[研究生入學(xué)考試]數(shù)一歷年真題(參考版)
2025-01-12 02:05本頁面
【正文】 (2) 六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功. 設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a m. 根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0r1). 問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注：m表示長度單位米.）七 、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件的解.八 、（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零， ，其中，(1) 討論F(t)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2) 證明當(dāng)t0時(shí)，九 、（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為十一 、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二 、（本題滿分8分）設(shè)總體X的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體X中抽取簡單隨機(jī)樣本，記(1) 求總體X的分布函數(shù)F(x)。（23）（本題滿分11 分）設(shè)總體的概率密度為，其中參數(shù)未知，,…是來自總體的簡單隨機(jī)樣本(Ⅰ)求參數(shù)的矩估計(jì)量；（Ⅱ）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）設(shè)函數(shù)則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）0. 1. 2. 3.（2）函數(shù)在點(diǎn)處的梯度等于（ ）. . . .（3）在下列微分方程中，從（為任意常數(shù)）為通解的是（ ）. . . .（4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂. 若收斂，則收斂. 若單調(diào)，則收斂.（5）設(shè)為階非零矩陣為階單位矩陣若，則（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）設(shè)為3階非零矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖，則的正特征值個(gè)數(shù)（ ）0. 1. 2. 3. （7）隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為，則分布函數(shù)為（ ） . . . . （8）隨機(jī)變量，且相關(guān)系數(shù)，則（ ） . .. . 二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）微分方程滿足條件的解是. （10）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（11）已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域?yàn)?（12）設(shè)曲面是的上側(cè)，則.（13）設(shè)為2階矩陣，為線性無關(guān)的2維列向量，則的非零特征值為.（14）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則.三、解答題：15－23小題，、證明過程或演算步驟.(15)（本題滿分10分）求極限.(16)（本題滿分12分） 計(jì)算曲線積分，其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段.(17)（本題滿分12分）已知曲線，求點(diǎn)距離面最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近的點(diǎn).(18)（本題滿分12分）函數(shù)連續(xù)，證明可導(dǎo)，且.(19)（本題滿分12分），用余弦級數(shù)展開，并求的和(20)（本題滿分9分），為的轉(zhuǎn)置，為的轉(zhuǎn)置（1）證；（2）若線性相關(guān)，則.（21）（本題滿分9分）設(shè)矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，（1）求證（2）為何值，方程組有唯一解，求（3）為何值，方程組有無窮多解，求通解（22）（本題滿分9分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，概率分布為，概率密度為，記（1）求（2）求的概率密度．（23）（本題滿分9分） ，（1）證 是的無偏估計(jì)量.（2）當(dāng)時(shí) ，求.2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是 （A） （B） （C） （D） [ ]（2）曲線的漸近線的條數(shù)為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ]（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是： （A） (B) （C） （D） [ ]（4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （C）若存在，則 （D）若存在，則. [ ]（5）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. [ ]（6）設(shè)曲線（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），過第Ⅱ象限內(nèi)的點(diǎn)和第Ⅳ象限內(nèi)的點(diǎn)，為上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，則下列小于零的是 （A）. （B）（C）. （D）. [ ]（7）設(shè)向量組線性無關(guān)
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