考研數(shù)學(xué)(二)真題分析詳解-全文預(yù)覽
【正文】 唯一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) k4，即 4k0 時(shí)，由于 ??????? ?? ?? ]4)4(l n[l nl i m)(l i m 300 kxxxx xx ? ； ??????? ?????? ]4)4(l n[l nl i m)(l i m 3 kxxxx xx ? ， 故 0)( ?x? 有兩個(gè)實(shí)根，分別位于 (0,1)與 ),1( ?? 內(nèi)，即兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn) . 八 、（本題滿分 12 分） 設(shè)位于第一象限的曲線 y=f(x)過點(diǎn) )21,22( ，其上任一點(diǎn) P(x,y)處的法線與 y 軸的交點(diǎn)為 Q，且線段 PQ 被 x 軸平分 . (1) 求曲線 y=f(x)的方程； (2) 已知曲線 y=sinx 在 ],0[ ? 上的弧長(zhǎng)為 l ，試用 l 表示曲線 y=f(x)的弧長(zhǎng) s. 【 分析 】 (1) 先求出法線方程與交點(diǎn)坐標(biāo) Q，再由題設(shè)線段 PQ 被 x 軸平分，可轉(zhuǎn)化為微分方程，求解此微分方程即可得曲線 y=f(x)的方程 . (2) 將曲線 y=f(x) 化為參數(shù)方程，再利用弧長(zhǎng)公式 dtyxs ba? ???? 22進(jìn)行計(jì)算即可 . 【 詳解 】 (1) 曲線 y=f(x)在點(diǎn) P(x,y)處的法線方程為 )(1 xXyyY ?????， 其中 (X,Y)為法線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) . 令 X=0，則 yxyY ???， 故 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ).,0(yxy ?? 由題設(shè)知 0)(21 ???? yxyy ，即 .02 ?? xdxydy 積分得 Cyx ?? 22 2 (C 為任意常數(shù) ). 走進(jìn)四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 由2122 ??xy知 C=1，故曲線 y=f(x)的方程為 .12 22 ?? yx (2) 曲線 y=sinx 在 [0， ? ]上的弧長(zhǎng)為 .c os12c os1 20 20 2 dxxdxxl ?? ?????? 曲線 y=f(x)的參數(shù)方程為 ????? ?? ,sin22 ,costy tx .20 ???t 故 dttdttts ?? ???? 20 220 22 s i n121c os21s i n ?? ， 令 ut ??2? ，則 duuduus ?? ????? 20 202 2 c os121)(c os121 ?? = .4222 ll ? 九 、（本題滿分 10 分） 有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線 )0)(( ?? yyx ? 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為 2 m. 根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以 min/3 3m 的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)， 液面的面積將以 min/2m? 的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前， 容器內(nèi)無(wú)液體） . (1) 根據(jù) t 時(shí)刻液面的面積，寫出 t 與 )(y? 之間的關(guān)系式； (2) 求曲線 )(yx ?? 的方程 . (注： m 表示長(zhǎng)度單位米 ， min 表示時(shí)間單位分 .) 【 分析 】 液面的面積將以 min/2m? 的速率均勻擴(kuò)大，因此 t 時(shí)刻液面面積應(yīng)為：t?? ?22 ，而液面為圓，其面積可直接計(jì)算出來(lái)，由此可導(dǎo)出 t 與 )(y? 之間的關(guān)系式；又液體的體積可根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式用定積分計(jì)算，已知 t 時(shí)刻的液體體積為 3t，它們之間也可建立積分關(guān)系式，求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為微分方程求解即可 . 走進(jìn)四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 【 詳解 】 (1) 設(shè)在 t 時(shí)刻，液面的高度為 y，則由題設(shè)知此時(shí)液面的面積為ty ???? ?? 4)(2 , 從而 .4)(2 ?? yt ? (2) 液面的高度為 y 時(shí)，液體的體積為 .12)(33)(0 22 ???? ytduuy ??? 上式兩邊對(duì) y 求導(dǎo)，得 )()(6)(2 yyy ???? ?? ，即 ).(6)( yy ??? ?? 解此微分方程，得 yCey 6)( ?? ? ，其中 C 為任意常數(shù)， 由 2)0( ?? 知 C=2, 故所求曲線方程為 .26yex ?? 十 、（本題滿分 10 分） 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 .0)( ??xf 若極限ax axfax ???? )2(lim 存在，證明： (1) 在 (a,b)內(nèi) f(x)0。 (2) 在 (a,b)內(nèi)存在點(diǎn) ? ，使 )(2)(22??fdxxf abba ???； (3) 在 (a,b) 內(nèi)存在與 (2)中 ? 相異的點(diǎn) ? ，使 ????? ba dxxfaabf .)(2))(( 22 ? ?? 【 分析 】 (1) 由 ax axfax ????)2(lim 存在知， f(a)=0, 利用單調(diào)性即可證明 f(x)0. (2) 要證的結(jié)論顯含 f(a),f(b)，應(yīng)將要證的結(jié)論寫為拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式進(jìn)行證明 . (3) 注意利用 (2)的結(jié)論證明即可 . 【 詳解 】 (1) 因?yàn)?ax axfax ????)2(lim 存在，故 .0)()2(lim ????? afaxfax 又 0)( ?? xf ，于是 f(x)在 (a,b)內(nèi)單調(diào)增加，故 ).,(,0)()( baxafxf ??? (2) 設(shè) F(x)= 2x , )()()( bxadttfxg xa ??? ?, 則 0)()( ??? xfxg ，故 )(),( xgxF 滿 走進(jìn)四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 足柯西中值定理的條件，于是在 (a,b)內(nèi)存在點(diǎn) ? ，使 ?????????? ?? ?xxabaaa dttfxdttfdttfabagbg aFbF))(()()()()()()()( 222， 即 )(2)(22??fdxxf abba ???. (3) 因 )()()0()()( afffff ???? ??? ，在 ],[ ?a 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在),( ?a 內(nèi)存在一點(diǎn) ? ，使 ))(()( aff ??? ??? ，從
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