【正文】 三角形，且 30ACF? ? ? 所以 AC⊥ BC, 又因?yàn)?BC 與 CC1 都在平面 BB1C1C 內(nèi)且交于點(diǎn) C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C,而 AC? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 【命題立意】 : 本題主要考查直棱柱的概念、線面平行和線面垂直 位置關(guān)系的判定 .熟練掌握平行和垂直的判定定理 .完成線線、線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化 . 19. （本小題滿分 12 分） 一汽車廠生產(chǎn) A,B,C 三類轎車 ,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào) ,某月的產(chǎn)量如下表 (單位 :輛 ): 轎車 A 轎車 B 轎車 C 舒適型 100 150 z 標(biāo)準(zhǔn)型 300 450 600 按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取 50 輛 ,其中有 A 類轎車 10 輛 . （ 1） 求 z 的值 . （ 2） 用分層抽樣的方法在 C 類轎車中抽取一個(gè)容量為 5 的樣本 .將該樣本看成一個(gè)總體 ,從中任取 2 輛 ,求至少有 1 輛舒適型轎車的概率 。 （ 3） 用隨機(jī)抽樣的方法從 B 類舒適型轎車中抽取 8 輛 ,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下 :, , , , , , , 8輛轎車的得分看作一個(gè)總體 ,從中任取一個(gè)數(shù) ,求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò) 的概率 . 解 : (1). 設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為 n 輛 , 由題意得 , 50 10100 300n ? ? , 所以 n=2022. z=2022100300150450600=400 (2) 設(shè)所抽樣本中有 m 輛舒適型轎車 ,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ?C 類轎車中抽取一個(gè)容量為5 的樣本 ,所以 4001000 5m? ,解得 m=2 也就是抽取了 2 輛舒適型轎車 ,3 輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車 ,分別記作S1,S2。B1,B2,B3,則從中任取 2 輛的所有基本事件為 (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 個(gè) ,其中至少有 1 輛舒適型轎車的基本事件有7 個(gè)基本事件 : (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以從中任取 2 輛 ,至少有 1 輛舒適型轎車的概率為 710 . (3)樣本的平均數(shù)為 1 ( 9 . 4 8 . 6 9 . 2 9 . 6 8 . 7 9 . 3 9 . 0 8 . 2 ) 98x ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò) 的數(shù)為 , , , , , 這 6 個(gè)數(shù) ,總的個(gè)數(shù)為 8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò) 的概率為 ? . 【命題立意】 :本題為概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)內(nèi)容 ,涉及到分層抽樣以及古典概型求事件的概率 問(wèn)題 .要讀懂題意 ,分清類型 ,列出基本事件 ,查清個(gè)數(shù) .,利用公式解答 . 20.（本小題滿分 12 分） 等比數(shù)列 { na }的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 已知對(duì)任意的 nN?? ，點(diǎn) (, )nnS ，均在函數(shù)(0xy b r b? ? ? 且 1, ,b br? 均為常數(shù) )的圖像上 . （ 1）求 r 的值； （ 11）當(dāng) b=2 時(shí)，記 1()4n nnb n Na ???? 求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和 nT 解 :因?yàn)閷?duì)任意的 nN?? ,點(diǎn) ( , )nnS ，均在函數(shù) (0xy b r b? ? ? 且 1, ,b br? 均為常數(shù) )的圖像上 .所以得 nnS b r??, 當(dāng) 1n? 時(shí) , 11a S b r? ? ? , 當(dāng) 2n? 時(shí) , 1 1 11 ( ) ( 1 )n n n n nn n na S S b r b r b b b b? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 又因?yàn)?{ na }為等比數(shù)列 , 所以 1r?? , 公比為 b , 所以 1( 1) nna b b ??? （ 2）當(dāng) b=2 時(shí)， 11( 1) 2nnna b b ??? ? ?, 111114 4 2 2n nnnnnnb a ?????? ? ?? 則2 3 4 12 3 4 12 2 2 2n nnT ??? ? ? ? ? 3 4 5 1 21 2 3 4 12 2 2 2 2 2n nnT ?? ?? ? ? ? ? ? 相減 ,得2 3 4 5 1 21 2 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2n nn nT ?? ?? ? ? ? ? ? ? 31211(1 )2212212nnn???? ???? 123 1 14 2 2nnn???? ? ? 所以113 1 1 3 32 2 2 2 2n n n nnnT ??? ? ? ? ? 【命題立意】 :本題主要考查了等比數(shù)列的定義 ,通項(xiàng)公式 ,以及已知 nS 求 na 的基本 題型 ,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nT . 21.（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 321( ) 33f x a x b x x? ? ? ?,其中 0a? （ 1） 當(dāng) ba, 滿足什么條件時(shí) , )(xf 取得極值 ? （ 2） 已知 0?a ,且 )(xf 在區(qū)間 (0,1] 上單調(diào)遞增 ,試用 a 表示出 b 的取值范圍 . 解 : (1)由已知得 239。( ) 2 1f x ax bx? ? ?,令 0)(39。 ?xf ,得 2 2 1 0ax bx? ? ? , )(xf 要取得極值 ,方程 2 2 1 0ax bx? ? ?必須有解 , 所以△ 24 4 0ba? ? ? ,即 2ba? , 此時(shí)方程 2 2 1 0ax bx? ? ?的根為 221 2 4 42b b a b b ax aa? ? ? ? ? ???, 222 2 4 42b b a b b ax aa? ? ? ? ? ???, 所以 1239。( ) ( )( )f x a x x x x? ? ? 當(dāng) 0?a 時(shí) , x (∞ ,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+∞ ) f’(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 所以 )(xf 在 x 1, x2 處分別取得極 大值和極小值 . 當(dāng) 0?a 時(shí) , x (∞ ,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+∞ ) f’(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 所以 )(xf 在 x 1, x2 處分別取得極大值和極小值 . 綜上 ,當(dāng) ba, 滿足 2ba? 時(shí) , )(xf 取得極值 . (2)要使 )(xf 在區(qū)間 (0,1] 上單調(diào)遞增 ,需使 239。( ) 2 1 0f x a x b x? ? ? ?在 (0,1] 上恒成立 . 即 1 , ( 0 ,1]22axbxx? ? ? ?恒成立 , 所以max1()22axb x? ? ? 設(shè) 1() 22axgx x? ? ? , 2221()139。( ) 2 2 2axa agx xx ?? ? ? ?, 令 39。( ) 0gx? 得 1xa?或 1xa??(舍去 ), 當(dāng) 1?a 時(shí) , 101a??,當(dāng) 1(0, )xa?時(shí) 39。( ) 0gx? , 1() 22axgx x? ? ? 單調(diào)增函數(shù) 。 當(dāng) 1( ,1]xa?時(shí) 39。( ) 0gx? , 1() 22axgx x? ? ? 單調(diào)減函數(shù) , 所以當(dāng) 1xa?時(shí) , ()gx 取得最大 ,最大值為 1()gaa ??. 所以 ba?? 當(dāng) 01a??時(shí) , 1 1a?,此時(shí) 39。( ) 0gx? 在區(qū)間 (0,1] 恒成立 ,所以 1() 22axgx x? ? ? 在區(qū)間(0,1] 上單調(diào)遞增 ,當(dāng) 1x? 時(shí) ()gx 最大 ,最大值為 1(1) 2ag ??? ,所以 12ab ??? 綜上 ,當(dāng) 1?a 時(shí) , ba?? 。 當(dāng) 01a??時(shí) , 12ab ??? 【命題立意】 :本題為三次函數(shù) ,利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值 ,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù) ,則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號(hào)確定 ,從而轉(zhuǎn)為不等式 恒成立 ,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值 .運(yùn)用函數(shù)與方程的思想 ,化歸思想和分類討論的思想解答問(wèn)題 . 22. （本小題滿分 14 分） 設(shè) mR? ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,已知向量 ( , 1)a mx y??,向量 ( , 1)b x y??,ab? ,動(dòng)點(diǎn) ( , )Mx y 的軌跡為 E. （ 1）求軌跡 E 的方程 ,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀 。 （ 2）已知 41?m ,證明 :存在圓心在原點(diǎn)的圓 ,使得該圓的任意一條切線與軌跡 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且 OA OB? (O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ),并求出該圓的方程 。 (3)已知 41?m ,設(shè)直線 l 與圓 C: 2 2 2x y R??(1R2)相切于 A1,且 l 與軌跡 E 只有一個(gè)公共點(diǎn) B1,當(dāng) R 為何值時(shí) ,|A1B1|取得最大值 ?并求最大值 . 解 :（ 1）因?yàn)?ab? , ( , 1)a mx y??, ( , 1)b x y??, 所以 22 10a b m x y? ? ? ? ?, 即 221mx y??. 當(dāng) m=0 時(shí) ,方程表示兩直線 ,方程為 1??y 。 當(dāng) 1m? 時(shí) , 方程表示的是圓 當(dāng) 0?m 且 1?m 時(shí) ,方程表示的是橢圓 。 當(dāng) 0?m 時(shí) ,方程表示的是雙曲線 . (2).當(dāng) 41?m 時(shí) , 軌跡 E 的方程為 2 2 14x y??,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為 y kx t??,解方程組 22 14y kx tx y?????????得 224( ) 4x kx t? ? ?,即 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k tx t? ? ? ? ?, 要使切線與軌跡 E 恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B, 則使△ = 2 2 2 2 2 264 16( 1 4 ) ( 1 ) 16( 4 1 ) 0k t k t k t? ? ? ? ? ? ?, 即 224 1 0kt? ? ? ,即 2241tk??, 且12 2212 28144414ktxxktxxk? ? ? ??? ???? ?? ?? 2 2 2 2 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2( 4 4 ) 8 4( ) ( ) ( ) 1 4 1 4 1 4k t k t t ky y k x t k x t k x x k t x x t tk k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, 要使 OA OB? , 需使 1 2 1 2 0x x y y??,即 2 2 2 2 22 2 24 4 4 5 4 4 01 4 1 4 1 4t t k t kk k k? ? ? ?? ? ?? ? ?, 所以 225 4 4 0tk? ? ? , 即 225 4 4tk??且 2241tk??, 即 224 4 20 5kk? ? ?恒成立 . 所以又因?yàn)橹本€ y kx t??為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線 , 所以圓的半徑為21tr k? ? , 222 224 (1 ) 451 1 5ktrkk?? ? ???, 所求的圓為 2245xy??. 當(dāng)切線的斜率不存在時(shí) ,切線為 552??x ,與 2 2 14x y??交于點(diǎn) )