【正文】 )( ) lim 1n nxfx nx?? ?? ?, 則 ()fx的間斷點(diǎn)為 x? . （ 2）設(shè)函數(shù) ()yx 由參數(shù)方程 333131x t ty t t? ? ? ???? ? ??? 確定 , 則曲線 ()y yx? 向上凸的 x 取值范圍為 ____.. （ 3）1 2 1dxxx?? ??? _____.. （ 4）設(shè)函數(shù) ( , )z z x y? 由方程 23 2xzz e y???確定 , 則 3 zzxy????______. （ 5）微分方程 3( ) 2 0y x dx xdy? ? ?滿足1 65xy ? ?的特解為 _______. （ 6）設(shè)矩陣2 1 01 2 00 0 1A???????, 矩陣 B 滿足 2AB A BA E????, 其中 A? 為 A 的伴隨矩陣 , E 是單位矩陣 , 則 B? ______. 二 . 選擇題（本題共 8 小題，每小題 4 分，滿分 32 分 . 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 , 把所數(shù)學(xué)二歷年考研試題 41 選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) . ） （ 7）把 0x ?? 時(shí)的無(wú)窮小量 20 cosx t dt? ??, 20 tanx tdt? ??, 30 sinx t dt? ??排列起來(lái) , 使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小 , 則正確的排列次序是 （ A） , , .? ? ? （ B） , , .?? ? （ C） , , .??? （ D） , , .? ? ? ?? （ 8）設(shè) ( ) (1 )f x x x??, 則 （ A） 0x? 是 ()fx的極值點(diǎn) , 但 (0,0) 不是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) . （ B） 0x? 不是 ()fx的極值點(diǎn) , 但 (0,0) 是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) . （ C） 0x? 是 ()fx的極值點(diǎn) , 且 (0,0) 是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) . （ D） 0x? 不是 ()fx的極值點(diǎn) , (0,0) 也不是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) . ?? （ 9） 2 2 212l im l n (1 ) (1 ) (1 )nnnn n n?? ? ? ?等于 （ A） 2 21 ln xdx?. （ B） 212 lnxdx?. （ C） 212 ln(1 )x dx??. （ D） 2 21 ln (1 )x dx?? ? ? （ 10）設(shè)函數(shù) ()fx連續(xù) , 且 (0) 0f? ? , 則存在 0?? , 使得 （ A） ()fx在 (0, )? 內(nèi)單調(diào)增加 . （ B） ()fx在 ( ,0)?? 內(nèi)單調(diào)減小 . （ C）對(duì)任意的 (0, )x ?? 有 ( ) (0)f x f? . （ D）對(duì)任意的 ( , 0)x ??? 有 ( ) (0)f x f? . ? ? （ 11）微分方程 2 1 si ny y x x?? ? ? ? ?的特解形式可設(shè)為 （ A） 2 ( sin c o s )y a x b x c x A x B x? ? ? ? ? ?. 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 42 （ B） 2( sin c o s )y x a x b x c A x B x? ? ? ? ? ?. （ C） 2 siny ax bx c A x? ? ? ? ?. （ D） 2 c osy ax bx c A x? ? ? ? ? ?? （ 12）設(shè)函數(shù) ()fu 連續(xù) , 區(qū)域 ? ?22( , ) 2D x y x y y? ? ?, 則 ()D f xy dxdy??等于 （ A） 2211 ()xxdx f xy dy?? ? ??? . （ B） 222002 ( )yydy f xy dx???. （ C） 2 s in 200 ( s in c o s )d f r d r??? ? ???. （ D） 2 s in 200 ( s in c o s )d f r r d r??? ? ??? ? ? （ 13）設(shè) A 是 3 階方 陣 , 將 A 的第 1 列與第 2 列交換得 B , 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C , 則滿足AQ C? 的可逆矩陣 Q 為 （ A）0 1 01 0 01 0 1??????. （ B）0 1 01 0 10 0 1??????. （ C）0 1 01 0 00 1 1??????. （ D）0 1 11 0 00 0 1??????. ? ? （ 14）設(shè) A ,B 為滿足 0AB? 的任意兩個(gè)非零矩陣 , 則必有 （ A） A 的列向量組線性相關(guān) ,B 的行向量組線性相關(guān) . （ B） A 的列向量組線性相關(guān) ,B 的列向量組線性相關(guān) . （ C） A 的行向量組線性相關(guān) ,B 的行向量組線性相關(guān) . （ D） A 的行向量組線性相關(guān) ,B 的列向量組線性相關(guān) . ?? 三 . 解答題（本題共 9 小題，滿分 94 分 . 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . ） （ 15）（本題滿分 10 分） 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 43 求極限301 2 c o slim 13 xxxx???????????????. （ 16）（本題滿分 10 分） 設(shè)函數(shù) ()fx在（ ,???? ）上有定義 , 在區(qū)間 [0,2] 上 , 2( ) ( 4)f x x x??, 若對(duì)任意的 x 都滿足( ) ( 2)f x k f x??, 其中 k 為常數(shù) . (Ⅰ )寫(xiě)出 ()fx在 [ 2,0]? 上的表達(dá)式 。 (Ⅱ )問(wèn) k 為何值時(shí) , ()fx在 0x? 處可導(dǎo) . （ 17）（本題滿分 11 分） 設(shè) 2( ) sinxxf x t dt??? ? ,(Ⅰ )證明 ()fx是以 ? 為周期的周期函數(shù) 。(Ⅱ )求 ()fx的值域 . （ 18）（本題滿分 12 分） 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 44 曲線 2xxeey ??? 與直線 0 , ( 0)x x t t? ? ?及 0y? 圍成一曲邊梯形 . 該曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體 , 其體積為 ()Vt , 側(cè)面積為 ()St , 在 xt? 處的底面積為 ()Ft . (Ⅰ )求 ()()StVt的值 。 (Ⅱ )計(jì)算極限 ()lim()t StFt???. （ 19）（本題滿分 12 分）設(shè) 2e a b e? ? ? , 證明 2224ln ln ( )b a b ae? ? ?. （ 20）（本題滿分 11 分） 某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí) ,為了減小滑行距離 ,在觸地的瞬間 ,飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘 ,以增大阻力 ,使飛機(jī)迅速減速并停下來(lái) .現(xiàn)有一質(zhì)量為 9000kg 的飛機(jī) ,著陸時(shí)的水平速度為 700 /km h .經(jīng)測(cè)試 ,減速 傘打開(kāi)后 ,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比 (比例系數(shù)為 10k??).問(wèn)從著陸點(diǎn)算起 ,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少 ? 注 kg 表示千克 , /kmh 表示千米 /小時(shí) . 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 45 （ 21）（本題滿分 10 分） 設(shè) 22( , )xyz f x y e?? ,其中 f 具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù) ,求 2,z z zx y x y? ? ?? ? ? ?. （ 22）（本題滿分 9 分） 設(shè)有齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4(1 ) 0 ,2 ( 2 ) 2 2 0 ,3 3 ( 3 ) 3 0 ,4 4 4 ( 4 ) 0 ,a x x x xx a x x xx x a x xx x x a x? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 試問(wèn) a 取何值時(shí) , 該方程組有非零解 , 并求出其通解 . 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 46 （ 23）（本題滿分 9 分） 設(shè)矩陣1 2 31 4 315a?????????的特征方程有一個(gè)二重根 , 求 a 的值 , 并討論 A 是否可相似對(duì)角化 . 2022 年考研數(shù)學(xué)（二）真題 三、 填空題 （本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 把答案填在題中橫線上） （ 1） 若 0?x 時(shí)， 1)1( 412 ??ax 與 xxsin 是等價(jià)無(wú)窮小，則 a= . （ 2） 設(shè)函數(shù) y=f(x)由方程 4ln2 yxxy ?? 所確定，則曲線 y=f(x)在點(diǎn) (1,1)處的切線方程是 . （ 3） xy 2? 的麥克勞林公式中 nx 項(xiàng)的系數(shù)是 __________. （ 4） 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為 )0( ?? aea?? ，則該曲線上相應(yīng)于 ? 從 0 變到 ?2 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為 __________. （ 5） 設(shè) ? 為 3 維列向量， T? 是 ? 的轉(zhuǎn)置 . 若???????????????111111111T?? ，則 ??T = . （ 6） 設(shè)三階方陣 A,B 滿足 EBABA ???2 ，其中 E 為三階單位矩陣，若????????????102020101A ，則B? ________. 二、選擇題 （本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所數(shù)學(xué)二歷年考研試題 47 選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） （ 1） 設(shè) }{},{},{ nnn cba 均為非負(fù)數(shù)列，且 0lim ??? nn a, 1lim ??? nn b, ???? nn clim,則必有 (A) nn ba ? 對(duì)任意 n 成立 . (B) nn cb? 對(duì)任意 n 成立 . (C) 極限nnn ca??lim不存在 . (D) 極限nnn cb??lim不存在 . [ ] （ 2） 設(shè) dxxxa nnn nn ?? ? ? ? 123 10 1, 則極限nn na??lim等于 (A) 1)1( 23 ??e . (B) 1)1( 231 ?? ?e . (C) 1)1( 231 ?? ?e . (D) 1)1( 23 ??e . [ ] （ 3） 已知 xxy ln? 是微分方程 )(yxxyy ????的解，則 )(yx?的表達(dá)式為 （ A） .22xy? (B) .22xy (C) .22yx? (D) .22yx [ ] （ 4） 設(shè)函數(shù) f(x)在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則 f(x)有 (A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn) . (B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) . (C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn) . (D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) . [ ] y O x （ 5） 設(shè) ?? 401tan? dxx xI , dxxxI ?? 402 tan? , 則 (A) .121 ??II (B) .1 21 II ?? 數(shù)學(xué)二歷年考研試題 48 (C) .112 ??II (D) .1 12 II ?? [ ] （ 6） 設(shè)向量組 I： r??? , 21 ? 可由