【正文】 ? ?? ； 由條件 yx VV ?10 ，知 77?a ． 17．（本題滿分 10分） 設(shè)平面區(qū)域 D 是由曲線 8,3,3 ???? yxxyyx 所圍成，求 ??D dxdyx2． 【 詳解 】 34168362 23320 2222 21 ????? ?????????? ? xxxxDDD dydxxdydxxdx dyxdx dyxdx dyx． 18．（本題滿分 10分） 設(shè)奇函數(shù) )(xf 在 ? ?1,1? 上具有二階導數(shù)，且 1)1( ?f ，證明： （ 1）存在 )1,0(?? ，使得 ? ? 139。)( 22 xyyfxyyfxyfxxyfxyxyfxyyxyzxzyx ??????????? ???????? ．應該選（ A）． 6 ．設(shè) kD 是圓域 ? ?1|),( 22 ??? yxyxD 的第 k 象 限 的 部 分 ， 記?? ?? kDk dx dyxyI )( ，則（ ） （ A） 01?I （ B） 02?I （ C） 03?I （ D） 04?I 【 詳解 】由極坐標系下二重積分的計算可知 ? ? ??????????????22122110222)1(|c o ss i n31)s i n( s i n31)c o s( s i n)(kkkkkkDkddrrdd x d yxyIk???????????? ????? 所以 ?? 32,32,04231 ????? IIII，應該選（ B）． 7．設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ均為 n 階矩陣，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，則 （ A）矩陣 C的行向量組與矩陣 A 的行向量組等價． （ B）矩陣 C的列向量組與矩陣 A 的列向量組等價． （ C）矩陣 C的行向量組與矩陣 B 的行向量組等價． （ D）矩陣 C的列向量組與矩陣 B 的列向量組等價． 【 詳解 】把矩陣 A， C 列分塊如下： ? ? ? ?nn CA ?????? , 2121 ?? ?? ，由于ＡＢ＝Ｃ，則可知 ),2,1(2211 nibbb niniii ?? ????? ???? ，得到矩陣C 的列向量組可用矩陣 A 的列向量組線性表示．同時由于 B 可逆，即1??CBA ，同理可知矩陣 A 的列向量組可用矩陣 C 的列向量組線性表示，所以矩陣 C的列向量組與矩陣 A的列向量組等價．應該選（ B）． 8．矩陣??????????1111aabaa 與矩陣??????????00000002b 相似的充分必要條件是 （ A） 2,0 ?? ba （ B） 0?a ， b 為任意常數(shù) （ C） 0,2 ?? ba （ D） 2?a ， b 為任意常數(shù) 【 詳解 】注意矩陣??????????00000002b 是對角矩陣，所以矩陣 A= ??????????1111aabaa 與矩陣??????????00000002b 相似的充分必要條件是兩個矩陣的特征值對應相等． )22)2((111122 abbaabaaAE ????????????????? ??????? 從而可知 bab 222 2 ?? ，即 0?a ， b 為任意常數(shù)，故選擇（ B）． 二、填空題（本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 把答案填在題中橫線上） 9． ??????? ???xx xx 10)1ln (2lim ． 【 詳解 】21)(21(lim)1l n (lim1010222020)1l n (1l i m)1l n (2l i m eeex xxx x xxoxxxxxxxxxxxx ????????? ?????????? ???????????． 10．設(shè)函數(shù) dtexf x t?? ?? 1 1)(，則 )(xfy? 的反函數(shù) )(1 yfx ?? 在 0?y 處的導數(shù) ??0|ydydx ． 【 詳解 】由反函數(shù)的求導法則可知 110 11|1|???? ??? edxdydydxxy． 11．設(shè)封閉曲線 L的極坐標方程為 ?????? ???? 663c os ????r t為參數(shù)，則 L所圍成的平面圖形的面積為 ． 【 詳解 】12c os313c os2121 20 26 6 26 6 2 ????????? ???? ??? ?? dttddrA 所以．答案為 12? ． 12．曲線上????????21lnarctantytx 對應于 1?t 處的法線方程為 ． 【 詳解 】當 1?t 時， 2ln21,4 ?? yx ? ， 1|111|39。2)(39。2 xyyf （ B） )(39。 ?? fy ． 2)0(39。)(s in( ????? yyxyyxy ，代入 1,0 ?? yx ，知 1)0(39。 第二部分：數(shù)二真題及答案解析 一、選擇題 1— 8小題．每小題 4分，共 32 分． １．設(shè)2)(),(s in1c os ??? ??? xxxx，當 0?x 時， ??x? （ ） （ A）比 x 高階的無窮小 （ B）比 x 低階的無窮小 （ C）與 x 同階但不等價無窮小 （ D）與 x 等價無窮小 【 詳解 】顯然當 0?x 時 )(~21~)(s i n,21~)(s i n1c os 2 xxxxxxx ??? ???? ，故應該選（ C）． 2．已知 ??xfy? 是由方程 ? ? 1lnco s ??? xyxy 確 定，則 ????????? ????????? 12lim nfnn（ ） （ A） 2 （ B） 1 （ C） 1 （ D） 2 【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導法則信函數(shù)在一點導數(shù)的定義． 【 詳解 】將 0?x 代入方程得 1)0( ?? fy ，在方程兩邊求導，得0139。 求 ? 的矩估計量； 求 ? 的最大似然估計量。 證明： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 11 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 23 3 3 3211 2 , , , , , , , ,2222 ( 2 ) 2 2=2(2T T T T T T TTTT T TTa x b xf x x x a a a a x x x x b b b b xa x b xX X X X X XfAAA? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ????故 的 矩 陣 A=為 的 對 應 于 的 特 征 向 量又? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2232212) = 2 ==12 2 3=02.TTTTAr A r r r rf y y? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ???為 的 對 應 于 的 特 征 向 量故 在 正 交 變 換 下 的 標 準 型 為 22.（本題滿分 11 分） 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為21 , 0 3 ,()0,xxfx a? ???? ??? 其 他令隨機變量2, 1, 1 2,1, 2xY x xx???? ? ????? 求 Y 的分布函數(shù)； 求概率 ? ?P X Y? . 解： （ 2） { } { | 1 } { 1 } { | 2 } { 2 } { | 1 2 } { 1 2 }{ 2 | 1 } { 1 } { 1 | 2 } { 2 } { | 1 2 } { 1 2 }1 { 1 } 0 { 2 } 1 { 1 2 }1 7 82 7 2 7 2 7P X Y P X Y X P X P X Y X P X P X Y X P XP X X P X P X X P X P X X X P XP X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 23.(本題滿分 11 分 ) 設(shè)總體 X 的概率密度 為23 , 0 ,( 。 21.（本題滿分 11 分） 設(shè) 二 次 型 221 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( , , ) 2( ) ( )f x x x a x a x a x b x b x b x? ? ? ? ? ?，記123aaa????????????，123bbb????????????。 解：令1234xxC xx???????，則 12 1 3 2 434 12110 xx x a x x a xaAC xx xx???? ???????? ?????? ???? 1 2 1 2 13 4 3 4 3110x x x x a xaCA x x x x a x?? ? ? ?????? ? ? ??? ???? ? ? ? 2 3 1 2 41 3 4 2 3x a x a x x a xA C C A x x x x a x? ? ? ? ??? ? ? ?， 則由 AC CA B??得 231 2 41 3 423011x axax x axx x xx ax b? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ??? ，此為 4 元非齊次線性方程組，欲使 C 存在，此線性方程組必須有解，于是 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 01 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 10 1 0 0 1 0 0 1 0aaa a a a aAaaa b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 10 1 0 00 0 0 0 10 0 0 0aab???????? ??? 所以，當 1, 0ab?? ? 時，線性方程組有解，即存在 C ，使 AC CA B??。 求曲面 ? 的方程； 求 ? 的形心坐標。 類似的，在點 4(1, )3? 處， 1 1 13 3 34 4 4( 1 , ) 3 , ( 1 , ) , ( 1 , )3 3 3x x x y y yA f e B f e C f e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 因為 22 30, 2 0A AC B e?? ? ? ?，所以 4(1, )3? 是極小值點，極小值為 11334 4 1(1, ) ( )3 3 3f e e??? ? ? ? ? ? (18)(本題滿分 10 分 ) 設(shè)奇函數(shù) f(x)在 ? ?1,1? 上具有二階導數(shù)，且 f(1)=1，證明： （ I）存在 .1)(1,0 ??? ?? f），使得（ （Ⅱ）存在 1 , 1 ( ) 1 .ff? ? ??? ?? ? ? ?（ ） ， 使 得 （ ） 解答：先求駐點，令 2331( ) 031(1 ) 03xyxxyyf x y x ef y x e??? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ，解得 112433xxyy?? ????????? ????或 為了判斷這兩個駐點是否為極值點，求二階導數(shù) 232331( 2 2