【正文】 : .1 0 1 2 1 1x y z x y zll? ? ? ? ?? ? ? ??則過(guò) 1l 且平行于 2l 的平面方程是 _____________. (4)已知當(dāng) 0x? 時(shí) 12 3,(1 ) 1ax??與 cos 1x? 是等價(jià)無(wú)窮小 ,則常數(shù)a =_____________. (5)設(shè) 4 階方陣5 2 0 02 1 0 0 ,0 0 1 20 0 1 1????? ?????A 則 A 的逆陣 1?A =_____________. 二、選擇題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .每小題給出的四 個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一個(gè)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) ) (1)曲線 221e1exxy???? ? (A)沒(méi)有漸近線 (B)僅有水平漸近線 (C)僅有鉛直漸近線 (D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線 (2)若連續(xù)函數(shù) ()fx滿足關(guān)系式 20( ) ( ) ln 2 ,2tf x f d t???? 則 ()fx等于 (A)eln2x (B) 2e ln2x (C)e ln2x? (D) 2e ln2x? (3)已知級(jí)數(shù) 12111( 1 ) 2 , 5 ,n nnnnaa??????? ? ???則級(jí)數(shù)1 nn a???等于 (A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)設(shè) D 是平面 xoy 上以 (1,1) 、 ( 1,1)? 和 ( 1, 1)?? 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域 1,D是 D 在第一象限的部 分 ,則 ( c o s s in )D x y x y d x d y??? 等于 (A)12 cos si nD x ydxdy?? (B)12D xydxdy?? (C)14 ( c o s s in )D x y x y d x d y??? (D)0 (5)設(shè) n 階方陣 A 、 B 、 C 滿足關(guān)系式 ,?ABC E 其中 E 是 n 階單位陣 ,則必有 (A) ?ACB E (B) ?CBA E (C) ?BAC E (D) ?BCA E 三、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)求 20lim(cos ) .x x??? (2)設(shè) n 是曲面 2 2 22 3 6x y z? ? ?在點(diǎn) (1,1,1)P 處的指向外側(cè)的法向量 ,求函數(shù) 2268xyu z?? 在點(diǎn) P 處沿方向 n 的方向?qū)?shù) . (3)22( ) ,x y z dv? ?????其中 ? 是由曲線 2 20yzx ??繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面 4z? 所圍城的立體 . 四、 (本題滿分 6分 ) 過(guò)點(diǎn) (0,0)O 和 ( ,0)A? 的曲線族 sin ( 0)y a x a??中 ,求一條曲線 ,L 使沿該曲線 O 從到 A 的積分 3(1 ) ( 2 )L y d x x y d y? ? ?? 的值最小 . 五、 (本題滿分 8分 ) 將函數(shù) ( ) 2 ( 1 1)f x x x? ? ? ? ?展開(kāi)成以 2 為周期的傅里葉級(jí)數(shù) ,并由此求級(jí)數(shù)211n n???的和 . 六、（本題滿分 7分） 設(shè)函數(shù) ()fx 在 [0,1] 上連續(xù) ,(0,1) 內(nèi)可導(dǎo) ,且 1233 ( ) (0),f x dx f??證明在(0,1) 內(nèi)存在一點(diǎn) ,c 使 ( ) ? ? 七、（本題滿分 8分） 已知 1 2 3 4( 1 , 0 , 2 , 3 ) , ( 1 , 1 , 3 , 5 ) , ( 1 , 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 2 , 4 , 8 )aa? ? ? ? ? ? ?α α α α及 (1,1, 3,5).b??β (1)a 、 b 為何值時(shí) ,β 不能表示成 1 2 3 4, , ,α α α α 的線性組合 ? (2)a 、 b 為何值時(shí) ,β 有 1 2 3 4, , ,α α α α 的唯一的線性表示式 ?寫出該表示式 . 八、（本題滿分 6分） 設(shè) A 是 n 階正定陣 ,E 是 n 階單位陣 ,證明 ?AE的行列式大于 1. 九、（本題滿分 8分） 在上半平面求一條向上凹的曲線 ,其上任一點(diǎn) ( , )Pxy 處的曲率等于此曲線在該點(diǎn) 的法線段 PQ 長(zhǎng)度的倒數(shù) (Q 是法線與 x 軸的交點(diǎn) ),且曲線在點(diǎn) (1,1) 處的切線與 x 軸平行 . 十、填空題 (本題共 2小題 ,每小題 3分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1) 若隨機(jī)變量 X 服 從 均 值 為 2 、 方 差 為 2? 的正態(tài)分布 , 且{2 4} ,PX? ? ?則 { 0}PX? =____________. (2)隨機(jī)地向半圓 20 2 (y ax x a? ? ?為正常數(shù) )內(nèi)擲一點(diǎn) ,點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比 ,則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與 x 軸的夾角小于4? 的概率為 ____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的密度函數(shù)為 ( , )f x y ? ( 2 )2 e 0 , 00 xy xy?? ??其 它 求隨機(jī)變量 2Z X Y?? 的分布函數(shù) . 1992 年全國(guó)碩士 研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè)函數(shù) ()y y x? 由方程 e cos( ) 0xy xy? ??確定 ,則 dydx =_____________. (2) 函數(shù) 2 2 2l n( )u x y z? ? ?在點(diǎn) (1,2, 2)M ? 處 的 梯 度grad Mu =_____________. (3)設(shè) ()fx? 211x?? 00 xx? ?? ? ??? ,則其以 2? 為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x ?? 處收斂于 _____________. (4)微分方程 tan cosy y x x???的通解為 y =_____________. (5)設(shè)1 1 1 2 12 1 2 1 212,nnn n n na b a b a ba b a b a ba b a b a b???????A 其中 0 , 0 , ( 1 , 2 , , ) .iia b i n? ? ?則矩陣 A 的秩 ()rA =_____________. 二、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小 題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一個(gè)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) ) (1)當(dāng) 1x? 時(shí) ,函數(shù) 12 11e1 xxx ??? 的極限 (A)等于 2 (B)等于 0 (C)為 ? (D)不存在但不為 ? (2)級(jí)數(shù)1 ( 1) (1 cos )(nnan?? ???常數(shù) 0)a? (A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對(duì)收斂 (D)收斂性與 a 有關(guān) (3)在曲線 23,x t y t z t? ? ? ?的所有切線中 ,與平面 24x y z? ? ? 平行的切線 (A)只有 1 條 (B)只有 2 條 (C)至少有 3 條 (D)不存在 (4)設(shè) 32( ) 3 ,f x x x x??則使 ()(0)nf 存在的最高階數(shù) n 為 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5)要使12100 , 121? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?ξ ξ 都是線性方程組 ?AX 0 的解 ,只要系數(shù)矩陣A 為 (A)? ?2 1 2? (B) 2 0 10 1 1??????? (C) 1 0 20 1 1???????? (D) 0 1 14220 1 1????????? 三、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)求20e sin 1lim .11xxxx????? (2)設(shè) 22(e si n , ),xz f y x y??其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,求 2 .zxy??? (3)設(shè) ()fx? 21exx?? 00xx??,求 31 ( 2) .f x dx?? 四、 (本題滿分 6分 ) 求微分方程 32 3 e xy y y ??? ?? ? ?的通解 . 五、 (本題滿分 8分 ) 計(jì)算曲面積分3 2 3 2 3 2( ) ( ) ( ) ,x a z d y d z y a x d z d x z a y d x d y? ? ? ? ? ???其中? 為上半球面 2 2 2z a x y? ? ? 的上側(cè) . 六、（本題滿分 7分） 設(shè) ( ) 0, (0) 0,f x f?? ??證 明 對(duì) 任 何 120, 0,xx??有1 2 1 2( ) ( ) ( ) .f x x f x f x? ? ? 七、（本題滿分 8分） 在變力 F yz i zx j xyk? ? ?的作用下 ,質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面2 2 22 2 2 1x y za b c? ? ?上第一卦限的點(diǎn) ( , , ),M ??? 問(wèn)當(dāng) ? 、 ? 、 ? 取何值時(shí) ,力 F 所做的功 W 最大 ?并求出 W 的最大值 . 八、（本題滿分 7分） 設(shè)向量組 1 2 3,α α α 線性相關(guān) ,向量組 234,α α α 線性無(wú)關(guān) ,問(wèn) : (1) 1α 能否由 23,αα 線性表出 ?證明你的結(jié)論 . (2) 4α 能否由 1 2 3,α α α 線性表出 ?證明你的結(jié)論 . 九、（本題滿分 7分） 設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為 1 2 31, 2, 3,? ? ?? ? ?對(duì)應(yīng)的特征向量依次為 1 2 31 1 11 , 2 , 3 ,1 4 9? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?ξ ξ ξ又向量12.3???????????β (1)將 β 用 1 2 3,ξ ξ ξ 線性表出 .(2)求 (n nAβ 為自然數(shù) ). 十、填空題 (本題共 2小題 ,每小題 3分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1) 已知 11( ) ( ) ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) ,46P A P B P C P A B P A C P B C? ? ? ? ? ?則事件 A 、 B 、 C 全不 發(fā)生的概率為 ____________. (2) 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 1 的 指 數(shù) 分 布 , 則數(shù)學(xué)期望2{ e }XEX ?? =____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立 ,X 服從正態(tài)分布 2( , ),NY?? 服從 [ , ]??? 上的均勻分布 ,試求 Z X Y??的概率分布密度 (計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) ? 表示 ,其中 221( ) e )2txx d t? ????? ?. 1993 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)函數(shù)11( ) ( 2 ) ( 0 )xF x d t xt? ? ?? 的單調(diào)減少區(qū)間為 _____________. (2) 由曲線 223 2 120xyz ???繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)(0, 3, 2)處 的指向外側(cè)的單位法向量為 _____________. (3) 設(shè)函數(shù) 2( ) ( )f x x x x? ? ?? ? ? ? ?的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 展 開(kāi) 式 為01 ( c o s s in ) ,2 nnna a n x b n x?????則其中系數(shù) 3b 的值為 _____________. (4)設(shè)數(shù)量場(chǎng) 2 2 2ln ,u x y z? ? ?則 div(grad )u =_____________. (5)設(shè) n 階矩陣 A 的各行元素之和均為零 ,且 A 的秩為 1,n? 則線性方程組?AX 0 的通解為 _____________. 二、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一個(gè)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) ) (1)設(shè) s in 2 3 40( ) sin ( ) , ( ) ,xf x t d t g x x x? ? ??則當(dāng) 0x? 時(shí) , ()fx 是