【正文】 (B) 54 (C) 74 (D) 34 【解析】 D：本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置 關(guān)系及直線與平面所成角。 過 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，連結(jié) SE，過 A 作 AF 垂直于 SE 交SE于 F，連 BF，∵正三角形 ABC，∴ E為 BC中點，∵ BC⊥ AE， SA⊥ BC，∴ BC⊥面 SAE，∴ BC⊥ AF， AF⊥ SE，∴ AF⊥面 SBC，∵∠ABF為直線 AB與面 SBC 所成角，由正三角形邊長 3，∴ 3AE? ，A B C S E F AS=3，∴ SE=23， AF=32 ，∴ 3sin 4ABF?? （ 9）將標號為 1， 2， 3， 4， 5， 6 的 6 張卡片放入 3 個不同的信封中，若每個信封放 2 張，其中標號為 1， 2 的卡片放入同一信封，則不同的方法共有 （ A） 12 種 (B) 18 種 (C) 36 種 (D) 54 種 【解析】 B：本題考查了排列組合的知識 ∵先從 3個信封中選一個放 1， 2有 3種不同的選法，再從剩下的 4個數(shù)中選兩個放一個信封有 24 6C? ，余下放入最后一個信 封，∴共有 243 18C ? （ 10） △ ABC 中，點 D 在邊 AB 上， CD 平分 ∠ ACB，若 CB = a , CA = b , a = 1 ， b = 2, 則 CD = （ A） 13 a + 23 b （ B） 23 a +13 b （ C） 35 a +45 b （ D） 45 a +35 b 【解析】 B：本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識 ∵ CD 為 角 平 分 線 ， ∴ 12BD BCAD AC??，∵ A B CB CA a b? ? ? ?，∴ 2 2 23 3 3A D A B a b? ? ?，∴ 2 2 2 13 3 3 3C D C A A D b a b a b? ? ? ? ? ? ? （ 11）與正方體 ABCD— A1B1C1D1 的三條棱 AB、 CC A1D1 所在直線的距離相等的點 （ A）有且只有 1 個 （ B）有且只有 2 個 （ C）有且只有 3 個 （ D）有無數(shù)個 【解析】 D：本題考查了空間想象能力 ∵到三條兩垂直的直線距離相等的點在以三條 直線為軸，以正方體邊長為半徑的圓柱面上，∴三個圓柱面有無數(shù)個交點， （ 12）已知橢圓 C： 221xyab??（ ab0）的離心率為 32 ，過右焦點 F 且斜率為 k（ k0）的直線于 C 相交于 A、 B 兩點，若 3AF FB? 。則 k = （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 （ 13）已知α是第二象限的角 ,tanα =1/2，則 cosα =__________ 【解析】 255? ：本題考 查了同角三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識 ∵ 1tan 2??? ，∴ 25cos 5? ?? (14)(x+1/x)9的展開式中， x3 的系數(shù)是 _________ 【解析】 84：本題考查了二項展開式定理的基礎(chǔ)知識 ∵ 919 1()r r rrT C x x?? ? ，∴ 9 2 3, 3rr? ? ? ，∴ 39 84C? (15)已知拋物線 C： y2=2px（ p0）的準線 l，過 M（ 1,0）且斜率為 的直線與 l相交于A，與 C的一個交點為 B，若 ，則 p=_________ 【解析】 2：本題考查了拋物線的幾何性質(zhì) 設(shè)直線 AB： 33yx??，代入 2 2y px? 得 23 ( 6 2 ) 3 0x p x? ? ? ? ?，又∵ AM MB? ，∴ 1 22xp??，解得 2 4 12 0pP? ? ?，解得 2, 6pp? ?? （舍去） （ 16）已知球 O 的半徑為 4，圓 M 與圓 N 為該球的兩個小圓， AB 為圓 M 與圓 N 的公共弦， 4AB? ， 若 3OM ON??，則兩圓圓心的距離 MN? 。 【解析】 3：本題考查球、直線與圓的基礎(chǔ)知識 ∵ ON=3，球半徑為 4，∴小圓 N 的半徑為 7 ，∵小圓 N中弦長 AB=4，作 NE 垂直于 AB，∴ NE= 3 ，同理可得3ME? ，在直角三角形 ONE中，∵ NE= 3 ， ON=3，∴ 6EON ???，∴ 3MON ???，∴ MN=3 三、解答題；本大題共 6小題，共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 （ 17）（本小題滿分 10 分） Δ ABC中， D 為邊 BC 上的一點， 33BD? ， 5sin 13B? ， 3cos 5ADC??， 求 AD 。 【解析】本題考查了同角三角函數(shù) 的關(guān)系、正弦定理與余弦定理的基礎(chǔ)知識。 由 ADC? 與 B? 的差求出 BAD? ，根據(jù)同角關(guān)系及差角公式求出 BAD? 的正弦，在三角形 ABD中，由正弦定理可求得 AD。 O M N E A B （ 18）（本小題滿分 12 分） 已知 {}na 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 12 12112( )aa aa? ? ?，345 3451 1 16 4 ( )a a a a a a? ? ? ? ? （Ⅰ）求 {}na 的通項公式； （Ⅱ）設(shè) 21()nnnbaa??，求數(shù)列 {}nb 的前 n 項和 nT 。 【解析】本題考查了數(shù)列通項、前 n 項和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識。 （ 1）設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于 1a 與 d 的方程求得 1a 與 d ，可求得數(shù)列的通項公式。 （ 2）由（ 1）中求得數(shù)列通項公式，可求出 BN的通項公式，由其通項公式化可知其和可分成兩個 等比數(shù)列分別求和即可求得。 （ 19）（本小題滿分 12 分） 如圖，直三棱柱 ABCA1 B1 C1 中， AC=BC， AA1=AB， D 為 BB1的中點， E 為 AB1 上的一點， AE=3 EB1 （Ⅰ）證明： DE為異面直線 AB1與 CD的公垂線； （Ⅱ）設(shè)異面直線 AB1 與 CD的夾角為 45176。 ,求二面角 A1 AC1 B1 的大小 . 【解析】本題考查了立體幾何中直線與平面、 平面與平面及異面直線所成角與二面角的基礎(chǔ)知識。 （ 1）要證明 DE為 AB1 與 CD 的公垂線，即證明 DE 與它們都垂直，由 AE=3EB1，有 DE與 BA1平行，由 A1ABB1 為正方形，可證得，證明 CD 與 DE 垂直，取 AB 中點 F。連結(jié) DF、 FC，證明 DE與平面 CFD垂直即可證明 DE與 CD垂直。 （ 2）由條件將異面直線 AB1， CD 所成角找出即為 ? FDC，設(shè)出 AB連長，求出所有能求出的邊長，再作出二面角的平面角，根據(jù)所求的邊 長可通過解三角形求得。 （ 20）（本小題滿分 12 分） 如圖，由 M到 N 的電路中有 4個元件，分別標為 T1， T2 ， T3 ， T4 ，電源能通過 T1，T2 ， T3 的概率都是 P，電源能通過 T4 的概率是 ，電源能否通過各元件相互獨立 。已知T1， T2 ， T3 中至少有一個能通過電流的概率為 。 （Ⅰ）求 P； （Ⅱ）求電流能在 M與 N之間通過的概率。 【解析】本題考查了概率中的互斥事件、對立 事件及獨立事件的概率， （ 1）設(shè)出基本事件，將要求事件用基本事件的來 表示，將 T1， T2， T3 至少有一個能通過電流用基本事件表示并求出概率即可求得 P。 （ 2）將 MN 之間能通過電流用基本事件表示出來，由互斥 事件與獨立事件的概率求得。 （ 21）（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) f（ x） =x3 3ax2 +3x+1。 （Ⅰ）設(shè) a=2，求 f（ x）的單調(diào) 期間； （Ⅱ）設(shè) f（ x）在區(qū)間（ 2,3）中至少有一個極值點，求 a的取值范圍。 【解析】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 ，主要考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)與方程的知識。 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于 0，可求得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于 0，可求得減區(qū)間。 （ 2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ()fx? ，在（ 2， 3）內(nèi)有極值，即為 ()fx? 在（ 2， 3）內(nèi)有一個零點，即可根據(jù) (2) (3) 0ff??? ，即可求出 A的取值范圍。 （ 22）（本小題滿分 12 分） 已知斜率為 1 的直線 1 與雙曲線 C： 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?相交于 B、 D 兩點，且 BD 的中點為 M（ ） （ Ⅰ ）求 C的離 心率； （ Ⅱ ）設(shè) C 的右頂點為 A，右焦點為 F， |DF| |BF|=17 證明：過 A、 B、 D 三點的圓與 x 軸相切。 【解析】本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知 識，考查學生運用所學知識解決問題的能力。 （ 1）由直線過點（ 1， 3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于 BD兩點的中點為（ 1，3），可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點坐標 公式找出 A,B的關(guān)系式即求得離心率。 （ 2）利用離心率將條件 |FA||FB|=17，用含 A的代數(shù)式表示，即可求得 A，則 A點坐標可得（ 1 ， 0 ）， 由 于 A 在 X 軸 上 所 以 ， 只 要 證 明 2AM=BD 即證得。 絕密★啟用前 2022 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 文科數(shù)學 (必修 +選 修 I) 本試卷分第Ⅰ卷 (選擇題 )和第Ⅱ卷 (非選擇題 )兩部分。第Ⅰ卷 1至 2頁。第Ⅱ卷 3至 4頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 。 第Ⅰ卷 注意事項： 1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚， 并貼好條形碼 .請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目 . 2．每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動 ,用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號， 在試題卷上作答無效 ． ． ． ． ． ． ． ． ． . 3．第Ⅰ卷共 l2 小題，每小題 5分，共 60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 . 一、選擇題 (1)設(shè)集合 U=? ?1,2,3,4 , ? ?1,2,3 ,M ? ? ?2,3,4 ,N ? 則 U =（ MN）I240。 （ A） ??12， （ B） ? ?23， （ C） ? ?2， 4 （ D） ? ?1， 4 【答案】 D 【命題意圖】本題主要考查集合交并補運算 . 【解析】 { 2 , 3 }, ( ) { 1 , 4 }UM N M N? ? ?240。Q I I (2)函數(shù) 2 ( 0)y x x??的反函數(shù)為 （ A） 2 ()4xy x R?? （ B） 2 ( 0)4xyx?? （ C） 24yx? ()xR? （ D） 24 ( 0)y x x?? 【答案】 B 【命題意圖】本題主要考查反函數(shù)的求法 . 【解析】由原函數(shù)反解得 24yx? ,又原函數(shù)的值域為 0y? , 所以函數(shù)2 ( 0)y x x??的反函數(shù)為 2 ( 0)4xyx??. (3)設(shè)向量 ,ab滿足 | | | | 1ab??, 12ab? ??rr ,則 2ab?? （ A） 2 （ B） 3 （ C） 5 （ D） 7 【答案】 B 【命題意圖】本題主要考查平面向量 的數(shù)量積與長度的計算方法 . 【解析】 2 2 2 1| 2 | | | 4 4 | | 1 4 ( ) 4 32a b a a b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r r r r r ur,所以 23ab??rr (4)若變量 x， y滿足約束條件 63 21xyxyx??????????，則 =2 3z x y? 的最小值為 （ A） 17 （ B） 14 （ C） 5 （ D） 3 【答案】 C 【命題意圖】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃 . 【解析】 作出不等式組表示的可行域，從圖中不難觀察當直線 =2 3z x y? 過直線 x=1 與x3y=2的交點（ 1， 1）時取得最小值 ,所以最小值為 5. (5)下面四個條件 中 ，使 ab? 成立的充分而不必要的條件是 （ A） 1ab?＞ （ B） 1ab?＞ （ C） 22ab＞ （ D） 33ab＞ 【答案】 A 【命題意圖】本題主要考查充要條件及不等式的 性質(zhì) . 【解析】即尋找命題 P ,使 P a b??,且 ab? 推不出 P ,逐項驗證知可選 A. (6)設(shè) nS 為等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和 ， 若 1 1a? ， 公差 2d? ， 2 24kkSS? ??， 則k? （ A） 8 （ B） 7 （ C） 6 （ D） 5 【答案】 D 【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的基本公式的應(yīng)用 . 【解析】解法一2 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )[ ( 2 ) 1 2 ] [ 1 2 ] 4 4 2 422kk k k k kS S k k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得5k? . 解法二 : 2 2 1 [ 1 ( 1 ) 2] ( 1 2) 4 4 24k k k kS S a a k k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 5k? . (7)設(shè)函數(shù) ( ) c os ( 0)f x x????， 將 ()y f x? 的圖像向右平移 3? 個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，則 ? 的最小值等于 （ A） 13 （ B） 3 （ C） 6 （ D） 9 【答案】 C C ? ? l A B D 【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的周期性與三角函數(shù) 圖像變換的關(guān)系 . 【解析】由題意 將 ()y f x? 的圖像向右平移 3? 個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，說明了 3? 是此函數(shù)周期的整數(shù)倍 ,得 2 ()3k k Z??? ? ? ?,解得 6k?? ,又 0?? ,令 1k? ,得 min 6? ? . (8)已知直二面角 l???? ,點 A?? ， AC l? ,C 為垂足 ,B ?? ， BD l? ,D 為垂 足 ,若 2 , 1AB AC BD? ? ?，則 CD? （ A） 2 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 【答案】 C 【命題意圖】本題主要考查 二面角的平面角及解三角形 . 【解析】 因為 l???? 是直 二面角 , AC l? ,∴ AC? 平面 ? , AC BC?? 3BC??,又 BD l? , 2CD??