【正文】 變換的綜合題，考查了等邊三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定；在幾何證明中，如果出現(xiàn)等邊三角形，它所得出的結(jié)論比較多，要準確把握需要利用哪些結(jié)論進行證明；此類題的解題思路 為：證明兩個三角形全等或利用勾股定理求邊長；如果有平行的關(guān)系，可以考慮利用平行相似來證明． 6．（ 2022?邢臺二模）如圖 1：已知 △ ABC 中， ∠ BAC=90176。， AB=AC，在 ∠ BAC 內(nèi)部作∠ MAN=45176。． AM、 AN 分別交 BC 于點 M， N． 【操作】 （ 1）將 △ ABM 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。，使 AB 邊與 AC 邊重合，把旋轉(zhuǎn)后點 M 的對應(yīng)點記作點 Q，得到 ACQ，請在圖 1 中畫出 △ ACQ；（不寫出畫法） 【探究】 （ 2）在（ 1）中作圖的基礎(chǔ)上，連接 NQ， ① 求證 “MN=NQ”； ② 寫出線段 BM， MN 和 NC 之間滿足的數(shù) 量關(guān)系，并簡要說明理由． 【拓展】 如圖 2，在等腰 △ DEF 中， ∠ EDF=45176。， DE=DF，點 P 是 EF 邊上任意一點（不與 E， F重合），連接 DP，以 DP 為腰向兩側(cè)分別作頂角均為 45176。的等腰 △ DPG 和等腰 △ DPH，分別交 DE， DF 于點 K， L，連接 GH，分別交 DE， DF 于點 S， T． （ 3）線段 GS， ST 和 TH 之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ST2=GS2+TH2 ； （ 4）設(shè) DK=a， DE=b，求 DP 的值．（用 a， b 表示） 【分析】 （ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度進行作圖即可；（ 2）先根據(jù) SAS 判定 △ MAN≌△ QAN，進而得出結(jié)論，再由全等三角形和旋轉(zhuǎn)，得出 MN=NQ， MB=CQ，最后根據(jù) Rt△ NCQ 中的勾股定理得出結(jié)論；（ 3）運用 ② 中的方法即可得出類似的加侖；（ 4）先判定 △ DPK∽△ DEP，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出比例式進行求解． 【解答】 解：（ 1）如圖， △ ACQ 即為所求； （ 2） ① 證明：由旋轉(zhuǎn)可得， △ ABM≌△ ACQ ∴ AM=AQ， ∠ BAM=∠ CAQ ∵∠ MAN=45176。， ∠ BAC=90176。 ∴∠ BAM+∠ NAC=45176。 ∴∠ CAQ+∠ NAC=45176。，即 ∠ NAQ=45176。 在 △ MAN 和 △ QAN 中 ∴△ MAN≌△ QAN（ SAS） ∴ MN=NQ ② MN2=BM2+NC2 由 ① 中可知， MN=NQ， MB=CQ 又 ∠ NCQ=∠ NCA+ACQ=∠ NCA+∠ ABM=45176。+45176。=90176。 在 Rt△ NCQ 中， NQ2=CQ2+NC2，即 MN2=BM2+NC2 （ 3） ST2=GS2+TH2 （ 4）如圖， ∵ DE=DF， DG=DP， ∠ EDF=∠ GDP=45176。 ∴∠ DPK=∠ DEP 又 ∵∠ PDK=∠ EDP ∴△ DPK∽△ DEP ∴ ，即 DP2=DK?DE ∵ DK=a， DE=b ∴ DP= 【點評】 本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、 全等三角形以及相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換思想方法在解決問題過程中的應(yīng)用．解題時注意： ① 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。葱D(zhuǎn)前后的兩個圖形全等）， ② 任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等（都是旋轉(zhuǎn)角）， ③ 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等． 7．（ 2022?山西模擬）綜合與實踐： 問題情景：已知等腰 Rt△ AED， ∠ AED=∠ ACB=90176。，點 M， N 分別是 DB， EC 的中點，連接 MN． 問題： （ 1）如圖 1，當點 E 在 AB 上，且點 C 和點 D 恰好重合時，探索 MN 與 EC 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明； （ 2）如圖 2，當點 D 在 AB 上，點 E 在 △ ABC 外部時，（ 1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由． 拓展探究： （ 3）如圖 3，將圖 2 中的等腰 Rt△ AED 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) n176。（ 0＜ n＜ 90），請猜想 MN與 EC 的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．（不必證明） 【分析】 （ 1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，得出得出 MN 與 EC的數(shù)量關(guān)系； （ 2）先連接 EM 并延長至點 F，使 MF=EM，判定 △ EDM≌△ FBM，進而運用 SAS 判定 △ EAC≌△ FBC，即可得出 FC=EC，再利用三角形中位線定理，得出 MN 與 FC 的數(shù)量關(guān)系，進而得出結(jié)論； （ 3）先延長 DN 到 G，使 DN=GN，連接 CG，延長 DE、 CA 交于點 K，再通過判定 △EDN≌△ CGN 和 △ CAE≌△ BCG，進而得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） MN 與 EC 的數(shù)量關(guān)系為 MN= EC， 證明： ∵ 點 M， N 分別是 DB， EC 的中點， ∴ MN= EB， ∵ 等腰 Rt△ AED， ∠ AED=∠ ACB=90176。， ∴∠ B=∠ ACE=45176。， ∴∠ BCE=90176。﹣ 45176。=45176。， ∴ BE=CE， ∴ MN= EC； （ 2）成立 證明：如圖 2，連接 EM 并延長至點 F，使 MF=EM，連接 CF， BF， 在 △ EDM 和 △ FBM 中， ， ∴△ EDM≌△ FBM（ SAS）， ∴ BF=DE=AE， ∠ FBM=∠ EDM， ∵△ AED 為等腰直角三角形， ∠ AED=∠ ACB=90176。， ∴∠ BAC=∠ ABC=45176。， ∴△ ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ EAD=∠ EDA=∠ BAC=∠ ABC=45176。， AC=BC， ∴∠ FBM=∠ EDM=135176。， ∴∠ FBC=∠ EAC=90176。， 在 △ EAC 和 △ FBC 中， ， ∴△ EAC≌△ FBC（ SAS）， ∴ FC=EC， 又 ∵ 點 M， N 分別是 EF， EC 的中點， ∴ MN= FC， ∴ MN= EC； （ 3） MN 與 EC 的位置關(guān)系為： MN⊥ EC，數(shù)量關(guān)系為： MN= EC． 【點評】 本題主要考查了幾何變換變換中的旋轉(zhuǎn)變換，解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)．解決此類試題時，需要靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)，并且需要經(jīng)過中點作輔助線構(gòu)造全等三角形． 【 特別提醒 】 作圖的基本作法以點（特殊點）定線，就是先做出特殊點的對應(yīng)點，再順次連接特殊點，同時掌握好三種基本變換的共性特征（形狀和大小不變）及個性特征。 求平移圖形中的坐標時，易忽視平移方向；旋轉(zhuǎn)作圖時易忽視旋 轉(zhuǎn)的方向，如果沒有特別說明，要分類討論。 折疊的本質(zhì)特征：折疊前后的圖形關(guān)于折痕成軸對稱。解決這類問題的關(guān)鍵首先要把握折疊的變換規(guī)律，弄清折疊前后哪些量變了，哪些量沒有變，又有哪些條件可利用；其次要充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，利用全等三角形、勾股定理或相似三角形的知識，將其中的數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達出來，由此解決問題。