【正文】 aabaa 與矩陣??????????00000002b 相似的充分必要條件是兩個矩陣的特征值對應(yīng)相等． )22)2((111122 abbaabaaAE ????????????????? ??????? 從而可知 bab 222 2 ?? ，即 0?a ， b 為任意常數(shù)，故選擇（ B）． 7 ．設(shè) 321 , XXX 是隨機變量，且 )3,5(~),2,0(~),1,0(~ 23221 NXNXNX ，? ?22 ???? ii XPP ，則 （ A） 321 PPP ?? （ B） 312 PPP ?? （ C） 123 PPP ?? （ D） 231 PPP ?? 【 詳解 】若 ),(~ 2??NX ，則 )1,0(~ NX? ?? 1)2(21 ???P ， ? ? 1)1(212122 222 ????????? ???????? XPXPP ， ? ? ? ?)13737)1(3 523 53 5222 333 ???????????????? ???????????? ??????????? XPXPP， ?? 23 PP 0)1(32)1(3371 ?????????????? ． 故選擇（ A）． 8．設(shè)隨機變量 X和 Y 相互獨立，且 X和 Y的概率分布分別為 X 0 1 2 3P P 1/2 1/4 1/8 1/8 Y 1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 則 ? ???? 2YXP （ ） （ A） 121 （ B） 81 （ C） 61 （ D） 21 【 詳解 】? ? ? ? ? ? ? ? 612412411211,30,21,12 ???????????????? YXPYXPYXPYXP，故選擇（ C）． 二、填空題（本題共 6小題，每小題 4分，滿分 24分 . 把答案填在題中橫線上） 9．設(shè)曲線 )(xfy? 和 xxy ?? 2 在點 ? ?0,1 處有切線，則 ??????? ??? 2lim n nnfn ． 【 詳解 】由條件可知 ? ? 1)1(39。,01 ?? ff ．所以 2)1(39。22222)1(221l i m2l i m ???????????????? ?????????? ?????fnnnfnfnnnfnn 10．設(shè)函數(shù) ? ?yxzz ,? 是由方程 ? ? xyyz x ?? 確定，則 ???)2,1(|xz ． 【 詳解 】 設(shè) ? ? xyyzzyxF x ??? )(, ，則? ? 1)(),(,)l n ()(, ??????? xzxx yzxzyxFyyzyzzyxF ， 當(dāng) 2,1 ?? yx 時， 0?z ，所以 2ln22|)2,1( ????xz． 11． ??? ?? xdxx1 2)1( ln ． 【 詳解 】 2ln|1ln)1( 1|1 ln1 1ln)1( ln 11111 2 ???????????? ?????????? ??? x xdxxxxxxxdxdxx 12．微分方程 041 ?????? yyy 的通解為 ． 【 詳解 】方程的特征方程為 041 ?????r ，兩個特征根分別為 2121 ????，所以方程通解為 221 )( xexCCy ?? ，其中 21,CC 為任意常數(shù)． 13．設(shè) ? ?ijaA? 是三階非零矩陣， A 為其行列式， ijA 為元素 ija 的代數(shù)余子式，且滿足)3,2,1,(0 ??? jiaA ijij ，則 A = ． 【 詳解 】由條件 )3,2,1,(0 ??? jiaA ijij 可知 0* ?? TAA ，其中 *A 為 A 的伴隨矩陣，從而可知 AAAA T ???? ?13** ，所以 A 可能為 1? 或 0． 但由結(jié)論???????????1)(,01)(,1)(,)( *nArnArnArnAr 可知， 0* ?? TAA 可知 *)()( ArAr ? ,伴隨矩陣的秩只能為 3，所以 .1??A 14．設(shè)隨機變 量 X服從標(biāo)準(zhǔn)正分布 )1,0(~ NX ，則 ? ??XXeE 2 ． 【 詳解 】 ? ??XXeE 2dxexedxexdxexe xxxx ??? ???? ?????? ????? ?? ? ???? 2 )2(222 )2(22 222 )22(2221 ??? 222222 22)(2222 eeXEedtedttee tt ??????????? ?? ?? ???? ????? ??． 所以為 22e ． 三、解答題 15．（本題滿分 10分） 當(dāng) 0?x 時， xxx 3co s2co sco s1 ? 與 nax 是等價無窮小，求常數(shù) na, ． 【分析】主要是考查 0?x 時常見函數(shù)的馬克勞林展開式． 【 詳解 】當(dāng) 0?x 時， )(211c os 22 xoxx ??? ，)(21)()2(2112c os 2222 xoxxoxx ?????? ，)(291)()3(2113c os 2222 xoxxoxx ?????? ， 所以)(7))(291))((21))((211(13c os2c osc os1 22222222 xoxxoxxoxxoxxxx ???????????， 由于 xxx 3co s2co sco s1 ? 與 nax 是等價無窮小，所以 2,7 ?? na ． 16．（本題滿分 10分） 設(shè) D是由曲線 3 xy? ，直線 ax? )0( ?a 及 x 軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形， yxVV, 分別是 D繞 x軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若 yx VV ?10 ，求 a 的值． 【 詳解 】由微元法可知 ??? 350 320 2 53 adxxdxyV aax ??? ?? ； ??? 370 340 762)(2 adxxdxxxfV aay ??? ?? ； 由條件 yx VV ?10 ，知 77?a ． 17．（本題滿分 10分） 設(shè)平面區(qū)域 D是由曲線 8,3,3 ???? yxxyyx 所圍成，求 ??D dxdyx2． 【 詳解 】 34168362 23320 2222 21 ????? ?????????? ? xxxxDDD dydxxdydxxdx dyxdx dyxdx dyx． 18．（本題滿分 10分） 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 6000元，可變成本為 20 元 /件，價格函數(shù)為 ,100060 QP ?? （ P是單價，單位：元， Q 是銷量，單位：件），已知產(chǎn)銷平衡，求： （ 1）該的邊際利潤． （ 2）當(dāng) P=50時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟意義． （ 3）使得利潤最大的定價 P． 【 詳解 】 （ 1）設(shè)利潤為 y ，則 6000100040)206000( 2 ?????? QPQy ， 邊際利潤為 .5004039。 Qy ?? （ 2）當(dāng) P=50時， Q=10000，邊際利潤為 20． 經(jīng)濟意義為：當(dāng) P=50 時，銷量每增加一個，利潤增加 20． （ 3）令 039。?y ，得 .40100002022060,20220 ???? PQ 19．（本題滿分 10分） 設(shè)函數(shù) ??xf 在 ),0[ ?? 上可導(dǎo)， ? ? 00 ?f ，且 2)(lim ???? xfx，證明 （ 1）存在 0?a ，使得 ? ? 。1?af （ 2）對（ 1）中的 a ，存在 ),0( a?? ，使得 af 1)(39。 ?? ． 【 詳解 】 證明（ 1）由于 2)(lim ???? xfx，所以存在 0?X ，當(dāng) Xx? 時，有 25)(23 ?? xf ， 又由于 ??xf 在 ),0[ ?? 上連續(xù)，且 ? ? 00 ?f ，由介值定理，存在 0?a ，使得 ? ? 。1?af （ 2）函數(shù) ??xf 在 ],0[ a 上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理， 存在 ),0( a?? ，使得 aa faff 1)0()()(39。 ???? ． 20．（本 題滿分 11分） 設(shè) ?????????????????? bBaA 1 10,011，問當(dāng) ba, 為何值時，存在矩陣 C，使得 BCAAC ?? ，并求出所有矩陣 C． 【 詳解 】 顯然由 BCAAC ?? 可知，如果 C存在，則必須是 2階的方陣．設(shè) ????????? 43 21 xxxxC ， 則 BCAAC ?? 變形為 ????????????????? ???????? baxxxxx axxaxaxx 1 103243142132 ， 即得到線性方程組???????????????????baxxxxxaxxaxaxx3243142132110，要使 C 存在，此線性方程組必須有解，于是對方程組的增廣矩陣進行初等行變換如下 ? ????????????????????????????????????????baabaaaabA000010000001011101010111011010010| ， 所以，當(dāng) 0,1 ??? ba 時，線性方程組有解，即存在矩陣 C，使得 BCAAC ?? ． 此時， ? ??????????????? ???00000000000011011101| bA ， 所以方程組的通解為?????????????????????????????????????????????????????????????100101110001214321CCxxxxx ，也就是滿足 BCAAC ?? 的矩陣C為 ???????? ???? 21 1211 CC CCCC ，其中 21,CC 為任意常數(shù)． 21．（本題滿分 11分） 設(shè) 二 次 型 23322112332211321 )()(2),( xbxbxbxaxaxaxxxf ?????? ．記??????????????????????321321,bbbaaa?? ． （ 1）證明二次型 f 對應(yīng)的矩陣為 TT ???? ?2 ； （ 2）若 ??, 正交且為單位向量，證明 f 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 22212 yy ? ． 【 詳解 】證明：（ 1） ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,2,,,2)()(2),(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxbbbbbbxxxxxxaaaaaaxxxxbxbxbxaxaxaxxxfTTTT???????? 所以二次型 f 對應(yīng)的矩陣為 TT ???? ?2 ． 證明（ 2）設(shè) ?A TT ???? ?2 ，由于 0,1 ?? ??? T 則 ? ? ???????????? 222 2 ????? TTTA ，所以 ? 為矩陣對應(yīng)特征值 21?? 的特征向量； ? ? ???????????? ????? 22