【正文】 EFC 與 △ CDE 是等腰三角形． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，主要利用了對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 25．（ 10 分）（ 2022?松北區(qū)模擬）松雷中學(xué)圖書館近日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩 種圖書，每本甲圖書的進(jìn)價(jià)比每本乙圖書的進(jìn)價(jià)高 20 元，花 780 元購(gòu)進(jìn)甲圖書的數(shù)量與花 540 元購(gòu)進(jìn)乙圖書的數(shù)量相同． （ 1）求甲、乙兩種圖書每本的進(jìn)價(jià)分別是多少元？ （ 2）松雷中學(xué)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書共 70 本，總購(gòu)書費(fèi)用不超過(guò) 4000 元，則最多購(gòu)進(jìn)甲種圖書多少本？ 【考點(diǎn)】 分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)乙種圖書每本的進(jìn)價(jià)為 x 元，則甲種圖書每本的進(jìn)價(jià)是（ x+20）元，根據(jù)花 780 元購(gòu)進(jìn)甲圖書的數(shù)量與花 540 元購(gòu)進(jìn)乙圖書的數(shù)量相同，列方程求解； （ 2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種圖書 m 本，則購(gòu)進(jìn)乙種圖書為 （ 70﹣ m）本，根據(jù)總購(gòu)書費(fèi)用不超過(guò) 4000元，列不等式求解． 【解答】 解：（ 1）設(shè)乙種圖書每本的進(jìn)價(jià)為 x 元，則甲種圖書每本的進(jìn)價(jià)是（ x+20）元， 由題意得， = ， 解得： x=45， 經(jīng)檢驗(yàn)， x=45 是原分式方程的解，且符合題意， 則 x+20=65． 答：甲種圖書每本的進(jìn)價(jià)為 45 元，乙種圖書每本的進(jìn)價(jià)是 65 元； （ 2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種圖書 m 本，則購(gòu)進(jìn)乙種圖書為（ 70﹣ m）本， 由題意得， 65m+45（ 70﹣ m） ≤ 4000， 解得： m≤ ， ∵ m 為整數(shù)，且取最大值， ∴ m=42． 答：最多購(gòu)進(jìn)甲種圖書 42 本． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解． 26．（ 10 分）（ 2022?松北區(qū)模擬）已知： CD 為 △ ABC 的外角平分線，交 △ ABC 的外接圓O 于 D． （ 1）如圖 1，連接 OA， OD，求證： ∠ AOD=2∠ BCD； （ 2）如圖 2，若 CB 平分 ∠ ACD，求證： AB=BD； （ 3）在（ 2）的條件下，若 ⊙ O 的半徑為 ， tan∠ ABC= ，求 CD 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）連接 BD，由圓周角定理可知 ∠ ABD=2∠ ABD，要證明 ∠ AOD=2∠ BCD，即證明 ∠ ABD=∠ BCD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和角平分線即可知 ∠ HCD=∠ BCD=∠ ABD； （ 2）由 CB 平分 ∠ ACD 可知 ∠ ACB=∠ DCB，所以 ，從而可得 AB=BD； （ 3）由（ 2）可知 △ ABD 是等邊三角形，且 ⊙ O 的半徑為 ，所以 AB 的長(zhǎng)度可求，連接 OC 并延長(zhǎng)交 ⊙ O 于點(diǎn) E，連接 AE，所以 CE= ，利用 tan∠ ABC=tan∠ E 可求得AC 的長(zhǎng)度，設(shè) CN=x，由因?yàn)?tan∠ ABC=tan∠ CDA，所以 DN=2x，利用勾股定理列出方程即可求得 x，進(jìn)而求得 CD 的長(zhǎng)度． 【解答】 解：（ 1）如圖 1，連接 BD， ∵ CD 為 △ ABC 的外角平分線， ∴∠ HCD=∠ BCD， ∵∠ HCD=∠ ABD， ∴∠ ABD=∠ BCD， ∵∠ AOD=2∠ ABD， ∴∠ AOD=2∠ BCD； （ 2） ∵ CB 平分 ∠ ACD， ∴∠ ACB=∠ DCB， ∴ = ， ∴ AB=BD； （ 3）連接 OC 并延長(zhǎng)交 ⊙ O 于點(diǎn) E，連接 AE， 過(guò)點(diǎn) O 作 OM⊥ AB 于點(diǎn) M， 過(guò)點(diǎn) C 作 CN⊥ AD 于點(diǎn) N， 由（ 2）可知： ∠ HCD=∠ DCB=∠ ACB=60176。， ∴△ ABD 是等邊三角形， ∴∠ AOM=60176。， ∵ OA= ， ∴ sin∠ AOM= ， ∴ AM= ， ∴ 由垂徑 定理可知： AB=2AM=2 ， ∴ AD=AB=2 ， ∵∠ CEA=∠ ABC， ∴ tan∠ CEA=tan∠ ABC= ， ∴ sin∠ CEA= ， ∴ = ， ∴ AC= ， ∵∠ CDA=∠ ABC， ∴ tan∠ CDA= ， 設(shè) CN=x，則 DN=2x， ∴ AN=2 ﹣ 2x， ∵ 由勾股定理可知： AC2=AN2+CN2， ∴ =（ 2 ﹣ 2x） 2+x2 ∴ x= 或 x= ， 當(dāng) x= 時(shí)， ∴ DN=2x= ， ∴ CN= ， ∵ CD= x， ∴ CD= ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及銳角三角函數(shù)，勾股定理，圓周 角定理，垂徑定理等知識(shí)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解決本題的關(guān)鍵是連接 OC 并延長(zhǎng)交 ⊙ O 于點(diǎn) E，連接 AE 構(gòu)造直角 △ ACE． 27．（ 10 分）（ 2022?松北區(qū)模擬）已知： y=ax2﹣ 4ax 交 x 軸于 O、 A 兩點(diǎn)，對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) E，頂點(diǎn)為點(diǎn) D，若 △ AOD 的面積為 4．點(diǎn) P 是 x 軸上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作 PH⊥ x軸，垂足為 H，連接 PA，作直線 HQ⊥ PA 交 y 軸于點(diǎn) Q， （ 1）求 a 的值． （ 2）在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接 QD，若 ∠ PAO=∠ QDE，求 HE 的長(zhǎng)度． （ 3）點(diǎn) Q 關(guān)于 AP 的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) K，若 2HA= QH，求點(diǎn) P 的 坐標(biāo)及 KE 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)三角形面積公式求出點(diǎn) D 坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式即可求出 a． （ 2）如圖 1 中，設(shè)點(diǎn) P（ m，﹣ m2+2m），求出直線 PA， HQ 的解析式，得到點(diǎn) Q 坐標(biāo)（ 0，﹣ 2），根據(jù) tan∠ QDE=tan∠ PAO= ，列出方程即可解決問(wèn)題． （ 3）設(shè) QH 交 PA 于點(diǎn) F，作 FN⊥ AO 于 N，由 △ OQH∽△ FAH，以及在 RT△ OQH 中利用勾股定理，想辦法求出點(diǎn) F、點(diǎn) K 坐標(biāo)即可解決問(wèn)題． 【解答】 解：（ 1）令 y=0，則 ax2﹣ 4ax=0， x=0 或 4． ∴ ?OA?DE=4， ∴ DE=2， ∴ 點(diǎn) D 坐標(biāo)（ 2， 2）代入 y=ax2﹣ 4ax， 2=4a﹣ 8a， ∴ a=﹣ ． （ 2）如圖 1 中，由（ 1）可知拋物線 y=﹣ x2+2x，設(shè)點(diǎn) P（ m，﹣ m2+2m）， 設(shè)直線 PA 為 y=kx+b，把 P（ m，﹣ m2+2m）， A（ 4， 0）代入得 ，解得 ， ∴ 直線 PA 為 y=﹣ mx+2m， ∵ 直線 QH⊥ PA，設(shè)直線 HQ 為 y= x+b′，把 H（ m， 0）代入得， b′=﹣ 2， ∴ OQ=2， ∴ tan∠ QDE=tan∠ PAO= ， ∴ 4﹣ m=2（﹣ m2+2m） m1=1， m2=4（舍） ∴ HE=1． （ 3）設(shè) QH 交 PA 于點(diǎn) F，作 FN⊥ AO 于 N． ∵∠ HFA=∠ HOQ， ∠ OHQ=∠ FHA， ∴△ OQH∽△ FAH， ∴ AF： OQ=AH： QH= ： 2， ∴ AF= ，設(shè) HQ=x，則 AH= x， 在 RT△ OHQ 中， 22+（ 4﹣ x） 2=x，解得 x= （或 2 舍棄不合題意）， ∴ AH= ， OH= ， FH= ， ∵ ?FH?FA= ?AH?FN， ∴ = FN， ∴ FN=1， HN= = ， ∵ 點(diǎn) F 坐標(biāo)（ 1， 1），點(diǎn) Q（ 0，﹣ 2） 又 ∵ K、 Q 關(guān)于點(diǎn) F 對(duì)稱， ∴ 點(diǎn) K 坐標(biāo)（ 2， 4）， ∵ 點(diǎn) E 坐標(biāo)（ 2， 0） ∴ KE=4． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)求線段，掌握利用面積法求高，記住中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中考?jí)狠S題．