【正文】 向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標。若 ),(),( 2211 yxByxA ，則AB =OB ?OA =( x2， y2) ? (x1， y1)= (x2? x1， y2? y1)；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標 . （ 3 ） 向 量 共 線 的 兩 種 判 定 方 法 ： a ∥ ｂ( 0?b ) 1 2 2 1 0x y x y?? ? ? ? ? ab 。 2．平面向量的數(shù)量積 （ 1）平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量 a與 ｂ ，它們的夾角是 θ ，則數(shù)量 |a||b|cos?叫 a 與 ｂ的數(shù)量積，記作 a?b，即有 a?b = |a||b|cos?，（０ ≤θ≤π） 。并規(guī)定 0 與任何向量的數(shù)量積為 0。注意：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由 cos?的符號所決定 . （ 2） 向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a?b 等于 a的長度與 b在 a 方向上投影 |b|cos?的乘積 . （ 3） 兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè) a、 b 為兩個非零向量， e 是單位向量； 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0； 3? 當 a 與 b 同向時， a?b = |a||b|；當 a 與 b 反向時，a?b = ?|a||b|. 特別地 a?a = |a|2 或 ||??a a a 4? cos? =| || |?abab 5? |a?b| ≤ |a||b|。 （ 4）向量的數(shù)量積滿足下列運算律 已知向量 abc， ， 與實數(shù) ? 。 ① ab? ＝ ___________（ ______律） ② ? ?ab? ? ＝ ___________ ③ ? ?a+b c? ＝ ___________ （ 5）平面向量數(shù)量積的坐標表示 已知非零向量 ? ? ? ?1 1 2 2a = x y , b = x y ,a b =? ? ? （ 6）平面內(nèi)兩點間的距離公式 設(shè) a=(x,y), 2a=___ 或 a =___________ 。 ? ? ? ?1 1 2 2a = x ,y ,b = x , y ,則 a?b ? a?b = 0 ；1 2 1 2 0x x y y? ? ? 4． 平面向量的應用 （ 1） 能用平面向量知識處理平面幾何中的一些問題，如長度、角、距離，平行、垂直等問題。 （ 2）用向量知識把日常生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型解決實際問題。 【 課初 5 分鐘 】課前完成下列練習，課前 5 分鐘回答下列問題 1．下列說法中，正確的是（ ） ①一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底； ②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共 線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底； ③零向量不可作為基底中的向量。 Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③ 2． 若向量 a? = (1,1), b? = (1,－ 1), c? =(－ 1,2),則 c?等于 ( ) A、 21? a? +23 b? B、 21 a? 23? b? C、 23 a?21? b? D、 23? a? + 21 b? ? ? ? ?( 2,4) (1, 2)ab則 a 與 b 的關(guān)系是（ ） A．不共線 B．相等 C．同向 D．反向 ? ? ? ?( , ), ( , )a b x1 3 1，且 //ab，則 x=（ ） A． 3 B． 3 C． 13 D． 13? 強調(diào)（筆記）： 【 課中 35 分鐘 】邊聽邊練邊落實 5. 設(shè) ,1e? 2e? 是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（ ） A. 1e? + 2e? 和 1e? 2e? B. 3 1e? 2 2e? 和 4 1e? 6 2e? C. 1e? +2 2e? 和 2 1e? + 2e? ? +2e? 和 2e? ：｜ a｜＝ 3，｜ b｜＝ 6，當 ① a∥ b， ② a⊥ b，③ a 與 b 的夾角是 60176。時，分別求 ab 與 | a+ b| 7． 設(shè)向量 ,ab滿足 1ab?? 及 3 2 7ab?? （ 1）求 ,ab 所成角的大小。 （ 2）求 3ab? 的值。 強調(diào)（筆記）： 【 課末 5 分鐘 】 知識整理、理解記憶要點 1. 2. 3. 4. 【 課后 15 分鐘 】 自主落實，未懂則問 a=（ 1,3）， b=（ 2,4）， c=（ 1,2），若表示向量 4a、 4b2c、 2（ ac）、 d 的有向線段 依次 首 尾 相 接 能 構(gòu) 成 四 邊 形 ， 則 向 量 d 為 ( ) A.（ 2,6） B.（ 2,6） C.（ 2,6） D.（ 2,6） 2 ． 已知向量 ),c o s,( s in),4,3( ???? ba 且a ∥ b ，則 ?tan = （ ） A． 43 B． 43? C． 34 D． 34? e1， e2是兩個單位向量，它們的夾角為 120 ，則（ 2e1－ e2）（ 3e1＋ 2e2）＝ . 4．若 a＝（ λ， 2）， b＝ (－ 3， 5）， a 與 b 的夾角為鈍角，則 λ的取值范圍為 （ ） A.（ 103 ， +∞） B.［ 103 ， +∞） C.（－ ∞， 103 ） D.（－ ∞， 103 ］ 5． （江西卷文 13） 已知向量 a ， b 滿足 | | 2b? ， a與 b 的 夾 角 為 60? ，則 b 在 a 上 的 投 影是 ； |a|=3 ， b＝ (1， 2） ，且 a∥ b， 求 a 的坐標 互助小組長簽名： 必修 4 第二章 向量練習 【 課前預習 】完成下面填空 1．平面向量的實際背景及基本概念 從物理上的力和位移出發(fā)，抽象出向量 的概念，明確向量與數(shù)量的區(qū)別 ,理解向量的基本概念： 向量的模、零向量、單位向量、相等向量、共線向量等 ， 2．平面向量的線性運算 （ 1）掌握向量的加減法運算，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和或差向量， （ 2）掌握實數(shù)與向量積的定義及幾何意義；理解向量共線的充要條件。 3．平面向量的基本定理及坐標表示 （ 1）平面向量的基本定理： （ 2） 平面向量的坐標運算 向量共線的兩種判定方法 ? ? ? ?1 1 2 2a = x ,y ,b = x , y , a∥ ｂ ( 0?b ) 1 2 2 1 0x y x y?? ? ? ? ? ab 。 向量垂直的兩種判定方法 ? ? ? ?1 1 2 2a = x ,y ,b = x , y ,則 a?b ? a?b = 0； 1 2 1 2 0x x y y? ? ? 4．平面向量的數(shù)量積 （ 1）平面向量數(shù)量積的定義： （ 2） 向量的數(shù)量積的幾何意義： 5． 平面向量的應用 能用平面向量知識處理平面幾何中的一些問題，如長度、角、距離，平行、垂直等問題。 【 課初 5 分鐘 】課前完成下列練習，課前 5 分鐘回答下列問題 1．已知ＡＭ為△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若 AB＝ a? ， AC ＝ b? ，則 AM ＝（ ） Ａ． 21 （ a? － b? ） Ｂ．－ 21 （ a? － b? ） Ｃ．－ 21 （ a? ＋ b? ） Ｄ． 21 （ a? ＋ b? ） 2．已知 |a|＝ 3， |b|＝ 5，如果 a∥ b，則 ab＝ . 3.（安徽卷理 3文 3） 設(shè)向量 ? ?1,0?a ， 11,22???????b，則下列結(jié)論中正確的是 A、 ?ab B、 22??ab C、 ?ab與 b 垂直 D、 a ∥ b △ ABC 中， AB→ ＝ a， BC→ ＝ b，且 ab＜ 0，則 △ ABC的形狀是 ( ) 設(shè) a 表示“向東走 3km” b 表示“向北走 3km”則 a +b 表示 。 強調(diào)（筆記）： 【 課中 35 分鐘 】邊聽邊練邊落實 AB =a? +5b? ， BC =2a? +8b? ， CD =3a? 3b? ，那么下列各組的點 中三點一定共線的是（ ） A. A， B， C B. A， C， D C. A， B， D D. Ｂ，Ｃ，Ｄ 7．設(shè)向量 a， b 滿足 |a|＝ |b|＝ 1 及 |3a－ 2b|＝ 3，求 |3a＋ b|的值 . △ ABC 中， AB→ ＝ (1， 1)， AC→ ＝ (2， k)，若 △ ABC中有一個角為直角，求實數(shù) k 的值 . 636543( , )55 4355??（ ），4 3 3D. 5 5 5? 4（ ， ） 或 （ ， ）54 3 3) ( , )5 5 54（ ， 或 5 ，速度為 4 3 千米 /時，他在水流速度為 4 千米 /時的河中游泳 . （ 1）若他垂直游向河對岸，則他實際沿什么方向前進？實際前進的速度為多少？ （ 2）他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度為多少？ 強調(diào)（筆記）： 【 課末 5 分鐘 】 知識整理、理解記憶要點 1. 2. 3. 4. 【 課后 15 分鐘 】 自主落實，未懂則問 ? ? ? ?a 3,4 ,b = 5,12? 則 a b與 夾角的余弦為（ ） A. B. 65 C. 135 D. 13 2．當 |a|＝ |b|≠ 0 且 a、 b 不 共線時， a＋ b 與 a－ b 的關(guān)系是 () ? ?a=3,4 垂直的單位向量是 ( ) A. B. C. 4 ． （重慶卷理 2 ） 已知向量 ,ab 滿足0 , 1 , 2 ,a b a b? ? ? ?，則 2ab??( ) A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 （ ） A. a b = a b? B. ? ?2 22a b =a b?? ? ?a bc ,? 則 a b=a c?? D. 若 a b=a c??則 b=c 6．已知等邊 △ ABC 的邊長為 1，且 BC→ ＝ a， CA→ ＝ b，AB→ ＝ c，則 ab＋ bc＋ ca 等于 （ ） A.－ 32 B32 D. 94 7．已知 )1,2(?a? 與 )2,1(?b? ，要使 bta ??? 最小，則實數(shù) t 的值為 ___________。 互助小組長簽名： 第二章平面向量單元測試題 班級 姓名 一、 選擇題 (5分 7=35分 )： 下列命題正確的個數(shù)是 （ ） ① 0AB BA??；② 00AB??；③ AB AC BC??；④ 00AB?? A、 1 B、 2 C、 3