【正文】 而事件 A 至多發(fā)生一次的概率為____________. (2)有兩個箱子 ,第 1 個箱子有 3 個白球 ,2 個紅球 , 第 2 個箱子有 4 個白球 ,4個紅球 .現(xiàn)從第 1個箱子中隨機(jī)地取 1個球放到第 2個箱子里 ,再從第 2 個箱子中取出 1個球 ,此球是白球的概率為 2個箱子中取出的球是白球 ,則從第一個箱子中取出的球是白球的概率為 ____________. (3)已知連續(xù)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為 2 211( ) e ,xxfx? ? ? ??則 X 的數(shù)學(xué)期望為 ____________,X 的方差為 ____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)隨機(jī)變量 ,XY相互獨(dú)立 ,其概率密度函數(shù)分別為 ()Xfx? 10 01x??其 它 , ()Yfy? e0y? 00yy?? , 求 2Z X Y??的概率密度函數(shù) . 1988 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)求冪級數(shù)1( 3)3 nnnxn???? 的收斂域 . (2)設(shè) 2( ) e , [ ( ) ] 1xf x f x x?? ? ?且 ( 0x? ? ,求 ()x? 及其定義域 . (3) 設(shè) ? 為曲面 2 2 21x y z? ? ?的外側(cè) , 計算曲面積分3 3 3 .I x d y d z y d z d x z d x d y?? ? ??? 二、填空題 (本題共 4 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 12 分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)若 21( ) lim (1 ) ,txxf t t x????則 ()ft? = _____________. (2)設(shè) ()fx連續(xù)且 3 10 ( ) ,x f t dt x? ??則 (7)f =_____________. (3)設(shè)周期為 2 的周期函數(shù) ,它在區(qū)間 ( 1,1]? 上定義為 ()fx? 22x 1001xx? ? ??? ,則的傅里葉 ()Fourier 級數(shù)在 1x? 處收斂于 _____________. (4)設(shè) 4 階矩陣 2 3 4 2 3 4[ , , , ] , [ , , , ] ,??A α γ γ γ B β γ γ γ其中 234, , , ,α β γ γ γ 均為 4 維列向量 ,且已知行列式 4, 1,??AB則行列式 ?AB= _____________. 三、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) ) (1)設(shè) ()fx可導(dǎo)且0 1( ) ,2fx? ?則 0x??時 , ()fx 在 0x 處的微分 dy 是 (A)與 x? 等價的無窮小 (B)與 x? 同階的無窮小 (C)比 x? 低階的無窮小 (D)比 x? 高階的無窮小 (2) 設(shè) ()y f x? 是 方 程 2 4 0y y y?? ?? ? ? 的 一 個 解 且00( ) 0 , ( ) 0 ,f x f x???則函數(shù) ()fx在點(diǎn) 0x 處 (A)取得極大值 (B)取得極小值 (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 (D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 (3) 設(shè)空間區(qū)域2 2 2 2 2 2 2 212: , 0 , : , 0 , 0 , 0 ,x y z R z x y z R x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則 (A)124xdv dv?????? ??? (B)124ydv ydv?????? ??? (C)124zdv zdv?????? ??? (D)124x y zd v x y zd v?????? ??? (4)設(shè)冪級數(shù)1 ( 1)nnn ax?? ??在 1x?? 處收斂 ,則此級數(shù)在 2x? 處 (A)條件收斂 (B)絕對收斂 (C)發(fā)散 (D)收斂性不能確定 (5)n 維向量組 12, , , (3 )s sn??α α α 線性無關(guān)的充要條件是 (A)存在一組不全為零的數(shù) 12, , , ,sk k k 使 1 1 2 2 0ssk k k? ? ? ?α α α (B) 12, , , sα α α 中任意兩個向量均線性無 關(guān) (C) 12, , , sα α α 中存在一個向量不能用其余向量線性表示 (D) 12, , , sα α α 中存在一個向量都不能用其余向量線性表示 四、 (本題滿分 6分 ) 設(shè) ( ) ( ),xyu yf xgyx??其 中 函 數(shù) f 、 g 具 有 二 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) , 求222 .uuxyx x y???? ? ? 五、 (本題滿分 8分 ) 設(shè)函數(shù) ()y y x? 滿足微分方程 3 2 2 e ,xy y y?? ?? ? ?其圖形在點(diǎn) (0,1) 處的切線與曲線 2 1y x x? ? ? 在該點(diǎn)處的切線重合 ,求函數(shù) ( ).y y x? 六、（本題滿分 9分） 設(shè)位于點(diǎn) (0,1) 的質(zhì)點(diǎn) A 對質(zhì)點(diǎn) M 的引力大小為2 (0k kr ?為常數(shù) ,r 為 A質(zhì)點(diǎn)與 M 之間的距離 ),質(zhì)點(diǎn) M 沿直線 22y x x??自 (2,0)B 運(yùn)動到(0,0),O 求在此運(yùn)動過程中質(zhì)點(diǎn) A 對質(zhì)點(diǎn) M 的引力所作的功 . 七、（本題滿分 6分） 已知 ,?AP BP 其中 1 0 0 1 0 00 0 0 , 2 1 0 ,0 0 1 2 1 1? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?BP求 5,.AA 八、（本題滿分 8分） 已知矩陣 2 0 000101 x?????????A 與2 0 0000 0 1y??????????B 相似 . (1)求 x 與 .y (2)求一個滿足 1? ?P AP B 的可逆陣 .P 九、（本題滿分 9分） 設(shè)函數(shù) ()fx在區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) ,且在 (, )ab 內(nèi)有 ( ) 0,fx? ? 證明 :在 (, )ab內(nèi)存在唯一的 ,? 使曲線 ()y f x? 與兩直線 ( ),y f x a???所圍平面圖形面積1S 是曲線 ()y f x? 與兩直線 ( ),y f x b???所圍平面圖形面積 2S 的 3 倍 . 十、填空題 (本題共 3小題 ,每小題 2分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè)在三次獨(dú)立試驗中 ,事件 A 出現(xiàn)的概率相等 ,若已知 A 至少出現(xiàn)一次的概率等于 19,27 則事件 A 在一次試驗中出現(xiàn)的概率是 ____________. (2)若在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)任取兩個數(shù) ,則事件 ”兩數(shù)之和小于 65 ”的概率為____________. (3)設(shè)隨機(jī)變量 X 服從均值為 10,均方差為 的正態(tài)分布 ,已知 221( ) e , ( 2 . 5 ) 0 . 9 9 3 8 ,2 uxx d u??? ?????? 則 X 落在區(qū)間 (,) 內(nèi)的概率為 ____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為21( ) ,(1 )Xfx x?? ?求隨機(jī)變量31YX?? 的概率密度函數(shù) ( ).Yfy 1989 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)已知 (3) 2,f? ? 則0 (3 ) (3)lim 2h f h fh? ??= _____________. (2)設(shè) ()fx是連續(xù)函數(shù) ,且 10( ) 2 ( ) ,f x x f t dt?? ?則 ()fx =_____________. (3) 設(shè) 平 面 曲 線 L 為 下 半 圓 周 21,yx?? ? 則 曲 線 積 分22()L x y ds?? =_____________. (4)向量場 divu 在點(diǎn) (1,1,0)P 處的散度 divu =_____________. (5) 設(shè)矩陣 3 0 0 1 0 01 4 0 , 0 1 0 ,0 0 3 0 0 1? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?AI 則矩陣1( 2)??AI=_____________. 二、選擇題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) ) (1)當(dāng) 0x? 時 ,曲線 1sinyxx? (A)有且僅有水平漸近線 (B)有且僅有鉛直漸近線 (C)既有水平漸近線 ,又有鉛直漸近線 (D)既無水平漸近線 ,又無鉛直漸近線 (2) 已知曲面 224z x y? ? ? 上點(diǎn) P 處 的 切 平 面 平 行 于 平 面2 2 1 0,x y z? ? ? ?則點(diǎn)的坐標(biāo)是 (A)(1, 1,2)? (B)( 1,1,2)? (C)(1,1,2) (D)( 1, 1,2)?? (3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù) ,則該非齊次方程的通解是 (A) 1 1 2 2 3c y c y y?? (B) 1 1 2 2 1 2 3()c y c y c c y? ? ? (C) 1 1 2 2 1 2 3(1 )c y c y c c y? ? ? ? (D) 1 1 2 2 1 2 3(1 )c y c y c c y? ? ? ? (4)設(shè)函數(shù) 2( ) , 0 1,f x x x? ? ?而1( ) s in , ,nnS x b n x x???? ? ? ? ? ? ??其中 102 ( ) sin , 1 , 2 , 3 , ,nb f x n x d x n???? 則 1()2S? 等于 (A) 12? (B) 14? (C)14 (D)12 (5)設(shè) A 是 n 階矩陣 ,且 A 的行列式 0,?A 則 A 中 (A)必有一列元素全為 0 (B)必有兩列元素對應(yīng)成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的線性組合 (D)任 一列向量是其余列向量的線性組合 三、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)設(shè) ( 2 ) ( , ) ,z f x y g x x y? ? ?其中函數(shù) ()ft 二階可導(dǎo) , ( , )guv 具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù) ,求 2 .zxy??? (2)設(shè)曲線積分 2 ()c xy dx y x dy???與路徑無關(guān) ,其中 ()x? 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ,且 (0) 0,? ? 計算 (1,1 ) 2( 0 ,0 ) ()x y d x y x d y??? 的值 . (3) 計 算 三重 積分 ( ) ,x z dv? ????其中 ? 是 由 曲面 22z x y??與221z x y? ? ? 所圍成的區(qū)域 . 四、 (本題滿分 6分 ) 將函數(shù) 1( ) arcta n 1 xfx x?? ?展為 x 的冪級數(shù) . 五、 (本題滿分 7分 ) 設(shè)0( ) sin ( ) ( ) ,xf x x x t f t d t? ? ??其中 f 為連續(xù)函數(shù) ,求 ().fx 六、（本題滿分 7分） 證明方程0ln 1 c o s 2exx x d x?? ? ?? 在區(qū)間 (0, )?? 內(nèi)有且僅有兩個不同實(shí)根 . 七、（本題滿分 6分） 問 ? 為何值時 ,線性方程組 13xx??? 1 2 34 2 2x x x ?? ? ? ? 1 2 36 4 2 3x x x ?? ? ? ? 有解 ,并求出解的一 般形式 . 八、（本題滿分 8分） 假設(shè) ? 為 n 階可逆矩陣 A 的一個特征值 ,證明 (1)1? 為 1?A 的特征值 . (2) ?A 為 A 的伴隨矩陣 *A 的特征值 . 九、（本題滿分 9分） 設(shè)半徑為 R 的球面 ? 的球心在定球面 2 2 2 2 ( 0 )x y z a a? ? ? ?上 ,問當(dāng) R為何值時 ,球面 ? 在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大 ? 十、填空題 (本題共 3小題 ,每小題 2分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)已知隨機(jī)事件 A 的概率 ( ) ,PA? 隨機(jī)事件 B 的概率 ( ) ? 及條件概率 ( | ) ,P B A ? 則和事件 AB的概率 ()P A B =____________. (2)甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次 ,其命中率分別為 和 ,現(xiàn)已知 目標(biāo)被命中 ,則它是甲射中的概率為 ____________. (3)若隨機(jī)變量 ? 在 (1,6) 上服從均勻分布 ,則方程 2 10xx?? ? ? 有實(shí)根的概率是 _