【正文】 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A B P P則必有 (A) 12APP =B (B) 21APP =B (C) 12PPA=B (D) 21PPA=B 三、 (本題共 2小題 ,每小題 5分 ,滿分 10分 ) (1)設(shè) 2( , , ) , ( , e , ) 0 , sin ,yu f x y z x z y x?? ? ?其中 ,f? 都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,且 ?? ?? 求 .dudx (2) 設(shè)函數(shù) ()fx 在區(qū)間 [0,1] 上連續(xù) , 并設(shè) 10 ( ) ,f x dx A??求110 ( ) ( ) .xdx f x f y dy?? 四、 (本題共 2小題 ,每小題 6分 ,滿分 12分 ) (1) 計(jì) 算 曲 面 積 分 ,zdS???其中 ? 為 錐 面 22z x y??在 柱 體222x y x??內(nèi)的部分 . (2)將函數(shù) ( ) 1(0 2)f x x x? ? ? ?展開成周期為 4 的余弦函數(shù) . 五、 (本題滿分 7分 ) 設(shè)曲線 L 位于平面 xOy 的第一象限內(nèi) ,L 上任一點(diǎn) M 處的切線與 y 軸總相交 ,交點(diǎn)記為 .A 已知 ,MA OA? 且 L 過點(diǎn) 33( , ),22 求 L 的方程 . 六、 (本題滿分 8分 ) 設(shè)函數(shù) (, )Qxy 在平面 xOy 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 曲線 積 分2 ( , )L xydx Q x y dy?? 與 路 徑 無 關(guān) , 并 且 對(duì) 任 意 t 恒有( , 1 ) ( 1 , )( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )2 ( , ) 2 ( , ) ,ttx y d x Q x y d y x y d x Q x y d y? ? ???求 ( , ).Qx y 七、（本題滿分 8分） 假設(shè)函數(shù) ()fx 和 ()gx 在 [, ]ab 上存在二階導(dǎo)數(shù) , 并且( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,g x f a f b g a g b?? ? ? ? ? ?試證 : (1)在開區(qū)間 (, )ab 內(nèi) ( ) ? (2)在開區(qū)間 (, )ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,? 使 ( ) ( ) .( ) ( )ffgg????? ?? 八、（本題滿分 7分） 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值為 1 2 31, 1,? ? ?? ? ? ?對(duì)應(yīng)于 1? 的特征向量為101,1???????????ξ 求 .A 九、（本題滿分 6分） 設(shè) A 為 n 階矩陣 ,滿足 (??AA I I 是 n 階單位矩陣 , ?A 是 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 ), 0,?A 求 .?AI 十、填空題 (本題共 2小題 ,每小題 3分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè) X 表示 10 次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù) ,每次射中目標(biāo)的概率為, 則 2X 的數(shù)學(xué)期望 2()EX =____________. (2)設(shè) X 和 Y 為兩個(gè)隨機(jī)變量 ,且 34{ 0 , 0 } , { 0 } { 0 } ,77P X Y P X P Y? ? ? ? ? ? ? 則 { m ax( , ) 0}P X Y ??____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ()Xfx? e0x? 00xx?? , 求隨機(jī)變量 eXY? 的概率密度 ( ).Yfy 1996 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù) 學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè) 2lim ( ) 8,xx xaxa?? ? ??則 a =_____________. (2)設(shè)一平面經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn) (6, 3,2),? 且與平面 4 2 8x y z? ? ? 垂直 ,則此平面方程為 _____________. (3)微分方程 2 2 e xy y y?? ?? ? ?的通解為 _____________. (4)函數(shù) 22ln ( )u x y z? ? ?在點(diǎn) (1,0,1)A 處沿點(diǎn) A 指向點(diǎn) (3, 2,2)B ? 方向的方向?qū)?shù)為 _____________. (5) 設(shè) A 是 43? 矩陣 , 且 A 的秩 ( ) 2,r ?A 而 1 0 20 2 0 ,1 0 3??????????B 則()rAB =_____________. 二、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一個(gè)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) ) (1)已知2()()x ay dx ydyxy???為某函數(shù)的全微分 ,a 則等于 (A)1 (B)0 (C)1 (D)2 (2)設(shè) ()fx具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,且0()( 0 ) 0 , lim 1,xfxf x???? ??則 (A) (0)f 是 ()fx的極大值 (B) (0)f 是 ()fx的極小值 (C)(0, (0))f 是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) (D) (0)f 不是 ()fx的極值 ,(0, (0))f 也不是曲線 ()y f x? 的拐點(diǎn) (3) 設(shè) 0( 1, 2, ),nan?? 且1 nn a???收斂 , 常數(shù) (0, ),2??? 則 級(jí) 數(shù)21 ( 1) ( ta n )n nn nan??? ?? (A)絕對(duì)收斂 (B)條件收斂 (C)發(fā)散 (D)散斂性與 ? 有關(guān) (4)設(shè)有 ()fx 連續(xù)的導(dǎo)數(shù) 220, ( 0 ) 0 , ( 0 ) 0 , ( ) ( ) ( ) ,xf f F x x t f t d t?? ? ? ??且當(dāng) 0x? 時(shí) , ( )Fx? 與 kx 是同階無窮小 ,則 k 等于 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5)四階行列式11223344000000abababba的值等于 (A) 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b? (B) 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b? (C) 1 2 1 2 3 4 3 4( )( )a a b b a a b b?? (D) 2 3 2 3 1 4 1 4( )( )a a b b a a b b 三、 (本題共 2小題 ,每小題 5分 ,滿分 10分 ) (1)求心形線 (1 cos )ra ??? 的全長(zhǎng) ,其中 0a? 是常數(shù) . (2)設(shè) 1110 , 6 ( 1 , 2 , ) ,nnx x x n?? ? ? ?試證數(shù)列 {}n 極限存在 ,并求此 極限 . 四、 (本題共 2小題 ,每小題 6分 ,滿分 12分 ) (1) 計(jì) 算 曲 面 積 分 ( 2 ) ,S x z d y d z z d x d y????其中 S 為 有 向 曲 面22(0 1),z x y x? ? ? ?其法向量與 z 軸正向的夾角為銳角 . (2) 設(shè)變換 2u x yv x ay????可 把 方 程 2 2 22260z z zx x y y? ? ?? ? ?? ? ? ?簡(jiǎn)化為2 0,zuv? ??? 求常數(shù) .a 五、 (本題滿分 7分 ) 求級(jí)數(shù)21 1( 1)2nn n?? ??的和 . 六、 (本題 滿分 7分 ) 設(shè)對(duì)任意 0,x? 曲線 ()y f x? 上點(diǎn) ( , ( ))x f x 處的切線在 y 軸上的截距等于01 ( ) ,x f t dtx? 求 ()fx的一般表達(dá)式 . 七、（本題滿分 8分） 設(shè) ()fx在 [0,1] 上具有二階導(dǎo)數(shù) ,且滿足條件 ( ) , ( ) ,f x a f x b????其中,ab都是非負(fù)常數(shù) ,c 是 (0,1) 內(nèi)任意一點(diǎn) .證明 ( ) 2 .2bf c a? ?? 八、（本題滿分 6分） 設(shè) ,TA??I ξξ 其中 I 是 n 階單位矩陣 ,ξ 是 n 維非零列向量 ,Tξ 是 ξ 的轉(zhuǎn)置 .證明 (1) 2?AA的充分條件是 ?ξξ (2)當(dāng) 1T ?ξξ 時(shí) ,A 是不可逆矩陣 . 九、（本題滿分 8分） 已知二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 5 5 2 6 6f x x x x x c x x x x x x x? ? ? ? ? ?的秩為2, (1)求參數(shù) c 及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值 . (2)指出方程 1 2 3( , , ) 1f x x x ? 表示何種二次曲面 . 十、填空題 (本題共 2小題 ,每小題 3分 ,滿分 6分 .把答案 填在題中橫線上 ) (1)設(shè)工廠 A 和工廠 B 的產(chǎn)品的次品率分別為 1%和 2%,現(xiàn)從由 A 和 B 的產(chǎn)品分別占 60%和 40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件 ,發(fā)現(xiàn)是次品 ,則該次品屬 A 生產(chǎn)的概率是 ____________. (2)設(shè) ,??是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 21(0,( ) )2N的隨機(jī)變量 ,則隨機(jī)變量 ??? 的數(shù)學(xué)期望 ()E ??? =____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè) ,??是兩個(gè)相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量 ,已知 ? 的分布率為 1( ) , 1, 2 , 3 .3P i i? ? ? ? 又設(shè) m a x( , ) , m i n( , ) .XY? ? ? ??? (1)寫出二維隨機(jī)變量的分布率 : X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 ( ).EX 1997 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1) 2013 s in c o slim (1 c o s ) ln (1 )x xx xxx? ???=_____________. (2)設(shè)冪級(jí)數(shù)1nnn ax???的收斂半徑為 3,則冪級(jí)數(shù) 11 ( 1)nnn na x? ?? ??的收斂區(qū)間為 _____________. (3)對(duì)數(shù)螺線 e??? 在點(diǎn) 2( , ) (e , )2? ??? ? 處切線的直角坐標(biāo)方程為 _____________. (4) 設(shè) 1 2 24 3 ,3 1 1t?????????AB為三階非零矩陣 , 且 ,?AB O 則t =_____________. (5)袋中有 50 個(gè)乒乓球 ,其中 20 個(gè)是黃球 ,30 個(gè)是白球 ,今 有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球 ,取后不放回 ,則第二個(gè)人取得黃球的概率是 _____________. 二、選擇題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一個(gè)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) ) (1)二元函數(shù) ( , )f x y ? 22 ( , ) ( 0 , 0)0 ( , ) ( 0 , 0) xy xyxyxy???,在點(diǎn) (0,0) 處 (A)連續(xù) ,偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)連續(xù) ,偏導(dǎo)數(shù)不存在 (C)不 連續(xù) ,偏導(dǎo)數(shù)存在 (D)連續(xù) ,偏導(dǎo)數(shù)不存在 (2)設(shè)在區(qū)間 [, ]ab 上 ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) x f x f x? ??? ? ?令 1 2 3 1( ) , ( ) ( ) , [ ( ) ( ) ] ( ) ,2baS f x d x S f b b a S f a f b b a? ? ? ? ? ?? 則 (A) 1 2 3S S S?? (B) 213S S S?? (C) 3 1 2S S S?? (D) 2 3 1S S S?? (3)設(shè) 2 s in( ) e s in ,x txF x td t??? ?則 ()Fx (A)為正常數(shù) (B)為負(fù)常數(shù) (C)恒為零 (D)不為常數(shù) (4)設(shè) 1 1 11 2 2 2 3 23 3 3, , ,a b ca b ca b c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?α α α則三條直線 1 1 12 2 23 3 30,0,0a x b y ca x b y ca x b y c? ? ?? ? ?? ? ? (其中 22 0, 1, 2, 3iia b i? ? ? )交于一點(diǎn)的充要條件是 (A) 1 2 3,α α α 線性相關(guān) (B) 1 2 3,α α α 線性無關(guān)