【正文】 00xx?? , 求隨機變量 eXY? 的概率密度 ( ).Yfy 1996 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè) 2lim ( ) 8,xx xaxa?? ? ??則 a =_____________. (2)設(shè)一平面經(jīng)過原點及點 (6, 3,2),? 且與平面 4 2 8x y z? ? ? 垂直 ,則此平面方程為 _____________. (3)微分方程 2 2 e xy y y?? ?? ? ?的通解為 _____________. (4)函數(shù) 22ln ( )u x y z? ? ?在點 (1,0,1)A 處沿點 A 指向點 (3, 2,2)B ? 方向的方向?qū)?shù)為 _____________. (5)設(shè) A 是 43? 矩陣 ,且 A 的秩 ( ) 2,r ?A 而 1 0 20 2 0 ,1 0 3??????????B 則 ()rAB =_____________. 二、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) ) (1)已知2()()x ay dx ydyxy???為某函數(shù)的全微分 ,a 則等于 (A)1 (B)0 (C)1 (D)2 (2)設(shè) ()fx具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,且0()( 0 ) 0 , lim 1,xfxf x???? ??則 (A) (0)f 是 ()fx的極大值 (B) (0)f 是 ()fx的極小值 (C)(0, (0))f 是曲線 ()y f x? 的拐點 (D) (0)f 不是 ()fx的極值 ,(0, (0))f 也不是曲線 ()y f x? 的拐點 (3)設(shè) 0( 1, 2, ),nan?? 且1 nn a???收斂 ,常數(shù) (0, ),2??? 則級數(shù)21 ( 1) ( ta n )n nn nan??? ?? (A)絕對收斂 (B)條件收斂 (C)發(fā)散 (D)散斂性與 ? 有關(guān) (4)設(shè)有 ()fx連續(xù)的導(dǎo)數(shù) 220, ( 0 ) 0 , ( 0 ) 0 , ( ) ( ) ( ) ,xf f F x x t f t d t?? ? ? ??且當(dāng) 0x? 時 , ( )Fx? 與 kx 是同階無窮小 ,則 k 等于 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5)四階行列式11223344000000abababba的值等于 (A) 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b? (B) 1 2 3 4 1 2 3 4a a a a b b b b? (C) 1 2 1 2 3 4 3 4( )( )a a b b a a b b?? (D) 2 3 2 3 1 4 1 4( )( )a a b b a a b b?? 三、 (本題共 2小題 ,每小題 5分 ,滿 分 10分 ) (1)求心形線 (1 cos )ra ??? 的全長 ,其中 0a? 是常數(shù) . (2)設(shè) 1110 , 6 ( 1 , 2 , ) ,nnx x x n?? ? ? ?試證數(shù)列 {}nx 極限存在 ,并求此極限 . 四、 (本題共 2小題 ,每小題 6分 ,滿分 12分 ) (1)計算曲面積分 ( 2 ) ,S x z d y d z z d x d y????其中 S 為有向曲面 22(0 1),z x y x? ? ? ?其法向量與 z 軸正向的夾角為銳角 . (2)設(shè)變換 2u x yv x ay????可把方程 2 2 22260z z zx x y y? ? ?? ? ?? ? ? ?簡化為 2 0,zuv? ??? 求常數(shù) .a 五、 (本題滿分 7分 ) 求級數(shù)21 1( 1)2nn n?? ??的和 . 六、 (本題滿分 7分 ) 設(shè)對任意 0,x? 曲線 ()y f x? 上點 ( , ( ))x f x 處的切線在 y 軸上的截距等于01 ( ) ,x f t dtx? 求 ()fx的一般表達式 . 七、（本題滿分 8分） 設(shè) ()fx在 [0,1] 上具有二階導(dǎo)數(shù) ,且滿足條件 ( ) , ( ) ,f x a f x b????其中 ,ab都是非負(fù)常數(shù) ,c 是 (0,1) 內(nèi)任意一點 .證明 ( ) 2 .2bf c a? ?? 八、（本題滿分 6分） 設(shè) ,TA??I ξξ 其中 I 是 n 階單位矩陣 ,ξ 是。 1992 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè)函數(shù) ()y y x? 由方程 e cos( ) 0xy xy? ??確定 ,則 dydx =_____________. (2)函數(shù) 2 2 2ln( )u x y z? ? ?在點 (1,2, 2)M ? 處的梯度 grad Mu =_____________. (3)設(shè) ()fx? 211x?? 00 xx? ?? ? ??? ,則其以 2? 為周期的傅里葉級數(shù)在點 x ?? 處收斂于 _____________. (4)微分方程 tan cosy y x x???的通解為 y =_____________. (5)設(shè)1 1 1 2 12 1 2 1 212,nnn n n na b a b a ba b a b a ba b a b a b???????A 其中 0 , 0 , ( 1 , 2 , , ) .iia b i n? ? ?則矩陣 A 的秩 ()rA =_____________. 二、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) ) (1)當(dāng) 1x? 時 ,函數(shù) 12 11e1 xxx ??? 的極限 (A)等于 2 (B)等于 0 (C)為 ? (D)不存在但不為 ? (2)級數(shù)1 ( 1) (1 cos )(nnan?? ???常數(shù) 0)a? (A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對收斂 (D)收斂性與 a 有關(guān) (3)在曲線 23,x t y t z t? ? ? ?的所有切線中 ,與平面 24x y z? ? ? 平行的切線 (A)只有 1 條 (B)只有 2 條 (C)至少有 3 條 (D)不存在 (4)設(shè) 32( ) 3 ,f x x x x??則使 ()(0)nf 存在的最高階數(shù) n 為 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5)要使12100 , 121? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?ξ ξ 都是線性方程組 ?AX 0 的解 ,只要系數(shù)矩陣 A 為 (A)? ?2 1 2? (B) 2 0 10 1 1??????? (C) 1 0 20 1 1???????? (D) 0 1 14220 1 1????????? 三、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)求20e sin 1lim .11xxxx????? (2)設(shè) 22(e s in , ),xz f y x y??其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,求 2 .zxy??? (3)設(shè) ()fx? 21exx?? 00xx??,求 31 ( 2) .f x dx?? 四、 (本題滿分 6分 ) 求微分方程 32 3 e xy y y ??? ?? ? ?的通解 . 五、 (本題滿分 8分 ) 計算曲面積分3 2 3 2 3 2( ) ( ) ( ) ,x a z d y d z y a x d z d x z a y d x d y? ? ? ? ? ???其中 ? 為上半球面 2 2 2z a x y? ? ? 的上側(cè) . 六、 （本題滿分 7分） 設(shè) ( ) 0, (0) 0,f x f?? ??證明對任何 120, 0,xx??有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) .f x x f x f x? ? ? 七、（本題滿分 8分） 在變力 F yzi zx j xyk? ? ?的作用下 ,質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面 2 2 22 2 2 1x y za b c? ? ?上第一卦限的點 ( , , ),M ??? 問當(dāng) ? 、 ? 、 ? 取何值時 ,力 F 所做的功 W 最大 ?并求出 W 的最大值 . 八、（本題滿分 7分） 設(shè)向量組 1 2 3,α α α 線性相關(guān) ,向量組 234,α α α 線性無關(guān) ,問 : (1) 1α 能否由 23,αα 線性表出 ?證明你的結(jié)論 . (2) 4α 能否由 1 2 3,α α α 線性表出 ?證明你的結(jié)論 . 九、（本題滿分 7分） 設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為 1 2 31, 2, 3,? ? ?? ? ?對應(yīng)的特征向量依次為 1 2 31 1 11 , 2 , 3 ,1 4 9? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?ξ ξ ξ又向量12.3???????????β (1)將 β 用 1 2 3,ξ ξ ξ 線性表出 . (2)求 (n nAβ 為自然數(shù) ). 十、填空題 (本題共 2小題 ,每小 題 3分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)已知 11( ) ( ) ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) ,46P A P B P C P A B P A C P B C? ? ? ? ? ?則事件 A 、 B 、 C 全不發(fā)生的概率為 ____________. (2)設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布 ,則數(shù)學(xué)期望 2{ e }XEX ?? =____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)隨機變量 X 與 Y 獨立 ,X 服從正態(tài)分布 2( , ),NY?? 服從 [ , ]??? 上的均勻分布 ,試求 Z X Y??的概率分布密度 (計算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) ?表示 ,其中 221( ) e )2txx d t? ????? ?. 1993 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)函數(shù)11( ) ( 2 ) ( 0 )xF x d t xt? ? ?? 的單調(diào)減少 區(qū)間為 _____________. (2)由曲線 223 2 120xyz ???繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點 (0, 3, 2) 處的指向外側(cè)的單位法向量為 _____________. (3)設(shè)函數(shù) 2( ) ( )f x x x x? ? ?? ? ? ? ?的傅里葉級數(shù)展開式為 01 ( c o s s in ) ,2 nnna a n x b n x?????則其中系數(shù) 3b 的值為 _____________. (4)設(shè)數(shù)量場 2 2 2ln ,u x y z? ? ?則 div(grad )u =_____________. (5)設(shè) n 階矩陣 A 的各行元素之和均為零 ,且 A 的秩為 1,n? 則線性方程組 ?AX 0 的通解為 _____________. 二、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項 前的字母填在題后的括號內(nèi) ) (1)設(shè) s in 2 3 40( ) sin ( ) , ( ) ,xf x t d t g x x x? ? ??則當(dāng) 0x? 時 , ()fx 是 ()gx 的 (A)等價無窮小 (B)同價但非等價的無窮小 (C)高階無窮小 (D)低價無窮小 (2)雙紐線 2 2 2 2 2()x y x y? ? ?所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為 (A) 402 cos2 d? ??? (B) 404 cos2 d? ??? (C) 402 cos 2 d? ??? (D) 2401 (cos 2 )2 d? ??? (3)設(shè)有直線1 1 5 8: 1 2 1x y zl ? ? ????與 2:l 623xyyz????則 1l 與 2l 的夾角為