【正文】 西安翔龍教育 ,專業(yè)輔導(dǎo)數(shù)學(xué) 熱線 :02982551428 20 ? ? ? ?2 1 2 1 2 11 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( )nna a n d n d n d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 同理， 3 2 3 2( 1 ) ( )nna a n d d? ? ? ?， 4 3 4 3( 1 ) ( )nna a n d d? ? ? ?， … ， ( 1 ) 1( 1 ) ( )n n n n n na a n d d??? ? ? ?. 又因為 nnnnn aaaa , 321 ? 成等差數(shù)列，所以 nn aa 12 ? = nn aa 23 ? =…= nnnn aa )1( ?? 故 ,12312 ??????? nn dddddd ?即 ??nd 是公差為 12 dd? 的等差數(shù)列 . 所以 1 2 1 1 2( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 )md d m d d m d m d? ? ? ? ? ? ? ?. 令 ,1,2 21 ???? mpmp 則 2211 dpdpd m ?? 此時 21 pp? =1. (2) 當(dāng) 3,1 21 ?? dd 時 , )(12 *Nmmd m ??? 數(shù)列 ??md 分組如下： 1()d ， 234( , , )d d d ， 5 6 7 8 9( , , , , )d d d d d， … 按分組規(guī)律，第 m 組中有21m? 個奇數(shù)， 所以第 1 組到第 m 組共有 21 3 5 ( 2 1 )mm? ? ? ? ? ?個奇數(shù) . 注意到前 k 個奇數(shù)的和為 21 3 5 ( 2 1 )kk? ? ? ? ? ?， 所以前 2m 個奇數(shù)的和為 2 2 4()mm? . 即前 m 組中所有數(shù)之和為 4m ，所以 44()mcm? . 因為 0,mc ? 所以 mcm? ，從而 *2 ( 2 1 ) 2 ( ) .mc mmd m m N? ? ? ? 所以 2 3 4 11 2 3 2 5 2 7 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnS n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 2 3 4 5 12 1 2 3 2 5 2 7 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnS n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 2 3 4 12 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 1 ) 2nnnSn ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 12( 2 2 2 2 ) 2 ( 2 1 ) 2nnn ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 ( 2 1 )2 2 ( 2 1 ) 221n nn ??? ? ? ? ? ?? 1(3 2 )2 6nn ?? ? ?. 所以 1(2 3)2 6nnSn ?? ? ?. (3)由 (2)得 *2 1( )nd n n N? ? ?, 1(2 3)2 6nnSn ?? ? ?*()nN? . 西安翔龍教育 ,專業(yè)輔導(dǎo)數(shù)學(xué) 熱線 :02982551428 21 故不等式 1 ( 6)50nnSd??就是 1( 2 3 ) 2 5 0 ( 2 1)nnn?? ? ?. 考慮函數(shù) 11( ) ( 2 3 ) 2 5 0 ( 2 1 ) ( 2 3 ) ( 2 5 0 ) 1 0 0nnf x n n n??? ? ? ? ? ? ? ?. 當(dāng) 1,2,3,4,5n? 時，都有 ( ) 0fn? ，即 1( 2 3 ) 2 5 0 ( 2 1)nnn?? ? ?. 而 ( 6) 9( 128 50) 100 602 0f ? ? ? ? ?， 注意到當(dāng) 6n? 時， ()fn單調(diào)遞增，故有 ( ) 0fn? . 因此 ,當(dāng) 6n? 時， 1( 2 3 ) 2 5 0 ( 2 1)nnn?? ? ?成立，即 1 ( 6)50nnSd??成立 . 所以 ,滿足條件的所有正整數(shù) N=5,6,7, ,20 . 17． 已知函數(shù) ,164)(21 ?? xmxxf mxxf ?? )21()(2,其中 0?? mRm 且 . (1)判斷函數(shù) )(1xf 的單調(diào)性； (2)若 2??m ，求函數(shù) ? ?)2,2())(( 21 ???? xxfxfxf （） 的最值； (3)設(shè)函數(shù)??? ??? 2),( 2),()(21 xxf xxfxg ，當(dāng) 2?m 時，若對于任意的 ? ???? ,21x ，總存在唯一的? ?2,2 ???x ，使得 )()( 21 xgxg ? 成立，試求 m 的取值范圍 . 解：（ 1） ,)82( 4()( 2221 ???? x xmxf ）則當(dāng) 0?m 時，知函數(shù) )(1xf 在 )2,2(? 上單調(diào)遞增，在 ? ?2,???及 ),2( ?? 上單調(diào)遞減；當(dāng) 0?m 時，知函數(shù) )(1xf 在 )2,2(? 上單調(diào)遞減，在 ? ?2,??? 及),2( ?? 上單調(diào)遞增 . (2)由 22,2 ????? xm ，可得 xmmxxf )21(2)21()(2 ??? ?. xmx mxxfxfxf )21(2164))(( 221 ??????? （） . 由 (1)知，當(dāng) 2??m ， 22 ??? x ，函數(shù) )(1xf 在 ? ?2,2? 上是減函數(shù)， 而函數(shù) xmxf )21(2)(2 ??在 ? ?2,2? 上也是減函數(shù)， 故當(dāng) 2??x 時，函數(shù) )(xf 取得最大值 162,1624 2 mm mm ??? ?即 . 當(dāng) 2?x 時 , 函數(shù) )(xf 取得最小值 162 2 mm ?? . 西安翔龍教育 ,專業(yè)輔導(dǎo)數(shù)學(xué) 熱線 :02982551428 22 (3)當(dāng) 2?m 時，由于 21?x ，則164)()( 21 1111 ??? x mxxfxg， 由 (1)知，此時函數(shù) )(1xg 在 ? ???,2 上是減函數(shù)， 從而 ]160)()]2(0)(111 mxgfxg ，（，即，（ ?? 若 2?m 時，由于 22?x ，則 ?? )()( 222 xfxg mx?2)21( =2)21( xm?=22)21( xm?， 易知 )(2xg 在 ? ?2,?? 上單調(diào)遞增，從而 ))21(0)())2(0)( 2222 ??? mxgfxg ，（，即，（. 要使 )()( 21 xgxg ? 成立，只需 2)21(16 ?? mm ，即 0)21(16 2 ?? ?mm 成立即可 , 設(shè) ,)21(16)( 2??? mmmh 則易知函數(shù) )(mh 在 ? ???,2 上單調(diào)遞增，且 0)4( ?h ， 故 4?m ，所以 42 ??m . 18． 對于定義域為 D 的函數(shù) )(xfy? ，如果存在區(qū)間 Dnm ?],[ ，同時滿足： ① )(xf 在 ],[ nm 內(nèi)是單調(diào)函數(shù)； ② 當(dāng)定義域是 ],[ nm 時， )(xf 的值域也是 ],[ nm ．則稱 ],[ nm 是該函數(shù)的 “和諧區(qū)間 ”． （ 1）求證：函數(shù) xxgy 53)( ??? 不存在 “和諧區(qū)間 ”． （ 2）已知：函數(shù) xa xaay 22 1)( ??? （ 0, ?? aRa ）有 “和諧區(qū)間 ” ],[ nm ，當(dāng) a 變化時，求出 mn?的最大值． （ 3）易知，函數(shù) xy? 是以任一區(qū)間 ],[ nm 為它的 “和諧區(qū)間 ”．試再舉一例有 “和諧區(qū)間 ”的函數(shù)，并寫出它的一個 “和諧區(qū)間 ”．（不需證明，但不能用本題已討論過的 xy? 及形如 axcbxy ?? 的函數(shù)為例） 解： （ 1）設(shè) ],[ nm 是已知函數(shù)定義域的子集． 0?x? ， )0,(],[ ???nm 或),0(],[ ???nm ，故函 數(shù) xy 53?? 在 ],[ nm 上單調(diào)遞增． 若 ],[ nm 是已知函數(shù)的 “和諧區(qū)間 ”，則 ??? ??nng mmg )( )( 故 m 、 n 是方程 xx??53 的同號的相異實數(shù)根． 0532 ??? xx? 無實數(shù)根， ?函數(shù) xy 53?? 不存在 “和諧區(qū)間 ”． 西安翔龍教育 ,專業(yè)輔導(dǎo)數(shù)學(xué) 熱線 :02982551428 23 （ 2）設(shè) ],[ nm 是已知函數(shù)定義域的子集． 0?x? ， )0,(],[ ???nm 或),0(],[ ???nm ，故函數(shù) xaaaxa xaay 222 111)( ?????? 在 ],[ nm 上單調(diào)遞增． 若 ],[ nm 是已知函數(shù)的 “和諧區(qū)間 ”，則??? ??nnf mmf )( )( 故 m 、 n 是方程 xxaaa ???211，即 01)( 22 ???? xaaxa 的同號的相異實數(shù)根． 012 ?? amn? ， m? ， n 同號，只須 0)1)(3(2 ????? aaa ，即 1?a 或 3??a 時，已知函數(shù)有 “和諧區(qū)間 ” ],[ nm ， 34)311(34)( 22 ???????? amnmnmn? ， ?當(dāng) 3?a 時， mn? 取最大值 332 （ 3）如： 2??? xy 和諧區(qū)間為 ]2,0[ 、 ]3,1[? ，當(dāng) 2??ba 的區(qū)間 ],[ ba ； xy 2sin?? 和諧區(qū)間為 ]1,0[ ； 21 xy ?? 和諧區(qū)間為 ]0,1[? 19．已知函數(shù)： ???? aaxxaxf (3ln)( R) . （ 1）討論函數(shù) )(xf 的單調(diào)性； （ 2）若函數(shù) )(xfy? 的 圖象在點 ))2(,2( f 處的切線的傾斜角為 。45 ，對于任意的 ? ?2,1?t ，函數(shù)]2)([)( 39。23 mxfxxxg ??? 在區(qū)間 )3,(t 上總不是單調(diào)函數(shù)，求 m 的取值范圍； （ 3）求證： ??????? nnnn n ,2(1ln5 5ln4 4ln3 3ln2 2ln ?N*) ． 【解析】（ 1） )0()1()(39。 ??? xx xaxf ,（ 1 分）當(dāng) 0＞a 時， )(xf 的單調(diào)增區(qū)間為 ??1,0 ，減區(qū)間為 ? ???,1 ；當(dāng) 0＜a 時，)(xf 的單調(diào)增區(qū)間為 ? ???,1 ，減區(qū)間為 ??1,0 ；當(dāng) 0?a 時， )(xf 不是單調(diào)函數(shù) . （ 2 ） 12)2(39。 ??? af 得 2??a ， 32ln2)( ???? xxxf （ 5 分） ∴ xxmxxg 2)22()( 23 ???? ，∴ 2)4(3)(39。 2 ???? xmxxg ∵ )(xg 在區(qū)間 )3,(t 上總不是單調(diào)函數(shù)，且 2)0(39。 ??g ∴ ??? ??0)3(39。 0)(39。gtg 由題意知：對于任意的 ? ?2,1?t ， 0)(39。 ＜tg 恒成立，所以， 39。(1) 039。(2) 039。(3) 0ggg ??? ??? ?? ， ∴ 9337 ?? ＜＜ m （ 3）令 1??a 此時 3ln)( ???? xxxf ，所以 2)1( ??f ，由（ 1）知 3ln)( ???? xxxf 在 ),1(?? 上單調(diào)遞增， ∴ 當(dāng) ),1( ???x 時 )1()( fxf ＞ ，即 01ln ???? xx ， ∴ 1ln ??xx 對一切 ),1( ???x 成立 ??? Nnn ,2? ，則有 1ln0 ??? nn ， ∴ nnnn 1ln0 ??? ),2(11433221ln4 4ln3 3ln2 2ln ???????????????? Nnnnnnn n ＜ 西安翔龍教育 ,專業(yè)輔導(dǎo)數(shù)學(xué) 熱線 :02982551428 24 20．已知函數(shù) 22( ) ln (1 ) , ( )1 xf x x g x x? ? ? ?. （ Ⅰ ）分別求 函數(shù) ()fx和 ()gx的圖象在 0x? 處的切線方程； （ Ⅱ ）證明不等式 ? ? 22ln 11xx x???； （ Ⅲ ）對一個實數(shù)集合 M ,若存在實數(shù) s ,使得 M 中任何數(shù)都不超過 s ,則稱 s 是 M 的一個上界 .已知 e 是無窮數(shù)列 1(1 )nana n ???所有項組成的集合的上界（其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)） ,求實數(shù) a 的最大值 . 解 : （ Ⅰ ）22)1( 2)(,1 )1l n(2)( x xxxgx xxf ????? ???, 則 0)0(,0)0( ???? gf ,且 0)0(,0)0( ?? gf , 所以函數(shù) )(xf 和 )(xg 的圖象在 0?x 處的切線方程都是 0?y （ Ⅱ ）令函數(shù)xxxxh ???? 1)1(ln)( 22,定義域是 ),1( ??? ， 2222)1( 2)1l n()1(2)1( 21 )1l n(2)( x xxxxx xxx xxh ? ????????? ???, 設(shè) xxxxxu 2)1l n ()1(2)( 2 ????? ,則 xxxu 2)1ln (2)( ??? , 令 xxxv 2)1ln (2