【正文】 在區(qū)間 (0,1)內(nèi)均在零點 . 【命題意圖】 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函 數(shù)的零點、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法 . 54.(2022 年高考江蘇卷 17)請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示， ABCD是邊長為 60cm 的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得 ABCD 四個點重合于圖中的點 P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒， E、 F在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè) AE=FB=x cm. 39。()fx + + ()fx （ 1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積 S（ cm2 ）最大，試問 x 應(yīng)取何值？ （ 2）若廣告商要求包裝盒容積 V（ cm3 ）最大，試問 x 應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值 . P 【 解析 】 （ 1） 由題意知 , 包裝盒 的底面邊長為 2x ,高為 2(30 )x? ,所以 包裝盒側(cè)面積 為 S=42x? 2(30 )x? = 2308 ( 3 0 ) 8 ( ) 8 2 2 52xxxx ??? ? ? ? ?,當且僅當 30xx??,即15x? 時 ,等號成立 ,所以 若廣告商要求包裝盒側(cè)面積 S（ cm2 ）最大， x 應(yīng) 15cm. （ 2）包裝盒容積 V= 22x? 2(30 )x? = 322 2 60 2xx?? ,(0 30)x?? 所以 39。V? 26 2 120 2xx?? = 6 2 ( 20)xx??,令 39。 0V? 得 0 20x?? 。 令 39。 0V? 得20 30x?? , 所以當 20x? 時 , 包裝盒容積 V取得最大值 ,此時的底面邊長為 20 2cm ,高為 10 2cm ,包裝盒的高與底面邊長的比值 為 12 . 55.(2022 年高考江蘇卷 19)已知 a， b 是實數(shù)，函數(shù) ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf ???? )(xf? 和)(xg? 是 )(),( xgxf 的導(dǎo)函數(shù)，若 0)()( ??? xgxf 在區(qū)間 I 上恒成立，則稱 )(xf 和 )(xg 在區(qū)間 I 上單調(diào)性一致 （ 1）設(shè) 0?a ，若函數(shù) )(xf 和 )(xg 在區(qū)間 ),1[ ??? 上單調(diào)性一致 ,求實數(shù) b的取值范圍； （ 2）設(shè) ,0?a 且 ba? ，若函數(shù) )(xf 和 )(xg 在以 a， b 為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求 |ab|的最大值 解析： (1)考察單調(diào)性概念、導(dǎo)數(shù)運算及應(yīng)用、含參不等式恒成立問題，中檔題；（ 2）綜合考察分類討論 、線性規(guī)劃、解二次不等式、二次函數(shù)、含參不等式恒成立問題、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、化歸及數(shù)形結(jié)合的思想，難題。 （ 1）因為 函數(shù) )(xf 和 )(xg 在區(qū)間 ),1[ ??? 上單調(diào)性一致，所以，xxE FA BD C39。39。[ 1 , ) , ( ) ( ) 0 ,x f x g x? ? ? ?? ?即 [ 1 , ) , x 0 ,x? ? ? ?? ?2（ 3 +a ） (2x+b)0 , [ 1 , ) , 0 ,ax? ? ? ? ? ?? ?2x+b 即 0 , [ 1 , ) , , 2 。a x b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?b 2x （ 2）當 ba? 時，因為， 函數(shù) )(xf 和 )(xg 在區(qū)間（ b,a）上單調(diào)性一致，所以，39。39。( , ) , ( ) ( ) 0 ,x b a f x g x? ? ? 即 ( , ) , x 0 ,x b a? ? ?2（ 3 +a ） (2x+b) 0 , ( , ) , 2 0b a x b a x b? ? ? ? ? ? ?，2( , ), 3 ,x b a a x? ? ? ? ? 23,b a b? ? ?? 設(shè) z a b??，考慮點 (b,a)的可行域，函數(shù) 23yx?? 的斜率為 1 的切線的切點設(shè)為 00( , )xy 則0 0 0116 1 , , ,6 1 2x x y? ? ? ? ? ?m a x 1 1 1()1 2 6 6z? ? ? ? ? ?； 當 0ab??時，因為， 函數(shù) )(xf 和 )(xg 在區(qū)間（ a, b）上單調(diào)性一致，所以，39。39。( , ) , ( ) ( ) 0 ,x a b f x g x? ? ? 即 ( , ) , x 0 ,x a b? ? ?2（ 3 +a ） (2x+b)0 , ( , ) , 2 0b x a b x b? ? ? ? ? ?，2( , ), 3 ,x a b a x? ? ? ? ? 2 13 , 0 ,3a a a? ? ? ? ? ? ?max 1( ) 。3ba? ? ? 當 0ab??時，因為， 函數(shù) )(xf 和 )(xg 在區(qū)間（ a, b） 上單調(diào)性一致，所以，39。39。( , ) , ( ) ( ) 0 ,x a b f x g x? ? ? 即 ( , ) , ( x 0 ,x a b? ? ?22x+b) （ 3 +a ）0,b? 而 x=0 時， x 2（ 3 +a） (2x+b)=ab0,不符合題意， 當 0ab?? 時，由題意：( , 0) , x 0 ,xa? ? ?22x （ 3 +a ） 2( , 0 ) , x 0 , 3 0 ,x a a a? ? ? ? ? ? ?23 + a 110,33a b a? ? ? ? ? ? ? 綜上可知，max 13ab??。 56.（ 2022年高考 遼寧 卷文科 20)（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) f（ x） =x+ax2+blnx，曲線 y=f（ x）過 P（ 1,0），且在 P 點處的切斜線率為 2. （ I）求 a， b 的值； （ II）證明： f(x)≤ 2x2。 57.(2022年高考安徽 卷 文科 18)（本小題滿分 13 分） 設(shè)2() 1xefx ax? ? ，其中 a 為正實數(shù) （Ⅰ）當 a 43? 時，求 ()fx的極值點； （Ⅱ）若 ()fx為 R 上的單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍。 【 命題意圖 】： 本題考察導(dǎo)數(shù)的運算，極值點的判斷，導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，求解二次不等式，考察運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力。 【解析】： 2239。2 2 2 2( 1 ) 2 1 2() ( 1 ) ( 1 )xx xe a x e a x a x a xf x ea x a x? ? ? ????? （ 1） 當 a 43? 時 ，239。2248133() 4(1 )3xxxf x ex????，由 39。( ) 0fx? 得 24 8 3 0xx? ? ? 解得1213,22xx?? 由 39。( ) 0fx? 得 1322xx??或 ，由 39。( ) 0fx? 得 1322x?? ， 當 x變化時 39。()fx與 ()fx相應(yīng)變化如下表： x 1( , )2?? 12 13( , )22 32 3( , )2?? 39。()fx + 0 0 + ()fx ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以，1 12x?是 函數(shù) ()fx的極大值點，2 32x?是 函數(shù) ()fx的極小值點。 （ 2） 因為 ()fx為 R 上的單調(diào)函數(shù) ，而 a 為正實數(shù) ，故 ()fx為 R 上的單調(diào) 遞增 函數(shù) 39。( ) 0fx??恒成立 ，即 2 2 1 0ax ax? ? ?在 R 上恒成立 ，因此 24 4 0aa? ? ? ?， 結(jié)合 0a? 解得 01a?? 【解 題指導(dǎo) 】 ：極值點的判定一定要結(jié)合該點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，不可盲目下結(jié)論。同時還要注意“極值”與“極值點”的區(qū)別避免畫蛇添足做無用功。 某區(qū)間（ a,b）上連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號之間的關(guān)系為： 若函數(shù) ()fx在區(qū)間（ a,b）上單調(diào)遞增（遞減），則 39。( ) 0fx? （ 39。( ) 0fx? ） 若函數(shù) ()fx的導(dǎo)數(shù) 39。( ) 0fx? （ 39。( ) 0fx? ） ，則函數(shù) ()fx在區(qū)間（ a,b）上單調(diào)遞增（遞減） 若函數(shù) ()fx的導(dǎo)數(shù) 39。( ) 0fx? 恒成立 ，則函數(shù) ()fx在區(qū)間（ a,b）上為常數(shù)函數(shù)。 58． （ 2022年高考 重慶 卷文科 19)（本小題滿分 12 分，（Ⅰ）小題 5 分，（Ⅱ）小題 7 分） 設(shè) 3. 2( ) 2 1f x x ax bx? ? ? ?的導(dǎo)數(shù)為 ()fx? ，若函數(shù) ()y f x?? 的圖像關(guān)于直線12x?? 對稱，且 (1) 0f? ? ． （Ⅰ）求實數(shù) ,ab的值 （Ⅱ）求函數(shù) ()fx的極值 解：（ I）因 3 2 2( ) 2 1 , ( ) 6 2 .f x x a x b x f x x a x b?? ? ? ? ? ? ?故 從而 22( ) 6 ( ) ,66aaf x x b? ? ? ? ? 即 ()y f x?? 關(guān)于直線 6ax?? 對稱，從而由題設(shè)條件知 1 , 3 .62a a? ? ? ?解 得 又由于 (1 ) 0 , 6 2 0 , a b b? ? ? ? ? ? ?即 解 得 （ II）由（ I）知 32( ) 2 3 12 1 ,f x x x x? ? ? ? 2( ) 6 6 12f x x x? ? ? ? 6( 1)( 2).xx? ? ? 令 12( ) 0 , 6 ( 1 ) ( 2 ) 0 . 2 , 1 .f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?即 解 得 當 ( , 2 ) , ( ) 0 , ( ) ( , 2 )x f x f x?? ? ? ? ? ? ? ?時 故 在上為增函數(shù)； 當 ( 2 , 1 ) , ( ) 0 , ( ) ( 2 , 1 )x f x f x?? ? ? ?時 故 在上為減函數(shù)； 當 (1 , ) , ( ) 0 , ( ) (1 , )x f x f x?? ? ? ? ? ?時 故 在上為增函數(shù)； 從而函數(shù) 1( ) 2f x x ??在 處取得極大值 2( 2) 21 , 1fx? ? ?在 處取得極小值 (1) ?? [來源于：星火益佰高考資源網(wǎng) ()]