2 2 2nnx x xS x xx n x????? ? ? ????? ? 而 1nnxn???11 0 dx nn xx? ???? ? ? ?110 dx nn xx? ??? ?? 0d1x xx?? ln(1 )x?? ?212( ) ln ( 1 )24xxS x xx??? ? ? ? ( 0)x? ( ) 0sx? 0x? 13 10. 答： 10 102106! 11. 解 ： x?11 =2 11121 ?? x= ? ????0 21121n nnn x )()( 21??x 12. 解：令0()nnnf x a x????，只要求出系數(shù) na 即可 將0()nnnf x a x????代入方程，再積分 20 1x nxnx n a x dx e?? ????， 左式在其收斂范圍內(nèi)，交換積分與和號(hào)順序，右式展開： 2 1001( 1 ) !x nnnxnna x d x xn?? ???? ???? 11 100( 2 ) 11 ( 1 ) !nn nnnnxxax???? ???? ???，兩邊同冪次系數(shù)應(yīng)相等， 1( 2 ) 1 11 ( 1 ) !nna nn? ? ???， 11!(2 1)n na n ?? ? 即 ??? ? ?? 0 1 )12(!)( n nnn xxf ， ),( ???? 13. 證明（ 1） 0?na ， 111)1(1|11)1(1)(1 4014022 ??????????? ?? ? nnnnn xtgndxxtgxtgnaanu nnnnn ?? ?nS ?? ???????nk nnnkk1 1111)111( ,所以 1lim ??? nn S （ 2） ?? ?40?xdxtga nn 11)1(402 ???? ndxxtgxtg n? ，11)1( 1 ???? ??? nnnna n， 又 11??? ，所以 ??? ?1 11n n?收斂，從而 ???1nnna? 收斂。 14 五、微分方 程 1. 21 yy? 2. 1 1 2 2 1 2 3( 1 ) .C y C y C C y? ? ? ? 3. 原方程通解為 212( e ) ( e )xxy C x C x x? ? ? ? ?代入初始條件 121 , 2CC? ? ?得 故所求特解為 22e e .xxy ?? 4. 2 3 0y y y?? ?? ? ? 5. 解：方程變形 3d3d xyxy y x? ? ? （伯努利方程 n=1） 令 2zx? 3d6 2d z zyyy? ? ? 由一階線性方程 通解公式 , 得 66dd3[ 2 ]yyz e c y e d y????? ? 6 ln ln3[ 2 ]yye c y e dy???? 64y c y?? 2 6 4x y c y? ? ? 為通解。 6. 解： 2d ( ln )d yy a x yxx?? （伯努利方程 n=2） 令 1,zy?? d lnd zz axxx? ? ? 其通解為 11 dde [ ( ln ) ]xx xxz a x e d x c? ??? ? ?? ? ?2( ln )2ax C x?? 將 1zy?? 代入 , 得原方程通解 : ? ?2( ln ) 12ay x C x??
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