【正文】 ① (0) 130h ? . ② (3)解①得 13() 10h t t C?? ? . 由②得 130C? ,即 13( ) 13010h t t? ? ? . 令 () 0ht? ,得 100t? .因此 ,高度為 130 厘米的雪堆全部融化所需時(shí)間為 100 小時(shí) . 九、 【 解 】 由于 ( 1,2 )i is? ? 是 12,s? ? ? 線性組合 ,又 12,s? ? ? 是 0Ax? 的解 ,所以根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知 ( 1,2 )i is? ? 均為 0Ax? 的解 . 從 12,s? ? ? 是 0Ax? 的基礎(chǔ)解系 ,知 ()s n r A?? . 下面來分析 12,s? ? ? 線性無關(guān)的條件 .設(shè) 1 1 2 2 0ssk k k? ? ?? ? ?,即 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 3 3 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0s s s st k t k t k t k t k t k t k t k? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?. 由于 12,s? ? ? 線性無關(guān) ,因此有 1 1 22 1 1 22 2 1 32 1 10,0,0,0.ssst k t kt k t kt k t kt k t k????? ????????????? (*) 因?yàn)橄禂?shù)行列式 122112 1 1 2210 0 00 0 00 0 0 ( 1 )0 0 0s s sttttt t t ttt?? ? ?, 所以當(dāng) 112( 1) 0s s stt?? ? ?時(shí) ,方程組 (*)只有零解 12 0sk k k? ? ? ?. 從而 12,s? ? ? 線性無關(guān) . 十、 【 解 】 (1)由于 AP PB? ,即 2 2 3 2 2( , , ) ( , , ) ( , , 3 2 )A x A x A x A x A x A x A x A x A x A x? ? ? 2 0 0 0( , , ) 1 0 30 1 2x A x A x??????????, 所以 0 0 01 0 30 1 2B??????????. (2)由 (1)知 AB,那么 A E B E??,從而 1 0 0| | | | 1 1 3 40 1 1A E B E? ? ? ? ? ??. 十一、 【 解 】 (1) { | } ( 1 ) , 0 , 0 , 1 , 2 ,m m n mnP Y m X n C p p m n n?? ? ? ? ? ? ?. (2) { , }P X n Y m??= { } { | }P X n P Y m X n? ? ? = ( 1 ) , 0 , 0 , 1 , 2 , .!n m m n mne C p p m n nn ?? ??? ? ? ? ? 十二、 【 解 】 易見隨機(jī)變量 11()nXX?? , 22()nXX?? , 2,( )nnXX? 相互獨(dú)立都服從正態(tài)分布 2(2 ,2 )N ?? .因此可以將它們看作是取自總體 2(2 ,2 )N ?? 的一個(gè)容量為 n 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 .其樣本均值為 21111( ) 2nni n i iiiX X X X???? ? ???, 樣本方差為 2111( 2 )n i n ii X X X Ynn?? ? ? ????. 因樣本方差是總體方差的無偏估計(jì) ,故 21( ) 21EYn ??? ,即 2( ) 2( 1)E Y n ???. 2022 年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析 一、填空題 (1)【 分析 】 原式2ln 1 ln ee dxxx?? ??? ? ? ?? (2)【 分析 】 方程兩邊對(duì) x 兩次求導(dǎo)得 39。2 39。 39。39。 39。 ( ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) f x f x ff x f x? ???? . 39。39。()fx? ,則有 39。39。()fx在 (1, 1)? 嚴(yán)格單調(diào) ,? 唯一 . (2)對(duì) 39。39。39。39。( ) (0) ( )f x f x f x??? (? 與 x 有關(guān) )。 2 39。22 01( a r c ta n ) ( 1 ) , | | 11 nnnx x xx??? ? ? ?? ?, ① 積分得 39。 (1) 2 3 ( 2 3 ) 1 7? ? ? ? ?, 31( ) | 3 1 7 5 1xd xdx ? ? ? ? ?. 五、 【 分析與求解 】 關(guān)鍵是將 arctanx 展成冪級(jí)數(shù) ,然后約去因子 x ,再乘上 21x? 并化簡(jiǎn)即可 . 直接將 arctanx 展開辦不到 ,但 39。1 (1,1)(1,1) 2ff x????, 39。 39。 39。12( ) ( , ( , ) ) ( , ( , ) ) ( , )dx f x f x x f x f x x f x xdx? ??, 39。 39。1( ) | 3 (1 ) (1 ) 3 (1 )xd xdx ? ? ? ?? ??,歸結(jié)為求 39。當(dāng) 0a? 時(shí) , 1XY? ?? ,由此便知1XY? ?? ,應(yīng)選 (A). 事實(shí)上 , ( , ) ( , )C ov X Y C ov X n X D X? ? ? ?, ()DY D X DX? ? ?,由此由相關(guān)系數(shù)的定義式有 ( , ) 1XY C o v X Y D XD X D Y D X D Y? ?? ? ? ?. 三、 【 解 】 原式 = 222211a r c ta n ( ) [ a r c ta n ]2 2 ( 1 )xx x x xxxdee d e e e ee??? ? ? ? ??? = 2221 ( a r c ta n )21xxxx d e d eee ee?? ? ? ??? = 21 ( a r c ta n a r c ta n )2 x x x xe e e e C??? ? ? ?. 四、 【 解 】 先求 (1 ) (1 , (1 , 1 ) ) (1 , 1 ) 1f f f? ? ? ?. 求 3 2 39。(0)f ? ).因?yàn)橹灰?()ftt 有界 ,任有 (C)成立 ,如 ( ) | |f x x? 滿足 (C),但 39。(0)f 也不 ? . 再看 (C): 2 2 20 0 01 s in ( s in ) s in ( )l im ( s in ) l im l ims inh h hh h f h h h h f tf h hh h h h h t? ? ?? ? ?? ? ? ? ??( 當(dāng)它們都 ?時(shí) ). 注意 ,易求得20 sinlim 0h hhh? ? ?.因而 ,若 39。39。(0)f ? . 如( ) | |f x x? 滿足 (A),但 39。(0)f? ? . 若 ()fx在 0x? 可導(dǎo) ? (A)成立 ,反之若 (A)成立 ? 39。, 0 , ( , 0 ) } | { 1 , 0 , ( 0 , 0 ) } { 1 , 0 , 3 }txdt f t fdt ? ??. 因此 ,(C)成立 . (3)【 分析 】 當(dāng) (0) 0f ? 時(shí) , 39。()fx? :正 —— 負(fù) —— 正 ,(B)不對(duì) ,(D)對(duì) . 應(yīng)選 (D). (2)【 分析 】 我們逐一分析 . 關(guān)于 (A),涉及可微與可偏導(dǎo)的關(guān) 系 .由 ( , )f xy 在 (0,0)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) ? ( , )f xy 在 (0,0)處可微 .因此 (A)不一定成立 . 關(guān)于 (B)只能假設(shè) ( , )f xy 在 (0,0)存在偏導(dǎo)數(shù) (0, 0) (0, 0),ffxy????,不保證曲面 ( , )z f x y?在 (0,0, (0,0))f 存在切平面 .若存在時(shí) ,法向量 n= ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 1ffxy ????? ? ? ?????? ?， ，{3,1,1}與 {3,1,1}不共線 ,因而 (B)不成立 . 關(guān)于 (C),該曲線的參數(shù)方程為 ,0,( ,0),xtyz f t???????? 它在點(diǎn) (0,0, (0,0))f 處的切向量為 39。( ) 0fx??,(A),(C)不對(duì) 。 39。2022 年全國碩士研究生入學(xué)考試 數(shù)學(xué)一試題與答案 2022 年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析 一、填空題 (1)【 分析 】 由通解的形式可知特征方程的兩個(gè)根是 12,1r r i?? ,從而得知特征方程為 221 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 2 0r r r r r r r r r r r r? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 由此 ,所求微分方程為 39。39。2 2 0y y y? ? ?. (2)【 分析 】 先求 gradr. gradr= , , , ,r r r x y zx y z r r r? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?. 再求 divgradr= ( ) ( ) ( )x y zx r y r z r? ? ???? ? ? = 2 2 2 2 2 23 3 3 31 1 1 3 2( ) ( ) ( )x y z x y zr r r r r r r r r??? ? ? ? ? ? ? ?. 于是 divgradr|(1, 2,2)? =(1, 2,2)22| 3r ? ?. (3)【 分析 】 這個(gè)二次積分不是二重積分的累次積分 ,因?yàn)?10y? ? ? 時(shí) 12y?? .由此看出二次積分 0211 ( , )ydy f x y dx???? 是二重積分的一個(gè)累次 積分 ,它與原式只差一個(gè)符號(hào) .先把此累次積分表為 0211 ( , ) ( , )y Dd y f x y d x f x y d x d y?? ?? ? ??. 由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域 D : 1 0 ,1 2y y x? ? ? ? ? ?. 見圖 .現(xiàn)可交換積分次序 原式 = 0 2 2 0 2 11 1 1 1 1 0( , ) ( , ) ( , )xyxd y f x y d x d x f x y d y d x f x y d y?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?. (4)【 分析 】 矩陣 A 的元素沒有給出 ,因此用伴隨矩陣、用初 等行變換求逆的路均堵塞 .應(yīng)當(dāng)考慮用定義法 . 因?yàn)? 2( ) ( 2 ) 2 4 0A E A E E A A E? ? ? ? ? ? ?, 故 ( )( 2 ) 2A E A E E? ? ?,即 2() 2AEA E E?? ? ?. 按定義知 1 1( ) ( 2 )2A E A E?? ? ?. (5)【 分析 】 根據(jù)切比雪夫不等式 2(){ ( ) } DxP X E X ? ?? ? ?, 于是 2( ) 1{ ( ) 2 } 22DxP X E X? ? ? ?. 二、選擇題 (1)【 分析 】 當(dāng) 0x? 時(shí) , ()fx單調(diào)增 39。 當(dāng) 0x? 時(shí) , ()fx :增 —— 減 —— 增 39。0{ 39。0()(0) limxfxf x???00( ) ( )lim limxxf x f xxx? ? ? ???? . 關(guān)于 (A):220 0 01 ( 1 c o s ) 1 c o s 1 ( )l im ( 1 c o s ) l im 1 c o s l im1 c o s 2h h tf h h f tf h t hh h h t? ? ? ???? ? ? ? ??, 由此可知 20 1lim (1 cos )h fhh? ?? ? 39。(0)f? ? ? 39。(0)f 不 ? . 關(guān)于 (D):若 ()fx在 0x? 可導(dǎo) ,? 39。001 ( 2 ) ( )l im [ ( 2 ) ( ) ] l im [ 2 ] 2 ( 0 ) ( 0 )2hhf h f hf h f h f fh h h?? ? ? ? ? ?. ? (D)成立 .反之 (D)成立0l im ( ( 2 ) ( ) ) 0h f h f h?? ? ? ? ()fx在 0x? 連續(xù) , ? ()fx 在0x? 可導(dǎo) .如 2 1, 0() 0 , 0xxfx x???? ? ??　 滿足 (D),但 ()fx在 0x? 處不連續(xù) ,因而 39。(0)f ? ? (C)成立 .