【正文】 EFC 與 △ CDE 是等腰三角形． 【點評】 本題考查了平行四邊形的判定和性質，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，作出輔助線是解題的關鍵． 25．（ 10 分）（ 2022?松北區(qū)模擬）松雷中學圖書館近日購進甲、乙兩 種圖書，每本甲圖書的進價比每本乙圖書的進價高 20 元，花 780 元購進甲圖書的數量與花 540 元購進乙圖書的數量相同． （ 1）求甲、乙兩種圖書每本的進價分別是多少元？ （ 2）松雷中學計劃購進甲、乙兩種圖書共 70 本，總購書費用不超過 4000 元，則最多購進甲種圖書多少本？ 【考點】 分式方程的應用；一元一次不等式的應用． 【分析】 （ 1）設乙種圖書每本的進價為 x 元，則甲種圖書每本的進價是（ x+20）元，根據花 780 元購進甲圖書的數量與花 540 元購進乙圖書的數量相同，列方程求解； （ 2）設購進甲種圖書 m 本，則購進乙種圖書為 （ 70﹣ m）本，根據總購書費用不超過 4000元，列不等式求解． 【解答】 解：（ 1）設乙種圖書每本的進價為 x 元，則甲種圖書每本的進價是（ x+20）元， 由題意得， = ， 解得： x=45， 經檢驗， x=45 是原分式方程的解，且符合題意， 則 x+20=65． 答：甲種圖書每本的進價為 45 元，乙種圖書每本的進價是 65 元； （ 2）設購進甲種圖書 m 本，則購進乙種圖書為（ 70﹣ m）本， 由題意得， 65m+45（ 70﹣ m） ≤ 4000， 解得： m≤ ， ∵ m 為整數，且取最大值， ∴ m=42． 答：最多購進甲種圖書 42 本． 【點評】 本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程求解． 26．（ 10 分）（ 2022?松北區(qū)模擬）已知： CD 為 △ ABC 的外角平分線，交 △ ABC 的外接圓O 于 D． （ 1）如圖 1，連接 OA， OD，求證： ∠ AOD=2∠ BCD； （ 2）如圖 2，若 CB 平分 ∠ ACD，求證： AB=BD； （ 3）在（ 2）的條件下，若 ⊙ O 的半徑為 ， tan∠ ABC= ，求 CD 的長． 【考點】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）連接 BD，由圓周角定理可知 ∠ ABD=2∠ ABD，要證明 ∠ AOD=2∠ BCD，即證明 ∠ ABD=∠ BCD，由圓內接四邊形的性質和角平分線即可知 ∠ HCD=∠ BCD=∠ ABD； （ 2）由 CB 平分 ∠ ACD 可知 ∠ ACB=∠ DCB，所以 ，從而可得 AB=BD； （ 3）由（ 2）可知 △ ABD 是等邊三角形，且 ⊙ O 的半徑為 ，所以 AB 的長度可求，連接 OC 并延長交 ⊙ O 于點 E，連接 AE，所以 CE= ，利用 tan∠ ABC=tan∠ E 可求得AC 的長度，設 CN=x，由因為 tan∠ ABC=tan∠ CDA，所以 DN=2x，利用勾股定理列出方程即可求得 x，進而求得 CD 的長度． 【解答】 解：（ 1）如圖 1，連接 BD， ∵ CD 為 △ ABC 的外角平分線， ∴∠ HCD=∠ BCD， ∵∠ HCD=∠ ABD， ∴∠ ABD=∠ BCD， ∵∠ AOD=2∠ ABD， ∴∠ AOD=2∠ BCD； （ 2） ∵ CB 平分 ∠ ACD， ∴∠ ACB=∠ DCB， ∴ = ， ∴ AB=BD； （ 3）連接 OC 并延長交 ⊙ O 于點 E，連接 AE， 過點 O 作 OM⊥ AB 于點 M， 過點 C 作 CN⊥ AD 于點 N， 由（ 2）可知： ∠ HCD=∠ DCB=∠ ACB=60176。， ∴△ ABD 是等邊三角形， ∴∠ AOM=60176。， ∵ OA= ， ∴ sin∠ AOM= ， ∴ AM= ， ∴ 由垂徑 定理可知： AB=2AM=2 ， ∴ AD=AB=2 ， ∵∠ CEA=∠ ABC， ∴ tan∠ CEA=tan∠ ABC= ， ∴ sin∠ CEA= ， ∴ = ， ∴ AC= ， ∵∠ CDA=∠ ABC， ∴ tan∠ CDA= ， 設 CN=x，則 DN=2x， ∴ AN=2 ﹣ 2x， ∵ 由勾股定理可知： AC2=AN2+CN2， ∴ =（ 2 ﹣ 2x） 2+x2 ∴ x= 或 x= ， 當 x= 時， ∴ DN=2x= ， ∴ CN= ， ∵ CD= x， ∴ CD= ． 【點評】 本題考查圓的綜合問題，涉及銳角三角函數，勾股定理，圓周 角定理，垂徑定理等知識，考查學生靈活運用知識的能力，解決本題的關鍵是連接 OC 并延長交 ⊙ O 于點 E，連接 AE 構造直角 △ ACE． 27．（ 10 分）（ 2022?松北區(qū)模擬）已知： y=ax2﹣ 4ax 交 x 軸于 O、 A 兩點，對稱軸交 x 軸于點 E，頂點為點 D，若 △ AOD 的面積為 4．點 P 是 x 軸上方拋物線上一動點，作 PH⊥ x軸，垂足為 H，連接 PA，作直線 HQ⊥ PA 交 y 軸于點 Q， （ 1）求 a 的值． （ 2）在點 P 運動過程中，連接 QD，若 ∠ PAO=∠ QDE，求 HE 的長度． （ 3）點 Q 關于 AP 的對稱點為點 K，若 2HA= QH，求點 P 的 坐標及 KE 的長． 【考點】 二次函數綜合題． 【分析】 （ 1）根據三角形面積公式求出點 D 坐標，然后代入拋物線解析式即可求出 a． （ 2）如圖 1 中，設點 P（ m，﹣ m2+2m），求出直線 PA， HQ 的解析式，得到點 Q 坐標（ 0，﹣ 2），根據 tan∠ QDE=tan∠ PAO= ，列出方程即可解決問題． （ 3）設 QH 交 PA 于點 F，作 FN⊥ AO 于 N，由 △ OQH∽△ FAH，以及在 RT△ OQH 中利用勾股定理，想辦法求出點 F、點 K 坐標即可解決問題． 【解答】 解：（ 1）令 y=0，則 ax2﹣ 4ax=0， x=0 或 4． ∴ ?OA?DE=4， ∴ DE=2， ∴ 點 D 坐標（ 2， 2）代入 y=ax2﹣ 4ax， 2=4a﹣ 8a， ∴ a=﹣ ． （ 2）如圖 1 中，由（ 1）可知拋物線 y=﹣ x2+2x，設點 P（ m，﹣ m2+2m）， 設直線 PA 為 y=kx+b，把 P（ m，﹣ m2+2m）， A（ 4， 0）代入得 ，解得 ， ∴ 直線 PA 為 y=﹣ mx+2m， ∵ 直線 QH⊥ PA，設直線 HQ 為 y= x+b′，把 H（ m， 0）代入得， b′=﹣ 2， ∴ OQ=2， ∴ tan∠ QDE=tan∠ PAO= ， ∴ 4﹣ m=2（﹣ m2+2m） m1=1， m2=4（舍） ∴ HE=1． （ 3）設 QH 交 PA 于點 F，作 FN⊥ AO 于 N． ∵∠ HFA=∠ HOQ， ∠ OHQ=∠ FHA， ∴△ OQH∽△ FAH， ∴ AF： OQ=AH： QH= ： 2， ∴ AF= ，設 HQ=x，則 AH= x， 在 RT△ OHQ 中， 22+（ 4﹣ x） 2=x，解得 x= （或 2 舍棄不合題意）， ∴ AH= ， OH= ， FH= ， ∵ ?FH?FA= ?AH?FN， ∴ = FN， ∴ FN=1， HN= = ， ∵ 點 F 坐標（ 1， 1），點 Q（ 0，﹣ 2） 又 ∵ K、 Q 關于點 F 對稱， ∴ 點 K 坐標（ 2， 4）， ∵ 點 E 坐標（ 2， 0） ∴ KE=4． 【點評】 本題考查二次函數、一次函數的有關知識，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會待定系數法確定函數解析式，學會利用相似三角形的性質求線段，掌握利用面積法求高，記住中點坐標公式，屬于中考壓軸題．