【正文】 是求繞坐標軸旋轉(zhuǎn)的體積，因此不能直接套用現(xiàn)有公式 . 也可考慮用微元法分析，完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》 的【 例 】和 的【 例 】 . 四 、（本題滿分 12 分） 【 分析 】 冪級數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當?shù)暮愕茸冃?、求?dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知冪級數(shù)展開的情形。本題可先求導(dǎo)，再利用函數(shù) x?11 的冪級數(shù)展開 ?? ??????? nxxxx 211 1 即可，然后取 x 為某特殊值，得所求級數(shù)的和 . 【 詳解 】 因為 ).21,21(,4)1(241 2)( 202 ????????? ??? xxxxf nnn n 又 f(0)=4? , 所以 dttdttffxf nnx x n n ]4)1([24)()0()( 20 0 0? ? ??? ?????? ? = ).21,21(,12 4)1(24 120 ????? ???? xxn nnnn? 因為級數(shù) ??? ??0 12)1(nnn收斂，函數(shù) f(x)在 21?x 處連續(xù)，所以 ].21,21(,12 4)1(24)( 120 ?????? ???? xxnxf nnnn? 令 21?x ，得 ?? ????? ?????????0120 12)1(4]2 112 4)1([24)21(nnnnnnnf ??, 再由 0)21( ?f ，得 .4)21(412 )1(0 ?? ???????? fnnn 【 評注 】 完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》 的【 例 】 . 五 、（本題滿分 10 分） 【 分析 】 本題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉正向曲線，自然可想到用格林公式； (2)的證明應(yīng)注意用 (1)的結(jié)果 . 【 詳解 】 方法一 ： (1) 左邊 = dxedye xy ?? ?? 0 s in0 s in ?? ?? = ? ????0 s ins in )( dxee xx， 右邊 =? ????? ??0 0 s ins in dxedye xy = ? ????0 s ins in )( dxee xx， 所以 dxyedyxedxyedyxe xL yxL y s ins ins ins in ??? ?? ??. (2) 由于 2sinsin ?? ? xx ee ，故由（ 1）得 .2)( 20 s i ns i ns i ns i n ?? ? ???? ?? ?? dxeedxyedyxe xxxL y 方法二： （ 1） 根據(jù)格林公式，得 ??? ?? ??? D xyxL y dx dyeedxyedyxe )( s ins ins ins in ， ??? ??? ?? D xyxL y dx dyeedxyedyxe )( s ins ins ins in . 因為 D 具有輪換對稱性，所以 ????Dxy d x d yee )( s ins in=?? ??Dxy d x d yee )( s ins in， 故 dxyedyxedxyedyxe xL yxL y s ins ins ins in ??? ?? ??. (2) 由 (1)知 ??? ?? ??? D xyxL y dx dyeedxyedyxe )( s ins ins ins in = dx dyedx dyeD Dxy?? ?? ?? s ins in = dx dyedx dyeD Dxx?? ?? ?? s ins in （利用輪換對稱性） = .22)(2s ins in ???? ???? ? dx dydx dyeeDDxx 【 評注 】 本題方法一與方法二中的定積分與二重積分是很難直接計算出來的，因此期望通過計算出結(jié)果去證明恒等式與不等式是困難的 . 另外，一個題由兩部分構(gòu)成時，求證第二部分時應(yīng)首先想到利用第一部分的結(jié)果，事實上，第一部分往往是起橋梁作用的 . 本題完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》 的【 例 】 , 相當于此例題中取xex sin)( ??? ，也就是說，本題是【 例 】的特殊情形 . 六 、（本題滿分 10 分） 【 分析 】 本題屬變力做功問題，可用定積分進行計算，而擊打次數(shù)不限，相當于求數(shù)列的極限 . 【 詳解 】 (1) 設(shè)第 n 次擊打后，樁被打進地下 nx ，第 n 次擊打時，汽錘所作的功為),3,2,1( ??nW n . 由題設(shè)，當樁被打進地下的深度為 x 時，土層對樁的阻力的大小為 kx ，所以 22101 221 akxkk x dxW x ??? ?， ).(2)(2 22221222 21 axkxxkk x dxW xx ????? ? 由 12 rWW ? 可得 2222 raax ?? 即 .)1( 222 arx ?? ].)1([2)(2 22322233 32 arxkxxkk x dxW xx ?????? ? 由 1223 WrrWW ?? 可得 22223 )1( ararx ??? ， 從而 arrx 23 1 ??? ， 即汽錘擊打 3 次后，可將樁打進地下 amrr 21 ?? . （ 2） 由歸納法，設(shè) arrrx nn 121 ?????? ?，則 )(2 22 11 1 nnxxn xxkk x dxW nn ??? ?? ? ? = ].)1([2 2121 arrxk nn ?? ???? ? 由于 1121 WrWrrWW nnnn ???? ?? ?，故得 2212 1 )1( ararrx nnn ????? ?? ?, 從而 .11111 arrarrxnnn ????????? ? 于是 arx nn ????? 1 1lim 1， 即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下 ar?11 m. 【 評注 】 本題巧妙地將變力作功與數(shù)列極限兩個知識點綜合起來了，有一定難度。但用定積分求變力做功并不是什么新問題，何況本題的變力十分簡單，變力更復(fù)雜的情形可參見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》 的【 例 】 . 七 、（本題滿分 12 分） 【 分析 】 將dydx轉(zhuǎn)化為 dxdy 比較簡單，dydx=ydxdy ??11 ，關(guān)鍵是應(yīng)注意： )(22 dydxdyddy xd ? = dydxydxd ??)1( =32 )(1 yyyy y ???????? ???. 然后再代入原方程化簡即可 . 【 詳解 】 (1) 由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ydydx ??1，于是有 )(22 dydxdyddy xd ? = dydxydxd ??)1( = 32 )(1 yyyy y ???????? ??? . 代入原微分方程得 .sin xyy ???? ( * ) (2) 方程 ( * )所對應(yīng)的齊次方程 0???? yy 的通解為 .21 xx eCeCY ??? 設(shè)方程 ( * )的特解為 xBxAy sinco s* ?? ， 代入方程 ( * )，求得 21,0 ??? BA ，故 xy sin21* ?? ，從而 xyy sin???? 的通解是 .s i n2121* xeCeCyYy xx ????? ? 由 23)0(,0)0( ??? yy ，得 1,1 21 ??? CC . 故所求初值問題的解為 .s i n21 xeey xx ??? ? 【 評注 】 本題的核心是第一步方程變換，完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》 的【 例】 . 八 、（本題滿分 12 分） 【 分析 】 (1) 先分別在球面坐標下計算分子的三重積分和在極坐標下計算分母的重積分，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù) )(tF? 的符號確定單調(diào)性； (2) 將待證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進行證明即可 . 【 詳解 】 (1) 因為 ??? ?? ? ? ??ttttr d rrfdrrrfr d rrfddrrrfddtF0202220 0220 0 022)()(2)(s i n)()(?? ????? ， 202022])([)()()(2)(r d rrfdrrtrrfttftFtt?? ??? ， 所以在 ),0( ?? 上 0)( ??tF ，故 F(t) 在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加 . （ 2） 因 ???ttdrrfr d rrftG0202)()()( ? ， 要 證明 t0 時 )(2)( tGtF ?? ，只需證明 t0 時， 0)(2)( ?? tGtF ? ，即 .0])([)()(0 0 20 2222 ??? ? ?t t t r drrfdrrfdrrrf 令 ? ? ??? t t t r drrfdrrfdrrrftg0 0 20 2222 ])([)()()(， 則 0)()()()( 20 22 ???? ? drrtrftftg t，故 g(t)在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加 . 因為 g(t)在 t=0 處連續(xù)，所以當 t0 時，有 g(t)g(0). 又 g(0)=0, 故當 t0 時， g(t)0, 因此，當 t0 時， ).(2)( tGtF ?? 【 評注 】 本題將定積分、二重積分和三重積分等多個知識點結(jié)合起來了，但難點是證明（ 2）中的不等式，事實上，這里也可用柯西積分不等式證明： dxxgdxxfdxxgxf ba baba ? ?? ?? )()(])()([ 222， 在上式中取 f(x)為 rrf )( 2 ， g(x)為 )( 2rf 即可 . 完全類似例題見《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》 【 例 】、【 例 】和《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》 的【 例 】 . 九 、（本題滿分 10 分） 【 分析 】 可先求出 1*, ?PA ，進而確定 PAPB *1?? 及 B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出 A 的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定 A*的特征值與特征向量，最終根據(jù) B+2E 與 A*+2E 相似求出其特征值與特征向量 . 【 詳解 】 方法一： 經(jīng)計算可得 ?????????????????522252225*A ， ?????????? ???1000011101P ， PAPB *1?? =??????????????322452007 . 從而 ????????????????5224720092 EB ， )3()9(522472009)2( 2 ????????? ?????? EBE ， 故 B+2E 的特征值為 .3,9 321 ??? ??? 當 921 ???? 時，解 0)9( ?? xAE ，得線性無關(guān)的特征向量為 ,0111????????????? ,1022????????????? 所以屬于 特征值 921 ???? 的所有特征向量為 ?????????????????????????102011212211 kkkk ??，其中 21,kk 是不全為零的任意常數(shù) . 當 33?? 時，解 0)3( ?? xAE ，得線性無關(guān)的特征向量為 ???????????1103?， 所以屬于特征值 33?? 的所有特征向量為???????????110333 kk ?，其中 03?k 為任意常數(shù) . 方法二：設(shè) A 的特征值為 ? ，對應(yīng)特征向量為 ? ，即 ?