【正文】 ）.故（Ｄ）項正確.（10）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是（Ａ）. （Ｂ）. （Ｃ）. （Ｄ） [ Ｂ ]【分析】 利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】由于是對應齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是 ，故原方程的通解為 ，故應選(Ｂ).【評注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：.其中是所給一階線性微分方程的特解，是對應齊次微分方程的通解.（11）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. [ Ｄ ]【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對應的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對應的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得 .（因為），若，（Ｄ）.（12）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). [ A ] 【分析】 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應選(Ａ).（13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ）. ［ Ｂ ］【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得 ，而 ，（Ｂ）.（14）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且 則必有(A) (B) (C) (D) [ A ]【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設(shè)可得， 則 ，即. 其中是標準正態(tài)分布的分布函數(shù). 又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).三 、解答題：15－23小題，共94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）設(shè),求(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【分析】第(Ⅰ)問求極限時注意將作為常量求解，此問中含型未定式極限；第(Ⅱ)問需利用第(Ⅰ)問的結(jié)果，含未定式極限. 【詳解】(Ⅰ) . (Ⅱ) （通分） （16）（本題滿分7分） 計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域. 【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可. 【詳解】，“先后”積分較容易，所以 （17）（本題滿分10分） 證明：當時，. 【分析】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】 令，則 ，且.又 ，（），故當時，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即.（18）（本題滿分8分）在坐標平面上，連續(xù)曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.(Ⅰ) 求的方程；(Ⅱ) 當與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值. 【分析】(Ⅰ)利用導數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定積分計算平面圖形的面積，確定參數(shù). 【詳解】(Ⅰ) 設(shè)曲線的方程為，則由題設(shè)可得 ，這是一階線性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲線的方程為 . (Ⅱ) 與直線（）所圍成平面圖形如右圖所示. 所以 ， 故.（19）（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù). 【分析】因為冪級數(shù)缺項，按函數(shù)項級數(shù)收斂域的求法計算；利用逐項求導或積分并結(jié)合已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式計算和函數(shù). 【詳解】記，則. 所以當時，所給冪級數(shù)收斂；當時，所給冪級數(shù)發(fā)散；當時，所給冪級數(shù)為，均收斂，故所給冪級數(shù)的收斂域為在內(nèi)，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 .. 由于所給冪級數(shù)在處都收斂，且在 處都連續(xù)，所以在成立，即 ，.（20）（本題滿分13分）設(shè)4維向量組 ，問為何值時線性相關(guān)?當線性相關(guān)時,求其一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出. 【分析】因為向量組中的向量個數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來確定參數(shù)；用初等變換求極大線性無關(guān)組. 【詳解】記以為列向量的矩陣為，則 . 于是當時，線性相關(guān). 當時，顯然是一個極大線性無關(guān)組，且； 當時， ， 由于此時有三階非零行列式，所以為極大線性無關(guān)組，且. （21）（本題滿分13分）設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.(Ⅰ) 求的特征值與特征向量；(Ⅱ) 求正交矩陣和對角矩陣,使得；（Ⅲ）求及，其中為3階單位矩陣.【分析】 由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個特征值和對應的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，；由可得到和.【詳解】 (Ⅰ) 因為矩陣的各行元素之和均為3，所以 ，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，其中為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知 ，即，而且線性無關(guān)，所以是矩陣的二重特征值，是其對應的特征向量，對應的全部特征向量為 ，其中為不全為零的常數(shù).(Ⅱ) 因為是實對稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取 ， .再將單位化，得 ，令 ，則，由是實對稱矩陣必可相似對角化，得 . （Ⅲ）由(Ⅱ)知 ，所以 . ，則.（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數(shù).(Ⅰ) 求的概率密度；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .【分析】 求一維隨機變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導得相應的概率密度或利用公式計算.【詳解】 （I） 設(shè)的分布函數(shù)為，即，則1) 當時，；2) 當時， .3) 當時， .4) 當，.所以 .（II） ，而 ， ，所以 .(Ⅲ) .（23）（本題滿分13分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù).（Ⅰ）求的矩估計；（Ⅱ）求的最大似然估計【分析】 利用矩估計法和最大似然估計法計算.【詳解】（Ⅰ）因為，令 ，可得的矩估計為 . （Ⅱ）記似然函數(shù)為，則. 兩邊取對數(shù)得 ，令，解得為的最大似然估計.2005年考研數(shù)學（三）真題一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）極限= .（2） 微分方程滿足初始條件的特解為______.（3）設(shè)二元函數(shù)，則________.（4）設(shè)行向量組，，線性相關(guān)，且，則a=_____.（5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則=______.（6）設(shè)二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 a 1 b 已知隨機事件與相互獨立，則a= ， b= .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）當a取下列哪個值時，函數(shù)恰好有兩個不同的零點.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ]（8）設(shè),其中，則(A) . （B）.(C) . (D) . [ ]（9）設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是 (A) 收斂，發(fā)散 . （B） 收斂，發(fā)散.(C) 收斂. (D) 收斂. [ ]（10）設(shè),下列命題中正確的是(A) f(0)是極大值，是極小值. （B） f(0)是極小值，是極大值.（C） f(0)是極大值，也是極大值. (D) f(0)是極小值，也是極小值.[ ]（11）以下四個命題中，正確的是(A) 若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （B）若在（0，1）內(nèi)連續(xù)，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. （C）若在（0，1）內(nèi)有界，則f(x)在（0，1）內(nèi)有界. (D) 若在（0，1）內(nèi)有界，則在（0，1）內(nèi)有界. [ ]（12）設(shè)矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩陣. 若為三個相等的正數(shù)，則為(A) . (B) 3. (C) . (D) . [ ]（13）設(shè)是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（14） 設(shè)一批零件的長度服從正態(tài)分布，其中均未知. 現(xiàn)從中隨機抽取16個零件，測得樣本均值，樣本標準差，(A) (B) (C)(D) [ ]三 、解答題（本題共9小題，、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分8分）求（16）（本題滿分8分）設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導數(shù)，且，求（17）（本題滿分9分）計算二重積分，其中.（18）（本題滿分9分）求冪級數(shù)在區(qū)間(1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x).（19）（本題滿分8分）設(shè)f(x),g(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對任何a,有 （20）（本題滿分13分）已知齊次線性方程組 （i） 和（ii） 同解，求a,b, c的值.（21）（本題滿分13分）設(shè)為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣，C為矩陣.(I) 計算，其中；（II）利用(I)的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.（22）（本題滿分13分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) （23）（本題滿分13分）設(shè)為來自總體N(0,)的簡單隨機樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差 （III）若是的無偏估計量，求常數(shù)c. 2005年考研數(shù)學（三）真題解析一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）極限= 2 .【分析】 本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可.【詳解】 =（2） 微分方程滿足初始條件的特解為 .【分析】 直接積分即可.【詳解】 原方程可化為 ，積分得 ，代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2.（3）設(shè)二元函數(shù)，則 .【分析】 基本題型，直接套用相應的公式即可.【詳解】 , ,于是 .（4）設(shè)行向量組，，線性相關(guān)，且，則a= .【分析】 四個4維向量線性相關(guān)，必有其對應行列式為零，由此即可確定a.【詳解】 由題設(shè)，有 , 得，但題設(shè)，故（5）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則= .【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】 =+ ++ =（6）設(shè)二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 a 1 b 已知隨機事件與相互獨立，則a= , b= .【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=, 其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=又事件與相互獨立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=, b=二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）當a取下列哪個值時，函數(shù)恰好有兩個不同的零點.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8.