【正文】 ???? ． 20．（本 題滿(mǎn)分 11分） 設(shè) ?????????????????? bBaA 1 10,011，問(wèn)當(dāng) ba, 為何值時(shí)，存在矩陣 C，使得 BCAAC ?? ，并求出所有矩陣 C． 【 詳解 】 顯然由 BCAAC ?? 可知，如果 C存在，則必須是 2階的方陣．設(shè) ????????? 43 21 xxxxC ， 則 BCAAC ?? 變形為 ????????????????? ???????? baxxxxx axxaxaxx 1 103243142132 ， 即得到線(xiàn)性方程組???????????????????baxxxxxaxxaxaxx3243142132110，要使 C 存在，此線(xiàn)性方程組必須有解，于是對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換如下 ? ????????????????????????????????????????baabaaaabA000010000001011101010111011010010| ， 所以，當(dāng) 0,1 ??? ba 時(shí)，線(xiàn)性方程組有解，即存在矩陣 C，使得 BCAAC ?? ． 此時(shí)， ? ??????????????? ???00000000000011011101| bA ， 所以方程組的通解為?????????????????????????????????????????????????????????????100101110001214321CCxxxxx ，也就是滿(mǎn)足 BCAAC ?? 的矩陣C為 ???????? ???? 21 1211 CC CCCC ，其中 21,CC 為任意常數(shù)． 21．（本題滿(mǎn)分 11分） 設(shè) 二 次 型 23322112332211321 )()(2),( xbxbxbxaxaxaxxxf ?????? ．記??????????????????????321321,bbbaaa?? ． （ 1）證明二次型 f 對(duì)應(yīng)的矩陣為 TT ???? ?2 ； （ 2）若 ??, 正交且為單位向量，證明 f 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 22212 yy ? ． 【 詳解 】證明：（ 1） ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,2,2)()(2),(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxbbbbbbxxxxxxaaaaaaxxxxbxbxbxaxaxaxxxfTTTT???????? 所以二次型 f 對(duì)應(yīng)的矩陣為 TT ???? ?2 ． 證明（ 2）設(shè) ?A TT ???? ?2 ，由于 0,1 ?? ??? T 則 ? ? ???????????? 222 2 ????? TTTA ，所以 ? 為矩陣對(duì)應(yīng)特征值 21?? 的特征向量； ? ? ???????????? ????? 22。 ?? ． 【 詳解 】 證明（ 1）由于 2)(lim ???? xfx，所以存在 0?X ，當(dāng) Xx? 時(shí)，有 25)(23 ?? xf ， 又由于 ??xf 在 ),0[ ?? 上連續(xù)，且 ? ? 00 ?f ，由介值定理，存在 0?a ，使得 ? ? 。?y ，得 .40100002022060,20220 ???? PQ 19．（本題滿(mǎn)分 10分） 設(shè)函數(shù) ??xf 在 ),0[ ?? 上可導(dǎo)， ? ? 00 ?f ，且 2)(lim ???? xfx，證明 （ 1）存在 0?a ，使得 ? ? 。22222)1(221l i m2l i m ???????????????? ?????????? ?????fnnnfnfnnnfnn 10．設(shè)函數(shù) ? ?yxzz ,? 是由方程 ? ? xyyz x ?? 確定，則 ???)2,1(|xz ． 【 詳解 】 設(shè) ? ? xyyzzyxF x ??? )(, ，則? ? 1)(),(,)l n ()(, ??????? xzxx yzxzyxFyyzyzzyxF ， 當(dāng) 2,1 ?? yx 時(shí)， 0?z ，所以 2ln22|)2,1( ????xz． 11． ??? ?? xdxx1 2)1( ln ． 【 詳解 】 2ln|1ln)1( 1|1 ln1 1ln)1( ln 11111 2 ???????????? ?????????? ??? x xdxxxxxxxdxdxx 12．微分方程 041 ?????? yyy 的通解為 ． 【 詳解 】方程的特征方程為 041 ?????r ，兩個(gè)特征根分別為 2121 ????，所以方程通解為 221 )( xexCCy ?? ，其中 21,CC 為任意常數(shù)． 13．設(shè) ? ?ijaA? 是三階非零矩陣， A 為其行列式， ijA 為元素 ija 的代數(shù)余子式，且滿(mǎn)足)3,2,1,(0 ??? jiaA ijij ，則 A = ． 【 詳解 】由條件 )3,2,1,(0 ??? jiaA ijij 可知 0* ?? TAA ，其中 *A 為 A 的伴隨矩陣，從而可知 AAAA T ???? ?13** ，所以 A 可能為 1? 或 0． 但由結(jié)論???????????1)(,01)(,1)(,)( *nArnArnArnAr 可知， 0* ?? TAA 可知 *)()( ArAr ? ,伴隨矩陣的秩只能為 3，所以 .1??A 14．設(shè)隨機(jī)變 量 X服從標(biāo)準(zhǔn)正分布 )1,0(~ NX ，則 ? ??XXeE 2 ． 【 詳解 】 ? ??XXeE 2dxexedxexdxexe xxxx ??? ???? ?????? ????? ?? ? ???? 2 )2(222 )2(22 222 )22(2221 ??? 222222 22)(2222 eeXEedtedttee tt ??????????? ?? ?? ???? ????? ??． 所以為 22e ． 三、解答題 15．（本題滿(mǎn)分 10分） 當(dāng) 0?x 時(shí)， xxx 3co s2co sco s1 ? 與 nax 是等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù) na, ． 【分析】主要是考查 0?x 時(shí)常見(jiàn)函數(shù)的馬克勞林展開(kāi)式． 【 詳解 】當(dāng) 0?x 時(shí)， )(211c os 22 xoxx ??? ，)(21)()2(2112c os 2222 xoxxoxx ?????? ，)(291)()3(2113c os 2222 xoxxoxx ?????? ， 所以)(7))(291))((21))((211(13c os2c osc os1 22222222 xoxxoxxoxxoxxxx ???????????， 由于 xxx 3co s2co sco s1 ? 與 nax 是等價(jià)無(wú)窮小，所以 2,7 ?? na ． 16．（本題滿(mǎn)分 10分） 設(shè) D是由曲線(xiàn) 3 xy? ，直線(xiàn) ax? )0( ?a 及 x 軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形， yxVV, 分別是 D繞 x軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若 yx VV ?10 ，求 a 的值． 【 詳解 】由微元法可知 ??? 350 320 2 53 adxxdxyV aax ??? ?? ； ??? 370 340 762)(2 adxxdxxxfV aay ??? ?? ； 由條件 yx VV ?10 ，知 77?a ． 17．（本題滿(mǎn)分 10分） 設(shè)平面區(qū)域 D是由曲線(xiàn) 8,3,3 ???? yxxyyx 所圍成，求 ??D dxdyx2． 【 詳解 】 34168362 23320 2222 21 ????? ?????????? ? xxxxDDD dydxxdydxxdx dyxdx dyxdx dyx． 18．（本題滿(mǎn)分 10分） 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 6000元，可變成本為 20 元 /件，價(jià)格函數(shù)為 ,100060 QP ?? （ P是單價(jià)，單位：元， Q 是銷(xiāo)量，單位：件），已知產(chǎn)銷(xiāo)平衡，求： （ 1）該的邊際利潤(rùn)． （ 2）當(dāng) P=50時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義． （ 3）使得利潤(rùn)最大的定價(jià) P． 【 詳解 】 （ 1）設(shè)利潤(rùn)為 y ，則 6000100040)206000( 2 ?????? QPQy ， 邊際利潤(rùn)為 .5004039。1 2 ???????? ?????， 所以弧長(zhǎng)為 4 1)1(21 21????? ?? edxxxdss e ． （ 2）設(shè)形心坐標(biāo)為 ? ?yx, ， 則)7(4)32(31271632324324ln214101ln21410122????????????????????eeeeeedydxdyx dxdx dyx dx dyxxxxxeDD ． 22．本題滿(mǎn)分 11 分） 設(shè) ?????????????????? bBaA 1 10,011，問(wèn)當(dāng) ba, 為何值時(shí)，存在矩陣 C，使得BCAAC ?? ，并求出所有矩陣 C． 【 詳解 】 顯然由 BCAAC ?? 可知，如果 C 存在，則必須是 2 階的方陣．設(shè)????????? 43 21 xx xxC ， 則 BCAAC ?? 變形為 ????????????????? ???????? baxxxxx axxaxaxx 1 103243142132 ， 即得到線(xiàn)性方程組???????????????????baxxxxxaxxaxaxx3243142132110，要使 C 存在，此線(xiàn)性方程組必須有解，于是對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換如下 ? ????????????????????????????????????????baabaaaabA000010000001011101010111011010010| ， 所以，當(dāng) 0,1 ??? ba 時(shí)，線(xiàn)性方程組有解，即存在矩陣 C，使得BCAAC ?? ． 此時(shí)， ? ??????????????? ???00000000000011011101| bA ， 所以方程組的通解為?????????????????????????????????????????????????????????????100101110001214321CCxxxxx ，也就是滿(mǎn)足BCAAC ?? 的矩陣 C為 ???????? ???? 21 1211 CC CCCC ，其中 21,C 為任意常數(shù)．