考研數(shù)學(二)真題分析詳解-資料下載頁
2025-01-09 19:43本頁面
【正文】 而由 (2) 的結論得 ))(( 2)(22afdxxf abba ????? ?? ?， 即有 ????? ba dxxfaabf .)(2))(( 22 ? ?? 十 一、（本題滿分 10 分） 若矩陣???????????60028022aA 相似于對角陣 ? ，試確定常數(shù) a 的值；并求可逆矩陣 P 使.1 ??? APP 【 分析 】 已知 A 相似于對角矩陣，應先求出 A 的特征值，再根據(jù)特征值的重數(shù)與線性無關特征向量的個數(shù)相同，轉(zhuǎn)化為特征矩陣的秩，進而確定參數(shù) a. 至于求 P，則是常識問題 . 【 詳解 】 矩陣 A 的特征多項式為 ]16)2)[(6(600280222 ???????????? ?????? aAE = )2()6( 2 ?? ?? ， 故 A 的特征值為 .2,6 321 ???? ??? 由于 A 相似于對角矩陣 ? ，故對應 621 ???? 應有兩個線性無關的特征向量，即 2)6(3 ??? AEr ，于是有 .1)6( ?? AEr 走進四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 由 ?????????? ?????????????????00000012000480246 aaAE ， 知 a=0. 于是對應于 621 ???? 的兩個線性 無關的特征向量可取為 ???????????1001?， .0212???????????? 當 23 ??? 時， ?????????????????????????????0001000128000480242 AE ， 解方程組??? ??? ,0 ,02321x xx 得對應于 23 ??? 的特征向量 .0213????????????? 令????????????001220110P ，則 P 可逆，并有 .1 ??? APP 十二 、（本題滿分 8 分） 已知平面上三條不同直線的方程分別為 :1l 032 ??? cbyax ， :2l 032 ??? acybx ， :3l 032 ??? baycx . 試證這三條直線交于一點的充分必要條件為 .0??? cba 【 分析 】 三條直 線相交于一點，相當于對應線性方程組有唯一解，進而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為 2. 【 詳解 】 方法一 ：必要性 設三條直線 321 , lll 交于一點，則線性方程組 ??????????????,32,32,32baycxacybxcbyax (*) 走進四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 有唯一解，故系數(shù)矩陣???????????accbbaA222 與增廣矩陣??????????????bacacbcbaA323232 的秩均為 2，于是.0?A 由于 ])[(6323232222 bcacabcbacbabacacbcbaA ???????????? = ])()())[((3 222 accbbacba ??????? , 但根據(jù)題設 0)()()( 222 ?????? accbba ，故 .0??? cba 充分性：由 0??? cba ，則從必要性的證明可知， 0?A ，故秩 .3)( ?A 由于 ])([2)(222 22 bbaabaccb ba ?????? = 0]43)21[(2 22 ???? bba ， 故秩 (A)=2. 于是， 秩 (A)=秩 )(A =2. 因此方程組 (*)有唯一解，即三直線 321 , lll 交于一點 . 方法二 ：必要性 設三直線交于一點 ),( 00 yx ，則??????????100yx 為 Ax=0 的非零解，其中 .323232???????????bacacbcbaA 于是 0?A . 而 ])[(6323232222 bcacabcbacbabacacbcbaA ?????????? = ])()())[((3 222 accbbacba ???????? , 走進四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 但根據(jù)題設 0)()()( 222 ?????? accbba ，故 .0??? cba 充分性：考慮線性方程組 ??????????????,32,32,32baycxacybxcbyax (*) 將方程組 (*)的三個方程相加，并由 a+b+c=0可知 ，方程組 (*)等價于方程組 ??? ??? ??? .32 ,32 acybx cbyax (* *) 因為 ])([2)(222 22 bbaabaccb ba ?????? = 0])([ 222 ???? baba , 故方程組 (* *)有唯一解，所以方程組 (*)有唯一解，即三直線 321 , lll 交于一點 .
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