【正文】 時(shí)從生產(chǎn)線中隨機(jī)地抽選 塊試驗(yàn)肥皂作為樣本，并測(cè)量其堿的數(shù)量，不同時(shí)間的樣本含堿量的均值 x描繪在下圖中。假設(shè)這個(gè)過(guò)程是在統(tǒng)計(jì)控制中的，則 x的分布將具有過(guò)程的均值 ，標(biāo)準(zhǔn)差具有過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的平方根， 。下面的控制圖中水平線表示過(guò)程均值，兩條線稱為控制極限度，位于的上下 的位置。假如 x落在界限的外面，則有充分的理由說(shuō)明目前存在變化的特殊原因，這個(gè)過(guò)程一定是失控的。 當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程是在統(tǒng)計(jì)控制中時(shí)，肥皂試驗(yàn)樣本中堿的百分比將服從 和 的近似的正態(tài) 分布。 ⑴ 假設(shè) 則上下控制極限應(yīng)距離 多么遠(yuǎn)？ ⑵ 假如這個(gè)過(guò)程是在控制中，則落在控制極限之外的概率是多少？ ⑶ 假設(shè)抽取樣本之前，過(guò)程均值移動(dòng)到 ，則由樣本得出這個(gè)過(guò)程失控的（正 確的）結(jié)論的概率是多少？ 解： a. b. c. . 參考練習(xí) 。肥皂公司決定設(shè)置比練習(xí) 中所述的 這一限度更為嚴(yán)格的控制 極限。特別地，當(dāng)加工過(guò)程在控制中時(shí)，公司愿意接受落在控制極限外面的概率是 。 ⑴ 若公司仍想將控制極限 度設(shè)在與均值的上下距離相等之處，并且仍計(jì)劃在每小時(shí)的 樣本中使用 個(gè)觀察值，則控制極限應(yīng)該設(shè)定在哪里？ 現(xiàn)在是 3%⑵ 假設(shè) a部分中的控制極限已付諸實(shí)施，但是公司不知道，（而不是 2%）。 若 ，則落在控制極限外面的概率是多少？若 呢？ 解： a. (, ) b. , . 參考練習(xí) 。為了改進(jìn)控制圖的敏感性，有時(shí)將警戒線與控制極限一起畫在圖上。 警戒限一般被設(shè)定為 。假如有兩個(gè)連續(xù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)落在警戒限之外 ，則這個(gè)過(guò)程一定是失控的（蒙哥馬利， 1991年）。 ⑴ 假設(shè)肥皂加工過(guò)程是在控制中（即，它遵循 和 的正態(tài)分布），則的下一個(gè)值落在警戒限之外的概率是什么？ ⑵ 假設(shè)肥皂加工過(guò)程是在控制中，則你預(yù)料到畫在控制圖上的的這 40個(gè)值中有多 少個(gè)點(diǎn)落在上控制極限以上？ ⑶ 假設(shè)肥皂加工過(guò)程是在控制中，則的兩個(gè)未來(lái)數(shù)值落在下警戒線以下的概率是多 少？ 解： a. b. 1 c. 第 5章 參數(shù)估計(jì) ●1. 從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為 5的總體中抽出一個(gè)容量為 40的樣 本，樣本均值為 25。 （ 1） 樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差 σ等于多少？ （ 2） 在 95%的置信水平下，允許誤差是多少？ 解：已知總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ=5，樣本容量 n=40，為大樣本，樣本均值 x=25， （ 1）樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差 σ 5= （ 2）已知置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 于是，允許誤差是 E =Zα/26=。 ●，在為期 3周的時(shí)間里選取 49名顧 客組成了一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 （ 3） 假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為 15元，求樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差； （ 4） 在 95%的置信水平下，求允許誤差； （ 5） 如果樣本均值為 120元，求總體均值 95%的置信區(qū)間。 解：（ 1）已假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為 σ=15元， 則樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 σ 15= （ 2）已知置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 于是，允許誤差是 E =Zα/26=。 （ 3）已知樣本均值為 x=120元，置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 這時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 可知，如果樣本均值為 120元，總體均值 95%的置信區(qū)間為（ ， ）元。 ●，在全校 7500名學(xué)生中采取不重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取 36人，調(diào)查他們每天上網(wǎng)的時(shí)間，得到下面的數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）： 求該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間，置信水平分別為 90%、 95%和 99%。 解： ⑴ 計(jì)算樣本均值 x：將上表數(shù)據(jù)復(fù)制到 Excel表中，并整理成一列，點(diǎn)擊最后數(shù)據(jù)下面空格，選擇自動(dòng)求平均值，回車，得到 x=， ⑵ 計(jì)算樣本方差 s：刪除 Excel 表中的平均值，點(diǎn)擊自動(dòng)求值 → 其它函數(shù) →STDEV→ 選定計(jì)算數(shù)據(jù)列 → 確定 → 確定，得到 s= 也可以利用 Excel進(jìn)行列表計(jì)算：選定整理成一列的第一行數(shù)據(jù)的鄰列的單元格，輸入 “＝()”，回車，即得到各數(shù)據(jù)的離差平方，在最下行求總和，得到： （ xx） i 再對(duì)總和除以 n1=35后，求平方根，即為樣本方差的值 。 ⑶ 計(jì)算樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差： 已知樣本容量 n=36，為大樣本， 得樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 σ s ⑷ 分別按三個(gè)置信水平計(jì)算總體 均值的置信區(qū)間： ① 置信水平為 90%時(shí)： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=90%，通過(guò) 2β－ 1= 布的置信水平 β=，查單側(cè)正態(tài)分布表得 Zα/2=， 計(jì)算得此時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 可知，當(dāng)置信水平為 90%時(shí)，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間為（ ， ）小時(shí)； ② 置信水平為 95%時(shí)： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 計(jì)算得此時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 可知，當(dāng)置信水平為 95%時(shí)，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間為（ ， ）小時(shí)； ③ 置信水平為 99%時(shí)： 若雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=99%，通過(guò) 2β－ 1= 分布的置信水平 β=，查單側(cè)正態(tài)分布表得 Zα/2=， 計(jì)算得此時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 = 可知，當(dāng)置信水平為 99%時(shí)，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間為（ ， ）小時(shí)。 4. 從一個(gè)正態(tài)總體中隨機(jī)抽取容量為 8 的樣本，各樣本值分別為： 10,8,12,15,6,13,5,11。求總體均值 95%的置信區(qū)間。 解：（ ,）。 ，抽取了由 16 個(gè)人組成的一個(gè)隨機(jī)樣本，他們到單位的距離（公里）分別是： 10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求職工上班從家里到單位平均距離 95%的置信區(qū)間。 解：（ ,）。 ●6. 在一項(xiàng)家電市場(chǎng)調(diào)查中，隨機(jī)抽取了 200個(gè)居民戶，調(diào)查他們是否擁有某一品牌的電視機(jī)。其中擁有該品牌電視機(jī)的家庭占 23%。求總體比率的置信區(qū)間，置信水平分別為 90%和 95%。 解：已知樣本容量 n =200，為大樣本，擁有該品牌電視機(jī)的家庭比率 p =23%， 擁有該品牌電視機(jī)的家庭比率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 σ p ⑴ 雙側(cè)置信水平為 90%時(shí)，通過(guò) 2β－ 1= 換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平 β=，查單側(cè)正態(tài)分布表得 Zα/2=， 此時(shí)的置信區(qū)間為 可知，當(dāng)置信水平為 90%時(shí)，擁有該品牌電視機(jī)的家庭總體比率的置信區(qū)間為（ %， %）。 ⑵ 雙側(cè)置信水平為 95%時(shí)，得 Zα/2=， 此時(shí)的置信區(qū)間為 可知，當(dāng)置信水平為 95%時(shí)，擁有該品牌電視機(jī)的家庭總體比率的置信區(qū)間為 ；（ %， %）。 ● 500 戶，小區(qū)管理者準(zhǔn)備采取一項(xiàng)新的供水設(shè)施，想了解居民是否贊成。采取重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取了 50戶，其中有 32戶贊成， 18戶反對(duì)。 （ 1）求總體中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間，置信水平為 95%； （ 2）如果小區(qū)管理者預(yù)計(jì)贊成的比率能達(dá)到 80%，應(yīng)抽取多少戶進(jìn)行調(diào)查？ 解： 已知總體單位數(shù) N=500，重復(fù)抽樣，樣本容量 n =50，為大樣本， 樣本中，贊成的人數(shù)為 n1=32，得到贊成的比率為 p = n132==64% n50 （ 1）贊成比率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 =% 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平 1－ α=95%，得 Zα/2=， 計(jì)算得此時(shí)總體戶數(shù)中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間為 可知，置信水平為 95%時(shí)，總體中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間為（ %,%）。 （ 2）如預(yù)計(jì)贊成的比率能達(dá)到 80%，即 p=80%， 由 取整為 35， (%)2 得樣本容量為 n = 即可得，如果小區(qū)管理者預(yù)計(jì)贊成的比率能達(dá)到 80%，應(yīng)抽取 35戶進(jìn)行調(diào)查。 ，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下表： 來(lái)自總體 1的樣本 來(lái)自總體 2的樣本 （ 1）